Векторы в нескольких направлениях
Источник: Николас Тиммонс, Асанта Курей, доктор философии, факультет физики и астрономии, Школа физических наук, Калифорнийский университет, Ирвайн, К…
1. Уравновешивайте силы.
- На силовом столе установите два шкива с одинаковой массой, обращенные в противоположные стороны (разница в угле 180°).
- Сила каждого будет равна
. Проверьте, равны ли две силы и противоположны, рассмотрев кольцо в центре таблицы сил, которое не должно двигаться. - Обратите внимание, что если сложить компоненты векторов, связанных с этими силами, результирующий вектор будет иметь нулевую величину. Таким образом можно определить, что все силы находятся в равновесии.
2. Аналитические расчеты.
- Эта лаборатория будет состоять из трех сил, находящихся в равновесии. Две силы будут известны, а третья будет найдена — сначала аналитически, с использованием теории векторов, а затем экспериментально. Для этой лабораторной работы оставьте
на 0° на все время. - Обратите внимание, что если и
известны и 
, при добавлении в систему, приводит к тому, что две силы находятся в равновесии, то имеет равную величину, но в направлении, противоположном сумме ( + ). - Вычислите величину и . Используйте тот факт, что и что 1 ньютон (N) является единицей силы, равной
. - Используя теорию векторов, вычислить, какой была бы величина , если бы это была сумма ( + ).
- Используя теорию векторов, вычислите, какой угол был бы , если бы это была сумма ( + ).
3. Экспериментируйте.
- Следуя значениям в первой строке таблицы 1 для и , настройте две силы в таблице сил. Помните, что значение имеет значение 0°.
- Настройте третью силу, , добавив веса и изменяя угол до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие. Запишите эти значения в таблицу 2.
- Повторите шаг 3.2 для каждого из четырех случаев.
- Определите процентную разницу с аналитическим результатом, рассчитав
. Заполните таблицу 2 этими рассчитанными значениями.
Векторы — это величины как с величиной, так и с направлением, в отличие от скаляров, которые имеют только величину и знак.
Сила, ускорение и скорость являются примерами векторов. В то время как масса, энергия и время являются примерами скалярий.
Вектор обычно представлен стрелкой. Длина стрелки соответствует ее величине, а угол указывает направление.
В этом видео будет показана система сил, которую можно анализировать с помощью сложения и вычитания векторов, и будет продемонстрировано, как такие операции дают результаты, важные для понимания нескольких физических явлений.
Для описания вектора требуется система координат. В рамках выбранной системы отсчета этот пример мяча, подброшенного в воздух, имеет начальный вектор скорости. Как объяснялось ранее, длина стрелки представляет собой величину скорости. А направление вектора - это его угол от земли.
Любой вектор может быть разложен на компоненты, которые сами являются векторами вдоль осей x и y. Если начальная скорость мяча равна 20 метрам в секунду при 60 градусах, то горизонтальная составляющая равна скорости умноженной на косинус 60 градусов и имеет величину 10 метров в секунду. Вертикальная составляющая равна скорости умноженной на синус 60 градусов и имеет величину около 17,3 метра в секунду.
Векторное сложение горизонтальной и вертикальной составляющих восстанавливает исходный вектор скорости. Чтобы добавить векторы, представьте, что голова одного из них находится в хвосте другого. В этом примере векторы расположены под прямым углом. Сумма получается при движении непосредственно от хвоста первого к голове второго.
Эти компоненты находятся под прямым углом, поэтому величина суммы задается теоремой Пифагора. Угол — это арктангенс вертикальной составляющей, деленный на горизонтальную составляющую.
При сложении двух векторов, которые не перпендикулярны, разложите каждый на x- и y-компоненты, а затем добавьте соответствующие компоненты. Наконец, вычислите векторную сумму горизонтальных и вертикальных компонентов, как объяснялось ранее. Вычитание одного вектора из другого эквивалентно отрицанию второго вектора и присоединению его к первому. Как и раньше, разложите каждый вектор на x- и y-компоненты. Затем вычтите меньшую x-компоненту из большей и проделайте то же самое для y-компонентов. Затем, как и раньше, вычислим векторную сумму полученных x- и y-компонентов.
Чтобы продемонстрировать сложение и вычитание векторов в физической лаборатории, обычно используется таблица сил. Это диск с размеченными по периметру углами, кольцо в центре, прикрепленное к шнурам с массами на другом конце, подвешенным на шкивах. Массы создают силы, которые являются векторами для изучения. Сила, действующая вдоль каждого шнура, равна гравитационной силе, или мг, выраженной в ньютонах.
Теперь, в этой схеме, если есть всего две равные массы под углом 180 градусов друг от друга, то они создают силы с векторной суммой, равной нулю. Это состояние называется равновесием, которое приводит к нулевому ускорению и, таким образом, кольцо не будет двигаться.
Но если две силы, тянущие кольцо, не компенсируют друг друга, например, из-за изменения угла, то ненулевая результирующая сила заставит кольцо двигаться. В таких случаях, если мы знаем величины и направления этих сил, то мы можем использовать сложение и вычитание векторов для вычисления третьей силы, необходимой для восстановления равновесия.
В следующем разделе мы покажем, как проводить такие эксперименты с таблицей сил, которые проверяют теоретические принципы сложения и вычитания векторов
Если две силы равны и противоположны, кольцо в центре таблицы не должно двигаться. В этом случае каждый вектор силы точно противоположен другому по величине и направлению. Векторная сумма имеет нулевую величину, которая является условием нулевой результирующей силы, или равновесия.
Чтобы проверить принципы сложения и вычитания векторов, установите массы и углы для сил A и B, как указано в первой строке этой таблицы. Держите угол для A равным нулю градусов. Теперь настройте третью силу, добавив массы и изменяя угол до тех пор, пока кольцо не перестанет двигаться.
После достижения равновесия рассчитайте силу С, умножив ее массу на ускорение, вызванное действием силы тяжести. Также запишите величину и угол силы C.
Повторите этот тест для трех разных случаев и каждый раз записывайте величину и угол силы C.
Для четырех экспериментальных установок в этой таблице показаны рассчитанные величины сил A и B, а также углы B относительно A. Используя первую установку в качестве примера, мы можем рассчитать силу C, необходимую для установления равновесия на столе.
Здесь сила A имеет величину 0,98 Ньютона при 0?. Сила B имеет ту же величину 0,98 ньютона, но угол 20°. Чтобы определить вектор для C, разложите силы A и B на их x- и y-компоненты. Обратите внимание, что сила A направлена только вдоль оси x и не имеет y-компонента. Затем сложите компоненты, чтобы получить x- и y-векторы, которые являются суммой векторов A и B.
Для достижения равновесия x- и y-компоненты C должны быть противоположны этим векторам. Чтобы получить вектор C, переместите хвост его y-компонента в голову x-компонента. Затем сложите два вектора, используя теорему Пифагора, чтобы найти величину вектора C. А угол для C — это арктангенс вертикальной составляющей, деленный на горизонтальную составляющую. Следовательно, расчетная величина С оказывается равной 1,93 Ньютона под углом 10? Относительно оси X.
Теперь во время эксперимента мы вычисляем C путем наблюдений и проб и ошибок, регулируя веса и углы, чтобы предотвратить движение кольца на таблице сил.
И эта таблица показывает, что экспериментальные и расчетные результаты как для величины, так и для угла близко совпадают для всех четырех установок. Это соглашение подтверждает представление сил в виде векторов. Разница может быть связана с ограничениями в точности весов, точности измерения угла и неучтенными силами, вызванными трением о таблицу сил и со шкивами.
Векторное сложение и вычитание используются как в простых, так и в сложных приложениях. Давайте рассмотрим некоторые из них.
Когда вы путешествуете по такому городу, как Нью-Йорк, расстояние обычно измеряется в кварталах, а направления — север, юг, восток и запад.
Человек, идущий четыре квартала на восток и три квартала на север, претерпевает изменение положения, которое является векторной величиной. Таким образом, применяя уравнения для сложения векторов, можно вычислить величину и направление вектора между начальной и конечной точками прогулки.
От ходьбы к полету: пилот постоянно выполняет сложение и вычитание мысленного вектора для маневрирования самолетом. Используя закрылки и элероны крыла, пилот может регулировать подъемную силу против силы тяжести. Если подъемная сила больше силы тяжести, самолет поднимается вверх. Если подъемная сила меньше гравитационной силы, она опускается.
Точно так же пилот использует двигатели для регулировки тяги в зависимости от лобового сопротивления. Если тяга больше лобового сопротивления, самолет ускоряется. Если тяга меньше лобового сопротивления, она замедляется.
Когда сумма этих четырех сил равна нулю, самолет находится в равновесии и движется с постоянной скоростью и высотой.
Вы только что посмотрели введение в векторы от JoVE. Теперь вы должны знать, как складывать и вычитать векторы, а также понимать, как определенные физические величины ведут себя как векторы. Спасибо за просмотр!
View the full transcript and gain access to JoVE Science Education videos
Q1: What is the difference between vectors and scalars?
Vectors have both magnitude and direction, while scalars have only magnitude and sign. Force, acceleration, and velocity are vectors. Mass, energy, and time are scalars. Vectors are typically represented by arrows where length indicates magnitude and angle indicates direction within a chosen coordinate system.
Q2: How do you decompose a vector into components?
Any vector can be decomposed into x- and y-component vectors along perpendicular axes. For a vector at angle θ with magnitude M, the horizontal component equals M times cosine of θ, and the vertical component equals M times sine of θ. These components can be recombined using vector addition to reconstruct the original vector.
Q3: What is the process for adding two non-perpendicular vectors?
Decompose each vector into x- and y-components, then add corresponding components separately. Calculate the resultant x- and y-components, then combine them using the Pythagorean theorem to find magnitude. Use arctangent of the vertical component divided by the horizontal component to find the angle of the resultant vector.
Q4: How does vector subtraction work in physics?
Subtracting one vector from another is equivalent to negating the second vector and adding it to the first. Decompose each vector into x- and y-components, subtract corresponding components, then calculate the vector sum of the resulting components using the Pythagorean theorem and arctangent to find magnitude and direction.
Q5: What is equilibrium and how does it relate to vector addition?
Equilibrium occurs when the net force on an object is zero, resulting in zero acceleration. On a force table, when two equal forces act at 180 degrees from each other, their vector sum is zero and the ring remains stationary. If forces do not cancel, vector addition determines the third force needed to restore equilibrium and establish rotational equilibrium.
Q6: How is a force table used to experimentally validate vector addition?
A force table is a disk with angle markings and a central ring attached to cords with suspended masses. Masses produce forces measured in Newtons. By adjusting masses and angles for two forces, students calculate the third force needed to prevent ring motion. Comparing calculated results using vector addition with experimental observations validates the vector principles.
Q7: What are real-world applications of vector addition and subtraction?
Pilots use vector addition and subtraction to maneuver aircraft by adjusting lift against gravity and thrust against drag. When the sum of these four forces equals zero, the plane maintains constant speed and altitude. Navigation also uses vectors: a person walking four blocks east and three blocks north can calculate their displacement vector using vector addition equations.