Uygunsuz İntegraller: Sonsuz Aralıklar

Bir integral, entegrasyonun üst veya alt sınırı sonsuzluğa ulaştığında sonsuz bir aralık nedeniyle uygun sayılır ve eğriyi alt sınırsız bir bölge oluşturur.

Bu durumda, sonsuz sınır bir değişkenle değiştirilir ve integral, değişken sonsuzluğa yaklaşırken sınır alınarak değerlendirilir.

Bu yöntem, eğrinin altındaki toplam alanın sonsuz bir alan boyunca bile sonlu kalıp kalmadığını belirlemeye yardımcı olur.

Pratik bir örnek, ortamın uniform olduğu varsayıldığında, sis gibi bir ortamdan geçen toplam entegre ışık yoğunluğunu sonsuz bir mesafede hesaplamaktır.

Bu tür durumlarda, ışık yoğunluğu mesafe ile birlikte üstel bir çöküş deseni izleyerek azalır.

Toplam entegre yoğunluğu bulmak için, sonsuz üst sınır önce bir değişken olan t ile değiştirilir.

Yoğunluk fonksiyonu daha sonra sıfırdan t'ye entegre edilir ve entegrasyon sınırları yerine koyularak üstel bir terim içeren bir ifade elde edilir.

Son adım, t sonsuzluğa yaklaşırken sınırı almaktır; üstel terim sıfıra yaklaşır ve sonlu bir değer bırakır.

Bu, toplam entegre yoğunluğun — eğrinin altındaki alan — sonsuz bir alan olsa bile sonlu kalabileceğini doğrular.