Несобственные интегралы: подынтегральные функции с разрывами

Определённый интеграл становится неправильным, когда его интегранд разрывается в конечной точке. Это означает, что функция в данной точке неопределена или бесконечна.

Этот разрыв обычно возникает, когда функция имеет вертикальную асимптоту на границе.

В таких случаях область под кривой определяется заменой разрывной конечной точки переменной и вычислением интеграла с помощью предела.

Эта концепция может быть использована для вычисления разности электрических потенциалов для гипотетического радиального электрического поля, начиная с точки близко к центру и выходя на расстояние R.

Электрическое поле моделируется функцией, пропорциональной единице над квадратным корнем из r. Эта функция уменьшается с расстоянием, но становится бесконечной ближе к центру.

Это создаёт неограниченную область вблизи начала координат с вертикальной асимптотой на нижней границе.

Для вычисления разности потенциалов от центра наружу прерывистый нижний предел заменяется малым положительным значением t. Интеграл затем устанавливается от t до R и оценивается.

Взятие предела при приближении t к нулю фиксирует полное поведение электрического поля.

Этот подход рассчитывает разность электрических потенциалов при разъединении разрыва в начале координат.