Biyoinformatik: Gen İfadesinde Davranışsal Benzerlik İçin Kuantum Kümeleme Algoritması kullanarak Kanser Tahminine Biyoinformatik Yaklaşımı

Özet

Bu protokol, en optimal küme sayısını otomatik olarak tespit edip verimli şekilde ayıran ve böylece gürültülü Orta Ölçekli Kuantum Kuantum (NISQ) cihazlarında biyoinformatik uygulamalarını ilerleten Hibrit Kuantum K-Means algoritması kullanarak kanser sınıflandırması için gen ifade verilerini kümelemeyi amaçlamaktadır.

Özet

Bu çalışma, kanserli ve kanser dışı gen ifade verilerini sınıflandırmak için otomatik küme algılamaya sahip Hibrit Kuantum K-Means Küme Algoritması'nı tanıtmaktadır. Yöntem, durum kodlaması için Kuantum Çok Özellikli Eşleme, Swap Test tabanlı kuantum mesafe tahmini ve Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyonu kullanarak küme içi varyansı en aza indirerek optimal küme sayısını dinamik olarak tanımlar. Başlangıçtaki merkezler, olasılık-orantılı mesafe stratejisiyle seçilir, böylece kararlılık ve doğruluk artırılır. Meme kanseri veri setlerine uygulandığında, yaklaşım mevcut kuantum K-Means algoritmasını geride bırakarak 0.641 Silüet Puanı (0.601'e kıyasla), Calinski-Harabasz Indeksi 766.57 (617.65 ile karşılaştırıldığında) ve Davies-Bouldin Indeksi 0.659 (0.704 ile karşılaştırıldığında) elde etmektedir. Bu sonuçlar, üstün küme kompaktlığı ve ayrımı göstermektedir. Önerilen algoritma, yinelemeli optimizasyon nedeniyle biraz daha yüksek zaman karmaşıklığı O (N×_{K max}×_{M obs}) sergilese de, kümeleme doğruluğu, hata azaltma ve pratik uygulanabilirlik açısından önceden tanımlanmış K kuantum K-Ortalamalarını önemli ölçüde geride bırakır. Yüksek boyutlu verileri işlemedeki verimliliği ve kuantum gürültüye dayanıklılığı, özellikle gen ifade profilleriyle kanser sınıflandırmasında gerçek dünyada biyobilişim uygulamaları için potansiyelini ortaya koyuyor.

Giriş

Biyomedikal mühendislik, biyoinformatik, istatistik, sosyal bilimler ve ekonomide kümelenme, verileri anlamlı homojen gruplara organize etmek için temel bir tekniktir. Örneğin, topolojik veri analizi (TDA), kanser gen ifade veri setlerine uygulanarak yüksek boyutlu alanlarda yapısal desenleri ortaya^{çıkarmıştır 1}, Kümeleme, verileri öyle organize eder ki, yüksek benzerliğe sahip nesneler aynı küme içinde yer alırken, farklı nesneler farklı kümelere atanır. Bu, denetimsiz öğrenme kapsamına girer ve etiketli eğitim verisi gerektirmez.

Son birkaç on yılda çok sayıda kümeleme algoritması geliştirilmiştir. Klasik yaklaşımlar arasında bölünme tabanlı^{kümeleme 2}˒³, yoğunluk tabanlı^{kümeleme 4,5}, hiyerarşik^{kümeleme 6,7}, ızgara tabanlı^{kümeleme 8}˒⁹ ve model tabanlı kümeleme¹⁰ bulunur. Bu yöntemlerin incelemeleri, güçlü yönlerini ve aynı zamanda sınırlamalarını da^{vurgular. 11}. Belirli bağlamlarda etkili olmasına rağmen, çoğu klasik algoritma yüksek boyutlu, gürültülü veya düzensiz dağıtılmış verilerle mücadele eder. Sonuç olarak, tüm veri türlerinde en iyi şekilde çalışan evrensel kümeleme yöntemi yoktur.

Bu zorlukları gidermek için kuantum kümelenmesi umut verici bir alternatif olarak ortaya çıkmıştır¹². Klasik algoritmaların aksine, kuantum esinli yaklaşımlar, veri uzaylarını daha verimli keşfetmek için süperpozisyon, dolanıklık ve kuantum mekaniğinin diğer prensiplerinden yararlanır. Bu paradigma, yüksek boyutlu ve gürültülü veri setlerinin işlenilmesinde klasik kümeleme avantajlarını gösterdiği için araştırma camiasında giderek daha fazla kabul ^{görmüştür.} Buna rağmen, mevcut kuantum kümeleme yöntemleri genellikle önceden tanımlanmış küme sayıları veya kararsız merkez başlatma ile mücadele eder; bu da pratik uygulamalardaki dayanıklılıklarını azaltır.

Bu çalışmada, dört farklı yeniliği içeren yeni bir bölüm tabanlı Hibrit Kuantum K-Means Kümeleme algoritması tanıtılır: (i) Gen ifade verilerini yüksek boyutlu Hilbert uzayına kodlamak için Kuantum Çok Özellikli Haritalama; (ii) olasılık-orantılı mesafeye dayalı merkez başlatma, rastgele başlatmaya kıyasla kararlılığı artırır; (iii) Doğru benzerlik ölçümü için Swap Testi tabanlı kuantum mesafe tahmini; ve (iv) Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyon, küme içi varyansı en aza indirerek optimal küme sayısını dinamik olarak belirlemek. Bu katkılar, önerilen yöntemi önceki kuantum kümeleme^{yaklaşımlarından (19,20}) ayırır ve gerçek dünya biyoinformatik senaryolarında sağlamlığı, ölçeklenebilirliği ve uygulanabilirliği artırır.

Gen ifade verilerini kümelendirmek, biyoinformatikte kritik bir görevdir; özellikle genetik profillerine göre kanserli ve kanser olmayan hücreleri ayırt etmek için. Klasik K-Means gibi geleneksel kümeleme yöntemleri, gen ifade veri setlerinin yüksek boyutlu doğası nedeniyle genellikle zorlanır ve bu da optimal olmayan sınıflandırmaya yol açar. Bu zorlukların üstesinden gelmek için, Kuantum Özellik Haritalama ve olasılıksal merkez başlatmayı kullanarak üstün kümeleme performansı elde eden Optimal Küme Belirleme ile Kuantum K-Means Algoritması'nı tanıtıyoruz. Bu algoritma, sadece gen ifade verilerini verimli şekilde kümelere yerleştirmekle kalmaz, aynı zamanda optimal küme sayısını otomatik olarak belirler ve böylece farklı kanser alt tiplerinin tanımlanmasını sağlar

Önerilen algoritma, hem kanserli hem de kanserli olmayan gen ifade profillerini içeren veri setlerine uygulanmakta, etkinliğini değerlendirmek için davranışsal benzerliğe göre kümelenmiştir.

Protokol

1. Kuantum Özellik Haritalama

Klasik veri noktalarını kuantum durumlarına kodlamak, kuantum Hilbert uzayına eşlenerek sağlanır; bu uzay kuantum bilgisayarı tarafından verimli şekilde erişilip manipüle edilebilir^(16˒17,19). Bu süreç, klasik verileri Hilbert uzayına gömmesi için doğrusal olmayan bir kuantum özellik haritası kullanır (Şekil 1). Sabit bir kuantum devre özellik haritası, giriş veri noktalarını kuantum^{durumları 17'ye} dönüştürürken, varyasyonel devreler ölçüm^{tabanını 22} uyarlayarak makine öğrenimi görevlerini mümkün kılar. Varyasyonel devre, hibrit kuantum-klasik tekniklerle optimize edilmiş bir dizi parametrizlenmiş kuantum^{kapısından oluşur 23}.

Şekil 1: Kuantum Hilbert Uzayında özellik eşleme. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

2. Hedef Nokta ve Centroidlerin kubitlere kodlanması

Veri noktalarımızın özelliklerini kodlamak için U3 kapıları kullanarak döndürmeler yapmamız gerekir.

Bu, kubiti θ radyanını pozitif z-ekseninden ve Φ radyanlarını pozitif x ekseninden uzaklaştırır.

Tüm kubitler, kodlama süreci başlamadan önce ∣0〉 durumunda başlatılırdı. Her gen ifade değeri [0,1] aralığına normalize edilip, θ_i=πx_i ilişkisi kullanılarak bir dönüş açısına dönüştürüldü. Daha sonra her kubitte parametreli bir üniter kapı uygulanarak ilgili özelliği kodladı; bu özellik Qiskit'te qc.u(theta_i, pi, pi, qubit_index) işlemiyle uygulandı. Birden fazla özellik kodlandığında, rotasyon prosedürü uygun kubitler arasında tekrarlanarak çok özellikli bir temsil oluşturuldu. Bu işlemlerden sonra, ortaya çıkan kuantum durumu ∣ψ〉 Hilbert uzayında kodlanmış özellik vektörünü temsil eder. Bu aşamada herhangi bir ölçüm yapılmadı, çünkü hazırlanan durum sonraki benzerlik tahmini için ayrıldı.

3. Kuantum Durumlarının Karşılaştırılması

Kuantum deneylerinin sonuçları doğası gereği rastgele olur çünkü kuantum fiziğinde tanımlandığı gibi kubitler doğası gereği kararsızdır. Sonuç olarak, sonuçlar ve tahminler olasılıklar ve belirsizlikler açısından ifade edilmelidir. Bu nedenle net sonuçlar çıkarmak gerçek bir zorluk teşkil eder. Ancak, bahsedilen kuantum durumları saf olduğunda, durumlar arasındaki farklar (sıfır olmayan olasılıkla) deneylerle^{kesin olarak tahmin edilebilir 24}˒²⁵.

İki kuantum durumu, ∣ψ〉 ve ∣φ〉, önce ayrı kuantum kayıtlarına yüklendi. Daha sonra swap işlemini kontrol etmek için ∣0〉 durumunda bir ancilla kubiti başlatıldı. Kontrollü SWAP işlemi yapılmadan önce ancilla'ya süperpozisyona yerleştirilmek için bir Hadamard kapısı uygulandı. Fredkin (CSWAP) kapısı, ancilla'yı kontrol kubiti olarak ve iki veri kayıtlarını hedef olarak kullanarak durumlar arasında parazit sağlanmasını sağladı. Bu işlemden sonra, girişim desenini tamamlamak için ancillaya ikinci bir Hadamard kapısı uygulandı. Sadece ancilla kubiti ölçüldü ve ölçüm sonucu iki durum arasındaki benzerliği kodladı. Durumlar aynıysa, ancilla olasılığı 1 ile sonucu 0 verirken, ortogonal durumlar 0.5 olasılıkla sonucu 0 verir.

Şekil 2: Olasılık tabanlı karşılaştırmanın illüstrasyonu, Eğer durumlar ρ ve ξ farklıysa, gözlemlenen olasılık dağılımı P_E⁻ \ P_E⁺ ile ilgilidir. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Yoğunluk operatörü ρ, herhangi bir kuantum durumu ρ ∈ S(H) ile ilişkilidir; böylece tr[ρ] = 1 ve ρ ≥ 0. Burada, Hilbert uzayı H ile ilişkili olacak bir sistemin tüm durumlarının S(H) kümesi. Pozitif Operatör Değerli Ölçüsü (POVM), E₁, . . . , pozitif operatörler E 1, . . ._{, E n} olarak E (H üzerinde etniyor) ve I = özdeşlikten oluşan kuantum istatistiksel özellikler ölçümüdür. Bir olasılık dağılımı , her durum ρ için E ölçümünü atar; ∈burada p_j = tr[E_jρ]≥ 0 ve = 1²⁶ olur.

4. SWAP tabanlı Kuantum Durumlarının Karşılaştırılması

İki kuantum durumu arasındaki fark, kuantum hesaplamada SWAP test prosedürü kullanılarak ölçülebilir. Bu yöntem ilk olarak Barenco ve ark. tarafından tanıtılmıştır.²⁷ ve daha sonra John Watrous, Ronald de Wolf, Harry Buhrman ve Richard Cleve ²⁸ tarafından yeniden keşfedildi. SWAP testi, kuantum hesaplama ve kuantum makine öğrenimine ^{uygulanmıştır 15, 29}.

SWAP testi ∣ψ〉 ve ∣φ〉 giriş durumlarını alır ve 1/2 - 1/2〈φ,ψ〉² olasılıkla 1 (Bernoulli rastgele değişkeni) çıkarır ve iki durumun kare iç ^{çarpımını 30} tahmin eder.

Devrenin Açıklaması

Sistemin iki durumunu ∣φ〉 ve ∣ψ〉 ele alalım, baştaki protokol ∣0,φ,ψ〉'dur. Hadamard kapısı uygulandıktan sonra durum ∣0,φ,ψ〉 + ∣1,φ,ψ〉 olarak değiştirilir. CSWAP kapısı durumu (0,φ,ψ〉 + ∣1,ψ,φ〉) şeklinde dönüştürür. İkinci Hadamard kapısından sonra durum 1/2(|0,φ,ψ〉 + ∣1,φ,ψ〉 + |0,ψ,φ〉 - ∣1,ψ,φ〉)= 1/2∣0〉(|φ,ψ〉 + |ψ,φ〉) +  1/2|1〉(|φ,ψ〉 - |ψ,φ〉). İlk kubit ölçülür, sonucun 0'ını elde etme olasılığı P(İlk kubit = 0) = 1/2 (〈φ|〈ψ| + 〈ψ|〈φ|) 1/2 (|φ,ψ〉 + |ψ,φ〉) = 1/2 + 1/2 |〈ψ|φ〉|². Eğer ψ ve φ ortogonal ise (|〈ψ|ϕ〉|² = 0), o zaman 0 elde etme olasılığı 1/2'dir. Durumlar aynıysa (|〈ψ|ϕ〉|² = 1) o zaman 0 alma olasılığı 1'dir. ²⁴

Şekil 3: (a) Kutupsal zıt duruma sahip Fredkin kapısının devresi, (b) Olasılıkla ölçülen grafik çıktısı, (c) Hadamard kapısına sahip Fredkin kapısının devresi, (d) Olasılık ölçülü grafiğin çıktısı. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Devre, bir ancilla kubiti ve iki kayıt kullanarak kuantum durumlarını ∣ψ〉 ve ∣φ〉 kodladı. Tüm kubitler, kodlama aşaması başlamadan önce başlatıldı. Gen ifade özellikleri, özellik haritalama prosedürü kullanılarak ilgili kayıtlara kodlandı. Bir süperpozisyon oluşturmak için ancilla kubitine bir Hadamard kapısı uygulandı; ardından iki durum kayıtları arasında kontrollü bir SWAP işlemi gerçekleştirildi ve ancilla kontrol olarak kullanıldı. Girişim desenini tamamlamak için ikinci bir Hadamard kapısı ancillaya uygulandı ve ardından ancilla kubiti ölçüldü. İki kodlanmış durum aynı olduğunda, ancilla tutarlı bir şekilde 0 sonucunu üretirdi. Durumlar dik olduğunda, ancilla sonucu 0,5 olasılıkla verirdi. Kısmen benzer durumlar için, 0 alma olasılığı 0.5 ile 1 arasında yer alır ve bu durumlar arasındaki benzerlik derecesini yansıtır.

5. Kuantum Mesafe Tahmini

Klasik veri analizinde, veri noktaları arasındaki mesafeler doğrudan Öklid veya Manhattan ^{mesafesi 2,3} gibi ölçümlerle hesaplanabilir. Kuantum bilgisayardaki kubitler durumunda, bu görev kuantum durumlarının olasılıksal doğası nedeniyle daha karmaşıktır. Faz farkları ve olasılık genlikleri ölçülebilirken, bunlar doğrudan iki vektör ^{24, 26} arasındaki mesafeler olarak temsil edilemez.

Kümeleme için, veri noktalarının küme merkezlerine^{göre göreli konumlarının değerlendirilmesi gereklidir 13}. Her kubiti uygun kümeye atamak için, ilgili küme merkeze yakınlık göstergesi olarak hizmet eden bir parametre tanımlanmalıdır.

Bunu başarmak için, benzerlikle pozitif ilişkili bir parametre tanıtılır ve böylece geleneksel mesafe ^{ölçümleri olan} 15,30'a alternatif olarak işlev görür.

Mesafe tahmin süreci, normalize edilmiş kuantum durumu ∣Ψ〉 ve sıfır başlatmalı yardımcı kubit ∣q₀〉 ile başladı. Amaç, ∣q₁〉 ile kodlanmış yeni veri noktası ile ∣q₂〉 ile kodlanmış bir küme merkezi arasındaki mesafeyi tahmin etmekti. Girişim deseninin gerektirdiği süperpozisyonu hazırlamak amacıyla, ancilla kubitine bir Hadamard kapısı uygulandı ve durum (∣0〉 + ∣1〉) ⊗ ∣Ψ〉 üretildi. Daha sonra, ancilla kontrol olarak kullanıldığı kontrollü SWAP (Fredkin) kapısı uygulandı; bu kapı, ancilla'yı iki kodlanmış durumla dolaştırdı ve örtüşmelerinin ölçüm sonucunu etkilemesini sağladı. Bu işlem, ancillanın sonraki ölçümüyle iç ürün tabanlı mesafenin çıkarılabileceği durumu (∣0〉 ⊗ ∣Ψ〉 + ∣1〉 ⊗ F_swap(∣Ψ〉) ' durumunu üretti.

Devre Uygulaması ve Çıkışı

Bu kuantum devresi, gen ifade verilerini faz kodlaması kullanarak kubitlere kodlar ve ardından Kontrollü Değişim (CSwap) kapısı (Swap^{Test 12}) aracılığıyla iki gen ifade durumunu karşılaştırır.

Gerekli süperpozisyonu oluşturmak için, Hadamard kapıları tüm kubitlere (q_0'dan q_4'e) uygulanır ve tüm baz durumlarının eşit süperpozisyonu elde edilir |Ψ〉 = , Bu başlangıllandırma, birden fazla gen ifade değeri üzerinde paralel hesaplama sağlar. Her kubit daha sonra bir faz rotasyonu geçirir, burada θ_x, eşlenmiş gen ifade değerine karşılık gelir. _{Q1-q 4} kubitlerine uygulanan U(θ,π,π) üniter operatörler, bireysel genlerin ifade seviyelerini kodlar; her açı θ genin ifadesinin dönüştürülmüş bir versiyonunu temsil eder. Bu prosedür, klasik biyolojik verileri faz kodlama yoluyla kuantum durumlarına eşlerek yüksek boyutlu bir kuantum uzayında birden fazla genin temsil^{edilmesine olanak tanır 6}.

CSwap kapıları daha sonra kodlanmış durumları dolaştırarak karşılaştırmak için kullanılır. Yardımcı kubit q₀ , q_{1-q 4} durumlarının değiştirilip değiştirilmediğini belirleyen kontrol görevi görür. Benzer kuantum durumlar q_0'da yapıcı girişim oluşturur ve bu da ∣0〉 ölçülme olasılığını artırır. Buna karşılık, farklı durumlar ∣1〉 ölçülme olasılığını artırır. q_0'daki sonraki bir Hadamard kapısı, genlik girişimini sağlar ve benzerlik bilgisinin ölçüm yoluyla çıkarılmasını sağlar.

İki kuantum durumu ∣ψ〉 ve ∣φ〉 farklı gen ifade veri setlerini temsil ediyor, |ψ〉 = _∑ia_i |i〉, |φ〉 = ∑_ib_i |i〉 .

Swap Testi, aralarındaki sadakati (iç çarpımı) değerlendirir:

P (0) = ,

Burada ∣〈ψ∣φ〉∣ iç çarpımı gösterir. P(0) 1 ≈ ise, durumlar benzerdir; P(0) 0.5 veya daha düşük ≈ ise, farklıdırlar.

Bu çerçeve, hastalar veya deneysel durumlar (örneğin, normal ve hastalıklı doku) veri setlerinin karşılaştırılmasını sağlar. Kuantum makine öğrenimi modellerinde yüksek boyutlu verileri kümelemek için verimli bir temel sağlar. Swap Testi, kuantum durumları arasındaki benzerliklerin tanımlanmasını destekler; bu durum, örnekleri anlamlı kümelere gruplamak^{için kullanılabilir 4}.

Şekil 4: Veri noktaları ile merkez noktaları arasındaki mesafe ölçümü devresi. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Şekil 5: Olasılık ölçülü grafik çıktısı. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Bir veri noktası önce ∣ψ〉 kuantum durumuna kodlanır ve karşılık gelen küme merkez ∣φ〉 durumunda kodlanır. Daha önce açıklanan swap test prosedürü bu iki durumu karşılaştırmak için uygulandı ve ancilla ölçüm olasılığı P(0) kaydedildi. Durumlar arasındaki sadakat, F=∣〈ψ∣φ〉∣² olarak elde edildi ve kuantum mesafesi D (ψ,φ) = olarak tanımlandı. Daha küçük bir D değeri, veri noktasının kuantum özellik uzayındaki merkeze daha yakın olduğunu gösteriyordu.

6. İlk Centroid Seçimi

Küme merkezlerinin başlatılması, K-Means kümelenmesinin kararlılığı ve doğruluğu için kritiktir. Rastgele seçim, zayıf dağılımlı centroidler üretebilir, bu da yavaş yakınsamaya ve optimal olmayan sonuçlara yol açabilir. Bu sorunu çözmek için, K-Means++^{stratejisi 20'den} esinlenen olasılık-orantılı mesafe yöntemi kullanılmıştır. Kuantum ile güçlendirilmiş yaklaşımda, SWAP testine dayalı Kuantum Mesafe Tahmincisi kullanılarak mesafeler değerlendirilir ve seçilen merkez noktalarının temel veri dağılımını daha iyi temsil etmesini sağlar. Bu strateji, özellikle yüksek boyutlu veri setlerinde küme ayrımını artırır ve algoritmik dayanıklılığı artırır.

Centroid başlatma süreci, rastgele bir veri noktasının ilk centroid olarak kullanılmasıyla başladı. Bu merkez ile kalan tüm veri noktaları arasındaki kuantum mesafesi, kuantum mesafe tahmin prosedürü kullanılarak hesaplandı. Bu mesafe değerleri temelinde, her noktaya en yakın merkezden kare mesafesine orantılı bir seçim olasılığı atandığı bir olasılık dağılımı oluşturuldu. Bu dağılıma göre yeni centroidler örneklendi ve prosedür, istenen sayı K elde edilene kadar tekrarlandı. Bu yaklaşım, rastgele seçimden çok daha iyi ayrımlığa sahip başlangıçta bir merkez seti üretti.

7. Kuantum Varyans Hesaplaması

Küme varyansı, veri noktalarının merkez noktaları etrafındaki kompaktlığını nicelikle ölçüyor ve kümelenme kalitesini değerlendirmek için kritik bir metrik haline getiriyor. Klasik K-Ortalamalarda, varyans, veri noktaları ile onlara atanan merkezler arasındaki ortalama kare mesafe olarak hesaplanır. Kuantum ile güçlendirilmiş yaklaşımda, bu mesafeler kuantum durumları arasındaki doğruluğa dayalı benzerlikleri hesaplayan Kuantum Mesafe Tahmincisi (SWAP testi aracılığıyla) kullanılarak elde edilir. Her küme içindeki kare mesafeleri toplayıp küme büyüklüğüne göre normalleştirerek, küme içi kohezyon derecesini yansıtan bir varyans değeri elde ederiz. Bu varyansı en aza indirmek, kanserli ve kanserli olmayan örnekleri ayırt etmek için özellikle yüksek boyutlu gen ifade veri setlerinde daha sıkı ve anlamlı kümeler sağlar.

Küme atama, her kodlanmış kuantum veri noktasının kuantum mesafe tahmini kullanılarak en yakın merkeze atanmasıyla gerçekleştirildi. Her küme C_k için, her veri noktası ile merkez noktası arasındaki kuantum mesafesi D(ψ_{i,C k}) hesaplandı. Küme içi varyans daha sonra her kümenin kompaktlığını ölçen , kullanılarak hesaplandı. Toplam varyans, tüm kümeler arasındaki bireysel varyansların toplamıyla elde edilmiştir. Bu toplam varyans değeri, optimal küme sayısının belirlenmesi ve genel kümelenme performansının değerlendirilmesi için kaydedilmiştir.

8. Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyon

Optimal küme sayısını (K) belirlemek, kümeleme görevlerinde temel bir zorluktur. Geleneksel K-Means, K'nin önceden tanımlanmasını gerektirir ve bu genellikle az veya fazla kümelenmeye yol açar. Kuantum geliştirilmiş yaklaşımımızda, Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyonu (QGBO) entegre ederek optimal küme sayısını uyarlayıcı şekilde belirliyoruz. Algoritma K'yı yinelemeli olarak artırır, her adımda varyansı yeniden hesaplar ve varyans azalmasını (ΔV) değerlendirir. Varyans iyileşmeleri bir eşik altına düştüğünde, kümeleme sona erer. Kuantum gradyan, kuantum devrelerinden beklenti değerlerinin türevlerini tahmin eden parametre-kaydırma kuralı kullanılarak hesaplanır. Bu yaklaşım, son küme sayısının doğruluk ve verimliliği dengelemesini sağlar; bu da biyolojik alt tiplerin gerçek sayısının önceden bilinmediği biyoinformatik uygulamalarında özellikle faydalı olur.

Kümeleme süreci K=1 ile başladı ve toplam varyans V(K) kuantum varyans hesaplama prosedürü kullanılarak hesaplandı. Küme sayısı daha sonra K+1'e çıkarıldı ve varyans V(K+1) yeniden hesaplandı. Varyans azaltması, ΔV=V(K)−V(K+1), ek kümelerin verinin kompaktlığını artırmaya devam edip etmediğini belirlemek için değerlendirildi. ΔV önceden tanımlanmış eşik seviyesinin altına düştüğünde yineleme durdu; bu da K'deki ek artışların anlamlı iyileşmeler sağlamadığını gösteriyordu. Varyans eğilimindeki eğrilik değişikliklerini izlemek için varyasyonel kapılara sahip parametrizeli bir kuantum devresi inşa edildi ve bu bilgi, küme optimizasyon sürecini yönlendirdi. Optimal küme sayısı, varyans azaltmanın stabil hale geldiği ve kompakt ve iyi ayrılmış kümeler ortaya çıkan K değeri olarak seçildi.

9. Küme Varyansı Hesaplanması ve V_listesinde Depolama

Kararlı kümeler oluşturulduktan sonra, algoritma her kümenin kompaktlığını ölçmek için küme varyansını hesaplar. Belirli bir küme için V_kj varyansı, kümedeki her veri noktası ile küme merkezi arasındaki mesafeler kullanılarak belirlenir:

burada: x bir gen ifade örneğini, C_i bir küme, C ci küme i kümesinin _merkezi, V_kj j ^yinelenmesi için kaydedilen varyansı temsil eder.

Bu varyans, daha sonra optimal küme sayısını belirlemek için kullanılacak bir liste V_listesinde saklanır.

10. Optimal küme sayısının belirlenmesi

K kümelerinin optimal sayısını bulmak için algoritma farklı başlangıç koşullarını gözlemleyerek birden fazla yineleme gerçekleştirir. Ana adımlar şunlardır:

Algoritma, K'nin farklı değerleri için hesaplanan varyans listesinden en az varyans değerini ilk olarak belirledi. Ardışık küme sayıları arasındaki varyans azalması, ΔV=∣V_k−V_k−1∣ ifadesiyle ölçüldü; burada V_k, K kümeleri için varyansı ve V_k−1 K− 1 kümeleri için varyansı temsil ediyordu. Eğer indirgeme ΔV önceden tanımlanmış eşiğin altına düşerse ve kümelenmede önemsiz bir iyileşme olduğunu gösterirse, işlem sona erer. Bunun dışında, küme sayısı artırılır ve hesaplama optimal küme sayısına ulaşılana kadar tekrarlanırdı.

11. Kanser ve Kanser Dışı Sınıflandırma Kümelerinin Kesinleştirilmesi

Optimal küme sayısı K belirlendikten sonra, son küme kümesi gen ifade verisi içindeki farklı grupları temsil eder. Genellikle, algoritma iki birincil küme oluşturur:

Kanserli hücreleri temsil eden bir küme (malignite ile ilişkili farklı gen ifade imzalarıyla işaretlenen).

Bir küme, kanser olmayan hücreleri temsil eder (normal gen ifade profilleri içerir).

Önerilen Kuantum K-Means kümeleme algoritmasında kullanılan parametreler, değişkenler ve sabitler Tablo 1'de listelenmiştir. Veri seti boyutlarını tanımlayın, küme sayısını K belirleyin ve süreci yönlendirmek için durdurma kriterleri ile optimizasyon eşiklerini uygulayın. Tekrarlanabilirliği sağlamak için deneme başına atış sayısı ve rastgele tohum gibi hesaplama ayarlarını yapılandırın. Centroidleri olasılık temelli bir seçim yöntemiyle başlatın ve yakınsamaya kadar yinelemeli olarak güncelledin. Tablo ayrıca küme etiketleri, merkez noktaları, optimal K, değerlendirme metrikleri ve görselleştirme grafikleri dahil olmak üzere beklenen çıktıları da belirtir.

Kategori	Parametre	Değer / Varsayılan	Notlar
Veri seti	Meme kanseri veri seti	569 örnek × 32 özellik (2 PCA bileşenine indirgenmiş)	PCA ile boyutsallık azaltılmış
Küme sayısı	K	Dinamik, başlangıçta 1, 5'e kadar	Varyans azaltma kullanılarak optimize edilmiştir
Maksimum kümeler	Kmax	5	Arama için üst sınır
Koşuya başta atış sayısı	N	1024	Devre uygulaması başına ölçümler
Toleransı durdurmak	ε	1 × 10^-14	Varyans yakınsaması kriteri
Varyans eğimi eşiği	ΔV	9.9 × 10^-4	Optimizasyon için durma eşiği
Gözlemler	Mobsrv	3	Küme boyutu başına bağımsız çalışmalar
Yineleme sınırı	–	10	Her çalışma başına maksimum centroid güncelleme adımları
Rastgele tohum	–	42	Tekrarlanabilirliği sağlar
Beklenen çıktılar	–	Küme etiketleri, centroidler, optimal K, değerlendirme metrikleri, grafikler	.csv ve .png dosyaları olarak dışa aktarıldı
Kümeler arasındaki varyanslar	Vlist	boş	Optimal K'yı algılar
Centroid j	CJ	fonksiyonla başlatılır (noktaların kare mesafelerine orantılı olasılıklara dayanarak)	Yinelemeli olarak güncellendi ve son merkez noktalarını depoladı

Tablo 1: Malzemeler, Yazılım ve Tekrarlanabilirlik Ayarları

Adım	Fonksiyon / API (kodunuzdan)	Aksiyon	Beklenen Sonuç
Özellik kodlama	QC.U(THETA, PI, PI, QUBIT)	Normalize edilmiş klasik özelliği kubit dönüşüne kodlayın	Kubit durumu
SWAP testi / kuantum mesafesi	get_Distance(x, y) qc.cswap() kullanılarak	3-kubitlik devre kur (ancilla + iki durum)	P(0) ≈ 1.0 → Aynı; ortogonal → P(0) ≈ 0.5
Devre uygulaması	AerSimulator ile SamplerV2 (1024 atış)	Transpilasyon ile simülatör üzerinde devre çalıştırın (opt seviye 1)	Ancilla kubiti için olasılık dağılımı
Centroid başlatma	initialize_centroids_kmeans_pp(puanlar, k)	Mesafeye orantılı başlangıç merkezlerini seçin	Çeşitli başlangıç merkezleri
Küme yeniden ataması	find_nearest_neighbour(noktalar, merkezler)	En yakın merkeze puan atama	Kararlı küme üyelikleri
Varyans hesaplaması	calculate_variance(merkezler, centers_distance)	Küme içi varyansı hesaplayın	Varyans her yinelemede azalır
Varyans eğimi	grad_slope(k, V_k, k-1, V_k-1)	ΔV'yi ε = 1e-14 ve eğim eşiği ΔV ≤ 0.000099 ile karşılaştırın	Optimal K tespit edildi
Görselleştirme	matplotlib.pyplot, plot_histogram	Grafik kümesi atamaları ve kuantum sonuçları	PCA dağınık grafikleri, varyans grafikleri, histogramlar
Metrik hesaplama	silhouette_score, calinski_harabasz_score, davies_bouldin_score	Kümeleme kalitesini değerlendirin	Silhouette ≈ 0.64, CH ≈ 766, DB ≈ 0.65

Tablo 2: Önerilen Algoritmanın Çalıştırılabilir Uygulama Detayları.

Uygulama ve Algoritmalar

Optimal Küme Belirleme ile Kuantum K-Ortalama Algoritması, kuantum özellik eşlemesi kullanırken optimal küme sayısını dinamik olarak belirleyen kuantum geliştirilmiş bir kümeleme^{yöntemidir. 19} Prosedür, tüm veri noktalarının tek bir kümeye ait olarak değerlendirilmesiyle başlar. K kümelerinin sayısı kademeli olarak artırılır. Küme merkezleri, noktalar arası mesafelere göre olasılıksal olarak başlangıllaştırılır, bundan sonra her veri noktası en yakın merkeze atanır ve K kümesi oluşur. Küme varyansı daha sonra hesaplanır ve centroidler güncellenir. Bu yeniden atama süreci, başka değişiklik olmayana kadar yinelemeli olarak tekrarlanır.

Algoritma, birden fazla yinelemede varyansı değerlendirir ve farklı küme sayılarına karşılık gelen varyans değerlerini saklar. K'nin optimal değeri, varyans azaltma ΔV izlenirken varyansı en aza indirerek belirlenir. Eğer ΔV önemsiz şekilde küçülürse, işlem sona erer; aksi takdirde, K artar ve kümeleme süreci yeniden başlar. Bu uyarlanabilir strateji, özellikle yüksek boyutlu özellik uzaylarında verinin verimli ve doğru bölümlenmesini sağlar.

Şekil 6: Önerilen Hibrit Kuantum K-Means Küme Oluşturma prosedürünün akış şeması; kuantum özellik eşlemesi, merkez başlatma, yinelemeli küme atama, kuantum varyasyonu hesaplaması, varyans tabanlı yakınsamama kontrolü ve optimal küme sayısının kuantum gradyan destekli seçimini göstermektedir. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Aşağıdaki adımlar, kanser ve kanser dışı gen ifade verilerini kümelemek için Kuantum K-Means Algoritması'nı özetlemektedir.

Algoritma: Kuantum K-Means algoritması kullanılarak kanser ve kanser dışı hücrelerin gen ifade verilerini kümelemek

Adım 1: Kuantum Özellik Eşlemesi (Çok Özellikli Kodlama).
Adım 2: Başlangıçta tüm veri noktalarının aynı kümeye ait olduğunu varsayarsak, K=1 değerini ayarlayın (Burada, K: Optimal Kümelerin no'su, V: Küme Varyansı ve ΔV: Varyans Azalması).
Adım 3: Merkezleri başlatın (Veri noktaları arasındaki mesafelerin olasılık oranı kullanılarak Başlangıç Merkez Noktalarının seçilmesi).
Adım 4: Her veri noktasını en yakın merkezlerine atayın; bu da önceden tanımlanmış 'K' kümelerini oluşturur.
Adım 5: Küme varyansını hesaplayın ve her küme için yeni bir centroid yerleştirin.
Adım 6: 4. adımı tekrarlayın; bu, her veri noktasını her kümedeki en yakın yeni merkeze yeniden atanmak anlamına gelir.
Adım 7: Herhangi bir yeniden atama olursa, Adım-5'e gidin, yoksa Adım-8'e gidin.
Adım 8: Şimdi C _j kümesini ('k' kümelerinin sayısı olan 'j'th iterasyon) aldık ve varyans V_kj= hesaplıyoruz, burada 'x': veri noktası C_i, C i kümesine ve C_ci: küme C i'nin küme _{merkezi ile} C ci. V_listesindeki V _kj varyansını kaydedin ve aynı 'K' ile yeni Merkezlerle 3. Adımdan (birkaç kez değil, yani 'j' zamanı, burada 1 ≤ j ≤ M_obsrv) yeni Merkezlerle tekrar kümeleme başlatın.
Adım 9: V_listesinden 'K' küme sayısı ile minimum varyans V'yi bulun.
Adım 10: ΔV hesaplayın (ΔV = |V_k - V_k-1|, burada V_k: kümelerin 'K' sayısı ile varyans, V_k-1: kümelerin 'K-1' sayısı ile varyanstır), eğer ΔV Kuantum Gradient Tabanlı Optimize Edilmiş (büyük indirgeme) ise, FINISH aksi K (K=K+1) artar ve 3. Adıma yeni 'K' ile gider.
Adım 11: Kümeler hazır ve kümelerin optimal sayısı 'K'dir.

Kuantum Özellikler Eşleme Algoritması

Algoritma 1: Kuantum Özellikler Haritalanması

Girdiler: P noktası kuantum durumlarının her birini |ψ〉 ve |Φ〉
Çıktı: Bir tahmin | 〈 ψ | Φ〉 |²
Algoritma Adımları:
Adım 1: Bir kubit alırız ve sıfır ile başlatırız; Hadamard kapısını uygulayıp Z tabanından X eksenine döndür.
Step 2: Özellik 1'e göre veri noktası değerine göre radyanla φ (0 ≤ φ ≤ π) ayarlıyoruz.
φ = 2*rad(^cos-1)(d₀)), burada d₀ , özellik 1 ve d₀ veri değerlerini temsil eder [0, 1] ∈ gösterir.
Adım 3: Özellik 2'ye göre veri noktası değerine göre θ (0 ≤ θ ≤ π ) radyan olarak ayarlıyoruz.
θ = 2 * rad(^cos-1(d₁)), burada d₁ , özellik 2 ve d₁ veri değerlerini temsil eder [0, 1] ∈[0, 1].
Adım 4: Veri noktalarının özelliklerini kodlayan döndürmeleri uygulamak için U3 kuantum kapısını kullanıyoruz.

Bu, kubiti Φ radyanı pozitif x eksenine ve θ radyan oranını pozitif z eksenine göre döndürür.

Kuantum Durumları Algoritmasının Karşılaştırılması

Algoritma 2: Kuantum Durumlarının Karşılaştırılması

Girdiler: İki kuantum durumu |q₁〉 ve |q₂〉 kuantum durumları |ψ〉 ve |Φ〉
Çıktı: Bir tahmin | 〈ψ|Φ〉 |²
Algoritma Adımları:
Adım 1: A kubitini ancilla olarak düşünmek ve durumuna göre başlatmak |0〉
Adım 2: Hadamard kapısını kubit A'ya uygulayın
Adım 3: CSWAP'ı |q₁ 〉 ve |q₂ 〉 kubitlerine uygulayın (durum üzerinde|ψ〉 ve |Φ〉), A kontrol kubiti olarak kullanılır
Adım 4: Hadamard kapısını kubit A'ya uygulayın
Adım 5: A ölçümü Z bazında ve ölçüm sonucunu M olarak kaydetmek
Dönüş M, tahminimiz olarak | 〈 ψ|Φ 〉 |²

Kuantum Mesafe Tahmincisi-k-küme algoritması

Algoritma 3: Kuantum Mesafe Tahmincisi ve Yeni Küme Merkezini Seç

Girdiler: P sayı veri noktası ve K no küme merkezi, her kuantum durumu |ψ〉 ve |Φ〉
Çıktı: Veri noktalarıyla ilişkili yeni kümelenmiş centroid
Algoritma Adımları:
I , 1'den P'ye kadar değişen bir halde:
Veri noktasını seç ve |q_i 〉
1'den K'ye kadar olan j için:
J^. kümelenmiş centroid seçin ve |q_j 〉
Kuantum Durumlarını Karşılaştır |q_i 〉 ve |q_j 〉yani j⁽M i, j) merkezli^{i kubit} ve M cinsinden ölçümü (M_i, j) olarak kaydeder
son
M'den minimum mesafeyi (M_min , min) bulun ve min'in |q_i 〉'nin yeni merkez noktasıdır 〉ve C_i olarak kaydedildi
son
Dönüş C yeni merkez listemiz olarak

M= |q i 〉 ith kubit'ten tüm kümelenmiş centroid mesafelerinin listesi
C = |q_i 〉'nin tüm yeni hesaplanmış minimum mesafe kümelenmiş merkez C_i listesi; ∀_{(i∈{1,...,P})}

Başlangıç Merkez Seçim Algoritması

Algoritma 4: Veri noktaları arasındaki mesafelerin olasılık oranını kullanarak başlangıç merkez noktalarını hesaplayın

Girdiler: m veri noktası sayısı (X₁, X₂,...,X_m), her kuantum durumu |ψ〉 ve |Φ〉
Çıktı: K başlangıç merkezli bir S kümesi döndürün
Algoritma Adımları:
Adım 1: Veri noktası X_i'den rastgele bir X noktası seçin (1 ≤ i ≤ m) ve S kümesine ekleyin
Adım 2: Tüm X_i için, X i ile S'deki en yakın merkez noktası ile X_i arasındaki mesafeyi S'deki en yakın merkez noktası ile hesaplayın ve mesafeyi D_dist(X_i) olarak ayarlayın
Adım 3: 0 ile D_mesafesi arasında eşit bir Y sayısı seçin: mesafe(X₁)² + D_mesafe (X₂)² + ...+ D_mesafe (X_m)²
Adım 4: Benzersiz bir tam sayı i bulun
D_dist (X₁)² + D_dist (X₂)² + ...+ D_dist (X_i)² >= Y > D_dist (X₁)² + D_dist (X₂)² + ...+ D_dist (X_i-1)²
Adım 5: S'ye X_i ekle
Adım 6: K centroid bulunana kadar 2 – 4. adımları tekrarlayın

Dönüş S başlangıç merkez noktaları olarak

Kuantum Varyans Hesaplama Algoritması

Algoritma 5: Kuantum Varyansı Hesaplayın

Girdiler: P sayısı veri noktası, her kuantum durumu | ψ〉 ve |Φ〉
Çıktı: veri noktalarının varyansını döndür
Algoritma Adımları:
totalVaryans ← 0
i için 1'den K'ye kadar:
Kümelenmiş merkez^i'yi seç ve |q_i 〉
totalVariancei ← 0, M ← 0
tüm j ∈ P, küme merkez i ile ilişkilidir:
J^. veri noktasını seç ve |q_j 〉
Kuantum Durumlarını Karşılaştır |q_i 〉 ve |q_j 〉yani^{j veri} noktasıyla^i-ci centroid ve ölçümü M_j'de kaydeder
M ← M + Mj
son
_{totalVaryans i} ← [C_i i^. kümesidir; |C_i | i^kümedeki veri noktalarının sayısıdır, D_k ∈ C_i & M_k veri noktasıdır
C_i'nin merkezinden D_k'ya olan mesafedir]
totalVaryans ← totalVaryans + totalVaryans
son
dönüş toplamıVaryans

Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyon Algoritması (Kümelerin Optimal Sayısını Almak)

Kuantum gradyan tabanlı optimizasyon adımı, K arttıkça küme içi varyansın nasıl değiştiğini izleyerek optimal küme sayısını belirler. K'nın ardışık değerleri için varyansı hesaplayın ve aralarındaki değişimi değerlendirin. Varyans azalması önceden tanımlanmış eşik değerinin altına düştüğünde, ek kümeler artık kompaktlığı artırmaz ve karşılık gelen K optimal olarak seçilir. Bu eğrilik temelli kriter, kümelenmenin, verideki doğal yapının aşırı bölünmeden yakalandığı noktada durmasını sağlar.

Algoritma 6: Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyon

Girdiler:
Tek bir kubit dönüş kapısı R_Y(θ) olan parametrizlenmiş kuantum devresi QC(θ).
Kuantum gözlemlenebilir = Z (Pauli-Z beklenti değeri).
Parametre değerleri aralığı θ.
Çıktı: Θ ile ilgili beklenti değeri 〈Z〉'nin ikinci türevi f′′(θ).
Algoritma Adımları:
Adım 1: Tek kubitli bir kuantum devresini QC(θ) ile başlatın:
Parametrizlenmiş bir dönme kapısı R_Y(θ).
Hesaplama (Z) temelinde ölçüm.
Adım 2: Fonksiyonu tanımlayın Evaluate_ Bekleme(θ) yani f′(θ) =
θ parametresini devreye bağlayın.
Devreyi bir kuantum simülatöründe N atışla çalıştırın.
Sonuç olasılıkları P(0) ve P(1) ölçün.
Bekleme değerini hesaplayın:
f(θ)=P(0)−P(1)
Adım 3: Parametre-Kaydırma Kuralı kullanarak İkinci Türevi hesaplayın:
Shift değerini s =
Kaydırılmış noktalarda beklenti değerlerini hesaplayın:
f(θ+s), f(θ), f(θ−s)
İkinci türevi hesaplayın:
f ′′(θ) =
Adım 4: f ′′(θ) varyans azaltma davranışını analiz etmek için.

Önerilen kuantum kümeleme yaklaşımının uygulama detayları Tablo 2'de sunulmaktadır. Tablo, algoritmanın her aşamasında kullanılan çalıştırılabilir fonksiyonları ve API'leri belirtir; bunlar arasında kuantum devrelerine özellik kodlama, mesafe tahmini için SWAP testinin yürütülmesi, centroid başlatma, yinelemeli küme yeniden ataması ve varyans/ΔV değerlendirmesi dahildir. Devre yürütme parametreleri, örneğin SamplerV2'nin AerSimulator arka uçu ile 1024 atışta kullanımı ve transpilasyon optimizasyon seviyesi 1 gibi listelenmiştir. Ayrıca, tablo PCA dağılma grafikleri, varyans grafikleri ve histogramlar oluşturmak için kullanılan görselleştirme yöntemlerini ve küme değerlendirme metriklerini (silhouette_score, calinski_harabasz_score ve davies_bouldin_score) özetlemektedir. Belirli komut seviyesi fonksiyonları ve API'leri detaylandırarak, tablo önerilen algoritmadaki tüm hesaplama adımlarının tekrarlanabilirliğini sağlar.

Sonuçlar

İyi bir küme, kümeler arasındaki mesafe, küme mesafesi dahilinde, varyans oranı kriterleri gibi çeşitli faktörlere bağlıdır. Bu nedenle, kümeleme performansı üç standart endeks kullanılarak değerlendirildi: Silhouette Score, Calinski-Harabasz Index (CH Index) ve Davies-Bouldin Index (DB Endeksi). Silhouette Score, kümeler arasındaki mesafeyi şu şekilde ölçür;

Tartışma

Bu çalışma, özellikle yüksek boyutlu gen ifade verilerini kullanarak kanserli ve kanser dışı örnekleri sınıflandırmak için tasarlanmış Optimal Küme Algılama ile yeni bir Hibrit Kuantum K-Means Küme Algoritması önermektedir. Bu yaklaşım, Kuantum Çok Özellikli Haritalama, Swap Test tabanlı kuantum mesafe tahmini ve Kuantum Gradient Tabanlı Optimizasyonu entegre ederek optimal küme sayısını dinamik olarak belirler. Geleneksel K-Means algoritmalarının aksine, önceden tanımla...

Malzemeler

Bu makalede kullanılan malzemelerin listesi

Ad	Şirket	Katalog numarası	Yorumlar
Apple MacBook Pro (M1 çipi)	Apple Inc.	-	8 çekirdekli CPU / 8 çekirdek GPU, 16? GB birleşik bellek — Yerel simülasyon için kullanılıyor
Meme Kanseri Gen İfadesi Veri Seti	Kaggle	-	569 örnek içeren veri seti, 32 özellik (çalışmada PCA ile azaltılmış)
macOS Monterey (İşletim Sistemi)	Apple Inc.	12.6.9	Yerel makinede kullanılan çalışma zamanı ortamı
matematik (Python standart kütüphanesi)	Python Yazılım Vakfı	Dahili	Temel matematiksel fonksiyonlar
Matplotlib	Matplotlib topluluğu	3.8.4	Çizim ve görselleştirme
NoiseModel, QuantumError, ReadoutError (Qiskit Aer)	IBM / Qiskit projesi	Aer 0.13.3'ün bir parçası	Gerçekçi kuantum gürültüsünü simüle etmek için kullanılır
NumPy	NumPy geliştiricileri	1.26.4	Sayısal işlemler ve dizi manipülasyonu
pandalar	Pandas Geliştirme Ekibi	2.2.2	Veri işleme, I/O, tablo işlemleri
Python	Python Yazılım Vakfı	3.10.12	Jupyter / IPython ortamında kullanılan programlama dili
Qiskit Aer	IBM / Qiskit projesi	0.13.3	Gürültü modellemesi ve yürütme ile simülatör arka uçu
Qiskit IBM Çalışma Zamanı – Session, SamplerV2	IBM / Qiskit projesi	0.41.1	Simülatörde devreler için yürütme çerçevesi
Qiskit Terra	IBM / Qiskit projesi	0.45.0	Devre yapımı ve transpilasyon için kuantum çerçevesi
scikit-learn	scikit-learn geliştiricileri	1.4.2	PCA, kümeleme metrikleri, veri ön işleme