Diferansiyel Denklemlere Giriş

Diferansiyel denklem, bilinmeyen bir fonksiyon ve bir veya daha fazla türevini içeren bir denklemdir. Bir diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde bulunan en yüksek dereceden türevle verilir.

Denklem sadece birinci türevi içerdiğinde, birinci mertebe denir. İkinci türevi içeriyorsa, ikinci dereceden denir ve böyle devam eder.

Örneğin, bir yay-kütle sistemi, kütle üzerindeki net kuvvet ile yaydaki geri kazandırıcı kuvveti eşitleyen basit bir harmonik osilatör olarak modellenebilir; bu, doğrusal yaylar için Hooke yasasıyla tanımlanır.

Yay kuvveti, yer değiştirmenin ters yönünde etki eder ve kütlenin denge konumundan ne kadar uzaklaştığıyla orantılıdır.

Newton'un ikinci yasası, kütle üzerindeki net kuvveti onun ivmelenmesine bağlar. Bu iki ilişkiyi birleştirdiğimizde, kütle ile ivmelenme sayısının negatif sabit çarpan yer değiştirmeye eşit olduğu bir denklem elde edilir.

Hızlanma, zaman içindeki yer değiştirmenin ikinci türevi olarak yeniden yazılıp, ikinci dereceden diferansiyel denklem elde edilir.

Bu ikinci türev, sistemin hareketini diferansiyel denkleme bağlar.