1.11: Ölçümdeki Belirsizlik: Önemli Rakamlar

Belirsiz son rakam da dahil olmak üzere bir ölçümdeki tüm rakamlara önemli basamaklar veya önemli rakamlar denir. Sıfırın ölçülen bir değer olabileceğini unutmayın; örneğin, ağırlığı en yakın pound'a gösteren bir ölçekte "140" okurnursa, 1 (yüzler), 4 (onlar) ve 0 (birler) rakamlarının hepsi önemli (ölçülen) değerlerdir.

Bir ölçüm sonucu, önemli rakamları ölçüm sürecinin kesinliğini doğru bir şekilde temsil ettiğinde doğru bir şekilde rapor edilir. Bir ölçümdeki önemli rakamların sayısını belirlemek için bir dizi kural bulunmaktadır:

1. Sıfırdan farklı tüm rakamlar önemlidir. Soldaki ilk sıfır olmayan rakamdan başlayarak, bu rakamı ve kalan tüm rakamları sağa doğru sayın. Bu, ölçümdeki önemli rakamların sayısıdır. Örneğin, 843 üç önemli basamağa sahipken, 843,12 5 önemli basamağa sahiptir.
2. Aradaki sıfırlar, yani sıfır dışındaki rakamların arasında yer alan sıfırlar önemlidir. Örneğin, 808,101 sayısında iki adet aradaki sıfır ve 6 önemli rakam vardır.
3. Baştaki sıfırlar ilk sıfır dışındaki rakamın daha solunda yer alan sıfırlardır. Baştaki sıfırlar hiçbir zaman önemli değildir; bunlar sadece ondalık işaretinin yerini belirlerler. Örneğin 0,008081 sayısındaki baştaki sıfırlar önemli değildir. Bu sayı üstel notasyon kullanılarak 8,081 × 10⁻³ şeklinde yazılabilir ve bu durumda 8,081 sayısı tüm önemli rakamları içerirken, 10⁻³ ise ondalık işaretinin yerini belirtir.
4. Bir sayının sonunda yer alan sondaki sıfırların önemi, konumlarına bağlıdır. Sondaki sıfırlar ondalık işaretinden önce (ancak sıfır olmayan bir rakamdan sonra) ve sonra yer alması durumunda önemlidir. Ancak, ondalık noktası olmayan sayılar için sondaki sıfırlar önemli olabilir veya olmayabilir. Bu belirsizlik, üstel gösterim kullanılarak çözülebilir. Örneğin 1300 sayısı 1,3 × 10³ (iki önemli basamak), 1,30 × 10³ (eğer onluklar basamağı ölçümü yapıldıysa üç önemli basamak) ya da 1,300 × 10³ (eğer birler basamağı ölçümü yapıldıysa dört önemli basamak) şeklinde gösterilebilir.

Hesaplamalarda Önemli Rakamlar

Ölçümlerdeki belirsizlik, hesaplama sonuçlarını doğru sayıda önemli rakamla bildirerek önlenebilir. Bu sayıları yuvarlamak için aşağıdaki kurallar kullanılır:

1. Sayıları eklerken veya çıkarırken, sonuç en az ondalık basamağa sahip sayı ile aynı sayıda ondalık basamağa yuvarlanır.
2. Sayıları çarparken veya bölerken, sonuç en az sayıda önemli rakam içeren sayı ile aynı sayıda basamağa yuvarlanır.
3. Atılacak rakam (tutulacak rakamın hemen sağındaki rakam) 5'ten küçükse, "aşağı yuvarlayın" ve tutulan rakamı değişmeden bırakın.
4. Eğer atılacak rakam (tutulacak rakamın hemen sağındaki rakam) 5 ya da 5'ten büyükse, sayıyı "yukarı yuvarlayın" ve tutulacak rakamı 1 artırın. Atılacak rakam eğer 5 ise alternatif bir yuvarlama yaklaşımı gösterilebilir. Bu durumda tutulacak rakam hangi durumda bir çift sayı olacaksa aşağı ya da yukarı yuvarlanabilir.

Önemli bir nokta, yuvarlama nedeniyle her adımda hataların birikmesini önlemek için önemli rakamların yuvarlanmasının tercihen çok adımlı bir hesaplamanın sonunda yapılması gerektiğidir. Bu nedenle, önemli rakamlar ve yuvarlama, bildirilen ölçülen değerlerin kesinliğinin doğru temsilini kolaylaştırır.

Bu metin bu kaynaktan uyarlanmıştır: Openstax, Chemistry 2e, Section 1.5: Measurement Uncertainty, Accuracy, and Precision.

Bilimsel bir ölçümdeki son rakam hariç tüm sayılar kesindir. Ölçümün kesinliği iki faktöre bağlıdır:ölçümdeki basamak sayısı ve kullanılan aletin hassasiyeti. Ölçülen bir miktarda, son belirsiz rakam da dahil olmak üzere tüm rakamlar anlamlı basamak olarak adlandırılır ve belirli kurallar kullanılarak belirlenebilir.

Sıfır olmayan rakamlar ve sıfır olmayan iki rakam arasında yer alan ortadaki tüm sıfırlar önemlidir. Örneğin, 28'in iki anlamlı basamağı varken 26, 25'in dört ve 208'in üç anlamlı basamağı vardır. Baştaki sıfırlar hiçbir zaman önemli değildir, sadece ondalık noktayı gösterirler.

Örneğin, 0, 00208'in üç anlamlı basamağı vardır. Bu tür miktarlar üstel gösterimler kullanılarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 0, 00208 aynı zamanda 2, 08 10⁻³ olarak yazılabilir.

Sondaki sıfırlar yalnızca ondalık biçimdeki sayılarda önemlidir. 2200'de sonda iki sıfır ve iki anlamlı basamak bulunurken, 2200, 0 ve 2200, 1'in her ikisinde de 5 anlamlı basamak vardır. Ondalık noktası olmayan miktarlar için, sondaki sıfırların anlamı belirsiz hale gelir.

Böylece 2200, iki anlamlı basamakla 2, 2 10³ veya üç anlamlı basamakla 2, 20 10³ olarak yazılabilir. Anlamlı basamaklar, matematiksel işlemlerde de kesinliğe ulaşmaya yardımcı olur. Toplama veya çıkarmada, sonuç, en az ondalık basamağa sahip ölçümle aynı sayıda ondalık basamağa sahip olacak şekilde yuvarlanmalıdır.

Son basamak, 5'ten küçük olduğunda aşağı yuvarlama yapılmalı, 5 ya da daha büyük olduğunda yukarı yuvarlama yapılmalıdır. Diğer yuvarlama yöntemleri bazen son rakam 5 olduğunda kullanılır. Örneğin, 2, 052 ve 1, 2 toplamı 3, 3 olarak yuvarlanır.

Bununla birlikte, çarparken veya bölerken, sonuç, en az anlamlı basamağa sahip ölçümle aynı sayıda anlamlı basamağa sahip olacak şekilde yuvarlanmalıdır. Böylece, 2, 052 ve 1, 2'nin çarpımı 2, 5 olarak yuvarlanır. Bilim adamları, ölçümlerinde kesinlik elde etmek için genellikle deneyleri tekrarlar.

Standart sapma, bu tür kesinliğin istatistiksel ifadesidir ve beklenen değerden dağılımı ölçer. Kesinlik yüksekse, standart sapma küçüktür ve bunun tersi de geçerlidir. Örneğin, iki grup bir kitabın kalınlığını santimetre olarak ölçtüğünü düşünelim.

Aynı ortalamayı buldular:10, 6 santimetre. Bununla birlikte, birinci grup tarafından yapılan ölçümler daha hassastır ve bu nedenle daha düşük bir standart sapmaya sahiptir. İkinci grup, daha geniş aralıkta ölçümlere ve daha yüksek bir standart sapmaya sahiptir.