15.5: Sistemdeki Yay-Masa Sisteminin Frekansı

Basit harmonik hareketin (BHH) bir yayın bağlı olduğu bir cisim için ilginç bir özelliği, açısal frekansın, hareketin dönem ve frekansının sadece kütleye ve yayın kuvvet sabitine bağlı olmasıdır ve hareketin amplidütü veya başlangıç koşulları gibi diğer faktörlere bağlı olmamasıdır. Hareketin açısal frekansını, frekansını ve dönemini bulmak için hareket denklemlerini ve Newton'un ikinci yasasınu kullanabiliriz.

Sürtünmesiz bir yüzeydeki bir yay üzerindeki bir bloku düşünelim. Kütle üzerinde üç kuvvet vardır: ağırlık, normal kuvvet ve yayın kuvveti. Yüzeye dik etki eden tek iki kuvvet, nicelikleri eşit ve zıt yönlü olan ağırlık ve normal kuvvettir; sonuç olarak, toplamları sıfırdır. Yüzeye paralel etki eden tek kuvvet, yayın kuvvetidir, bu yüzden net kuvvet yay kuvvetine eşit olmalıdır.

Hooke'un yasasına göre, kuvvetler ve deformasyonlar yeterince küçük olduğu sürece, yay kuvvetinin büyüklüğü yer değiştirmenin birinci kuvvetine orantılıdır. Bu nedenle, yay-masa sistemi doğrusal bir basit harmonik osilatör olarak adlandırılır.

Newton'un ikinci yasasındaki ivme ve yer değiştirme ifadelerini yerine koyarak, açısal frekansın denklemi elde edilebilir.

Açısal frekans, sadece kuvvet sabiti ve kütle ile ilgilidir, amplitüde ile değil. Ayrıca, verilen ilişkiyi kullanarak titreşimin dönemine bağlıdır:

Dönem de sadece kütle ve kuvvet sabitine bağlıdır. Kütle ne kadar büyükse, dönem o kadar uzun olur. Yay ne kadar sertse, dönem o kadar kısa olur. Frekans ise:

Sürtünmesiz bir yüzey üzerine yerleştirilmiş, yatay bir yaya bağlı bir m kütle bloğunu düşünün.

Blok üzerindeki net kuvvet, ağırlığından kaynaklanan kuvvet, normal kuvvet ve yaydan kaynaklanan kuvvetin toplamıdır.

Ağırlık ve normal kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönde olduğu için birbirlerini iptal ederler ve net kuvvet yaydan kaynaklanan kuvvete eşit olur.

Burada, kuvvetin büyüklüğü, ilk yer değiştirme kuvveti ile orantılıdır. Bu nedenle, yay-kütle sistemine doğrusal basit harmonik osilatör denir.

Newton'un ikinci yasasını kullanarak, kuvvet ivme cinsinden ifade edilebilir.

İvme ve yer değiştirme ifadelerinin yerini alarak, açısal frekans denklemi elde edilir.

Açısal frekans, salınım periyodu boyunca 2π olarak da tanımlanır.

Ayrıca, periyodun tersi salınım frekansıdır.

Sert bir yay, hızlı salınımlar ve kısa bir süre üretir. Karşılaştırıldığında, ağır bir nesne yavaş salınımlar ve büyük bir periyot üretme eğilimindedir.