A Nonlinear Dynamic System Modeling of Stress Regulation and Emotional Behavior in Higher Education

Özet

This protocol presents a physics-inspired nonlinear state-space framework for modeling stress–emotion dynamics in higher education, enabling users to analyze burnout thresholds, oscillatory stress cycles, resilience, and adaptive regulation using differential equations, stability analysis, and stochastic simulations.

Özet

Stress regulation and emotional behavior in higher education are commonly examined using descriptive statistical models that lack a mechanistic dynamical structure. However, academic stress exhibits nonlinear behaviors, including threshold effects, burnout, and adaptive responses, that are not adequately captured by linear models. This study adopts a nonlinear dynamical systems perspective to model stress regulation and emotional behavior in higher education. The primary aim of this study is to develop a physics-inspired nonlinear state-space framework that rigorously models stress–emotion coupling and adaptive regulation in higher education. The protocol establishes a nonlinear state-space model describing stress, emotional activation, and regulatory capacity. Users can implement the protocol to simulate system dynamics and evaluate stability under varying academic conditions. The framework incorporates nonlinear stability analyses and stochastic simulations to investigate resilience, instability, and burnout-related transitions. Simulation results demonstrate nonlinear stability, resilience effects, and regime transitions that are not captured by conventional linear models. The results indicate that stress regulation in higher education behaves as a nonlinear dynamical system. By integrating nonlinear dynamics, energy landscape modeling, and adaptive regulation theory, this work provides a unified predictive framework that explains resilience, instability, and recovery processes in academic environments. The framework provides a foundation for future studies of student wellbeing and burnout risk. The framework is relevant to researchers and practitioners interested in student well-being and stress regulation.

Giriş

Yükseköğretimde stres düzenlemesi ve duygusal davranış, içsel psikolojik geri bildirimlerin ve dışsal akademik baskıların ortak etkisi altında zamanla evrilen karmaşık bir dinamik süreç olarak yorumlanabilir¹. Ders çalışmaları, sınavlar, kurumsal beklentiler ve sosyal değerlendirmeler; öğrencilerin duygusal durumlarını sürekli olarak etkileyerek kaygı, motivasyon ve bağlılıkta dalgalanmalara yol açar². Bu duygusal tepkiler; bilişsel değerlendirme, başa çıkma stratejileri ve adaptif düzenleme mekanizmaları tarafından yönetilen çok boyutlu bir faz uzayında gelişir³. Eğitim psikolojisindeki klasik stres tepki modelleri, genellikle stres uyaranları ile duygusal tepkiler arasında orantılı ilişkiler olduğunu varsayar ve bu ilişkileri tanımlamak için sıklıkla regresyon analizlerine veya tanımlayıcı istatistiksel indekslere dayanır⁴. Ancak ampirik gözlemler; eşik etkileri, doygunluk, histerezis ve tükenmişlik ile duygusal çöküşü içeren ani geçişler gibi doğrusal olmayan özellikleri tutarlı bir şekilde ortaya koymaktadır⁵. Kararlı koşullar altında küçük stresörler ihmal edilebilir duygusal değişimler yaratabilir; ancak kritik eşiklere yaklaşıldığında, orantısız duygusal tepkileri tetikleyebilirler⁶. Bu davranış, dengeden uzak tutulan fiziksel sistemlerde gözlemlenen doğrusal olmayan salınımlara ve bifurkasyon fenomenlerine benzemektedir⁷. Bu bakış açısı dahilinde öğrenciler, düzenleme ve adaptasyonu yöneten geri bildirim süreçleri aracılığıyla akademik çevreleriyle sürekli olarak stresle ilgili "enerji" alışverişi yapan açık disipatif sistemler olarak kavramsallaştırılabilir⁸.

Eğitsel ve psikolojik bir perspektiften bakıldığında, mevcut çerçevede kullanılan kavramlar sezgisel olarak yorumlanabilir. Stres birikimi, akademik talepler ve çevresel baskılar tarafından oluşturulan kademeli yükü temsil eder. Duygusal aktivasyon; kaygı, hayal kırıklığı, motivasyon ve bağlılık gibi afektif durumlardaki değişiklikleri yansıtırken, düzenleyici kapasite öğrencilerin zorluklara uyum sağlamasına yardımcı olan başa çıkma ve öz düzenleme mekanizmalarına karşılık gelir. Gelecekteki ampirik uygulamalar için stres birikimi, algılanan stres ölçekleri kullanılarak temsil edilebilir; duygusal aktivasyon, valide edilmiş kaygı, ruh hali veya duygusal esenlik araçları kullanılarak değerlendirilebilir ve düzenleyici kapasite ise psikolojik sağlamlık, başa çıkma veya öz düzenleme ölçümleri kullanılarak tahmin edilebilir. Bu eşleştirmeler, gelecekteki parametre kestirimi ve model kalibrasyonu için pratik bir temel oluşturur. Bu bağlamda; kararlılık, psikolojik sağlamlık ve kritik geçişler gibi doğrusal olmayan kavramlar, psikolojik adaptasyonun farklı kalıpları olarak anlaşılabilir. Kararlı durumlar dengeli duygusal işleyişi temsil eder, psikolojik sağlamlık bozulmalardan sonra toparlanma yeteneğini yansıtır ve kritik geçişler ise kronik stres veya tükenmişlik gibi uyum bozucu sonuçlara doğru meydana gelen ani kaymalara karşılık gelir. Bu yorumlar, eğitim psikolojisi ile doğrusal olmayan dinamik sistemler teorisi arasında daha net bir kavramsal köprü kurarak önerilen çerçevenin disiplinler arası izleyici kitleler için erişilebilirliğini artırmaktadır.

Bu etkileşimlere kavramsal bir genel bakış sunmak amacıyla, Şekil 1 yükseköğretim sistemlerindeki dinamik stres-duygu etkileşimlerinin yapısını göstermektedir. Diyagram; akademik taleplerden kaynaklanan stres girdilerini, psikolojik durumun evrimini temsil eden duygusal yanıt değişkenlerini ve geri besleme döngüleri aracılığıyla sistemi modüle eden adaptif düzenleyici mekanizmaları sunmaktadır. Bu bileşenler dinamik olarak etkileşime girerek, kararlı duygusal durumlara doğru yakınsayabilen veya uyumsuz rejimlere doğru uzaklaşabilen, bir stres-duygu faz uzayı içinde yörüngeler oluşturur. Bu kavramsal temsil, duygusal düzenlemenin dinamik doğasını vurgulasa da, mevcut psikolojik modeller bu ilişkileri zamansal evrimi tanımlayan açık matematiksel yapılara nadiren dönüştürmektedir.

Şekil 1Yükseköğretim sistemlerinde dinamik stres-duygu etkileşiminin kavramsal diyagramı. Bu şekil, akademik ortamlardaki stres-duygu dinamiklerinin kavramsal yapısını göstermektedir. Diyagram; akademik taleplerden kaynaklanan stres girdilerini, psikolojik durumların gelişimini temsil eden duygusal yanıt değişkenlerini ve geri bildirim döngüleri aracılığıyla sistemi düzenleyen adaptif düzenleyici mekanizmaları göstermektedir. Bu şeklin daha büyük bir versiyonunu görüntülemek için lütfen buraya tıklayın.

Mevcut modelleme yaklaşımlarının sınırlılıkları, mevcut stres modelleme literatüründeki temel araştırma boşluklarını belirleyen kavramsal bir çerçeve sunan Şekil 2'de daha detaylı olarak gösterilmiştir. Diyagramın merkezinde, stres-duygu etkileşimi için mekanistik bir dinamik çerçevenin eksikliği yer almaktadır. Bu sınırlılığı çevreleyen ve güncel araştırmaları karakterize eden birbirine bağlı birkaç boşluk bulunmaktadır. İlk olarak, birçok çalışma, zamanla evrimi ve geri bildirim dinamiklerini tanımlayan yönetici denklemlerden yoksun olan korelasyon tabanlı stres indekslerine dayanmaktadır⁹. İkinci olarak, tükenmişlik ve duygusal istikrarsızlık, Jacobian matrisleri veya özdeğer tabanlı kriterler kullanılarak yapılan formal stabilite analizlerinden ziyade sıklıkla nitel olarak tanımlanmaktadır¹⁰. Üçüncü olarak, mevcut modeller, duygusal düzenleme sistemleri içindeki dayanıklılığı veya çekim havzası geometrisini nicelleştirebilen enerji manzara temsillerinden yoksundur¹. Son olarak, stres ve duygusal tepkiler, genellikle doğrusal olmayan geri bildirim süreçleri tarafından yönetilen dinamik olarak eşleşmiş durum değişkenleri yerine bağımsız değişkenler olarak ele alınmaktadır¹². Tüm bunlar birlikte değerlendirildiğinde, yükseköğretim stres sistemlerindeki osilatuar davranışı, çoklu stabiliteyi ve faz geçişlerini tanımlayabilen titiz bir dinamik modelleme çerçevesine duyulan ihtiyacı vurgulamaktadır.

Şekil 2Mevcut stres modelleme literatüründeki araştırma boşluklarını gösteren kavramsal çerçeve. Bu şekil, güncel stres modelleme yaklaşımlarındaki temel kısıtlamaların kavramsal bir genel görünümünü sunmaktadır. Diyagramın merkezinde, stres-duygu etkileşimini tanımlayan mekanistik bir dinamik çerçevenin eksikliği yer almaktadır. Bu şeklin daha büyük bir versiyonunu görüntülemek için lütfen buraya tıklayın.

Bu sınırlamaları gidermek için, Şekil 3 bu çalışmada geliştirilen önerilen doğrusal olmayan dinamik modelleme mimarisini sunmaktadır. Çerçeve; stres birikim dinamiklerini, duygusal aktivasyon değişkenlerini ve adaptif düzenleyici geri besleme mekanizmalarını birleşik bir doğrusal olmayan durum-uzay formülasyonu içinde entegre eder. Bu çerçevede, sistemin evrimi; iç düzenleme dinamiklerini, dış zorlama etkilerini ve beklenmedik akademik olaylardan kaynaklanan stokastik pertürbasyonları yakalayan doğrusal olmayan diferansiyel denklemler aracılığıyla tanımlanabilir. Böyle bir formülasyon, stres-duygu etkileşimlerinin; denge analizi, bifurkasyon analizi, Lyapunov kararlılık teorisi ve stokastik kararlılık yöntemleri dahil olmak üzere doğrusal olmayan dinamik sistemler teorisinden gelen araçlar kullanılarak analiz edilmesine olanak tanır^13,14,15,16. Açık yönetici denklemlerle model, duygusal durumların sürekli çevresel zorlama ve iç geri besleme süreçleri altında zamanla nasıl evrildiğinin titiz bir şekilde analiz edilmesini sağlar.

Şekil 3Stres-duygu regülasyonu için önerilen doğrusal olmayan dinamik modelleme mimarisi. Bu şekil, yükseköğretim sistemlerindeki stres-duygu etkileşimlerini modellemek için bu çalışmada geliştirilen doğrusal olmayan dinamik çerçeveyi göstermektedir. Mimari; stres birikim dinamiklerini, duygusal aktivasyon değişkenlerini ve adaptif düzenleyici geri bildirim mekanizmalarını birleşik bir durum-uzay formülasyonunda bütünleştirmektedir. Bu şeklin daha büyük bir versiyonunu görüntülemek için lütfen buraya tıklayın.

Bu çalışmada sunulan yöntemin genel amacı, yükseköğretimde stres düzenlemesinin çoklu kararlılık, salınımlı rejimler ve kritik geçişler sergileyebilen dinamik bir sistem olarak analiz edilmesine olanak tanıyan mekanistik bir doğrusal olmayan modelleme çerçevesi oluşturmaktır. Geleneksel doğrusal stres-indeksi modellerinin aksine, önerilen çerçeve; birikmiş stres enerjisi, duygusal aktivasyon ve adaptif düzenleme kapasitesi arasındaki doğrusal olmayan geri besleme etkileşimlerini açıkça bünyesine katar^17,18,19,20. Bu doğrusal olmayan etkileşimler; denge durumlarının tanımlanmasını, kararlılık marjlarının karakterize edilmesini ve tükenmişlik geçişleriyle ilişkili kritik eşik noktalarının (tipping points) tespit edilmesini sağlar. Ayrıca çerçeve, Lyapunov tipi potansiyel fonksiyonlarının duygusal durumların kararlılık yapısını tanımladığı, duygusal düzenlemeye dair bir enerji-manzarası (energy-landscape) yorumu sunar^21,2,23. Bu temsil dahilinde dayanıklılık, çekim havzası derinliği ile nicelendirilebilirken, kararsızlık eşikleri ise kararlı atraktörlerin ortadan kalktığı bifurkasyon noktalarına karşılık gelir.

Gerçekçiliği artırmak için model, akademik dönem döngülerini temsil eden periyodik zorlama terimlerinin yanı sıra beklenmedik akademik olayları veya çevresel dalgalanmaları yakalayan stokastik pertürbasyonları içerir^24,25,26. Bu genişletmeler, çerçevenin, sınav dönemlerindeki salınımlı stres döngüleri ve duygusal durumlar arasındaki gürültü güdümlü geçişler dahil olmak üzere gerçekçi akademik stres dinamiklerini simüle etmesini sağlar. Bu tür modelleme yetenekleri, kararsızlık eşiklerinin ve dayanıklılık mekanizmalarının öngörücü analizlerine olanak tanıyarak tamamen istatistiksel yaklaşımlara göre avantajlar sağlar.

Lineer olmayan dinamik yaklaşımlar, geri besleme odaklı süreçlerin lineer modellerle açıklanamayan beliren davranışlar ürettiği biyolojik düzenleme, nörobilim ve karmaşık sosyal sistemler gibi alanlarda daha önce uygulanmıştır^27,28,29. Yükseköğretimde stres düzenlemesine yönelik benzer ilkelerin uygulanması, eğitim psikolojisi ile dinamik sistemler teorisi arasında bir köprü kurarak, duygu düzenleme süreçlerinin matematiksel olarak titiz bir çerçevede analiz edilmesine olanak tanır. Lineer olmayan dinamik modelleme, stabilite teorisi ve enerji manzarası analizini birleştiren burada açıklanan yöntem; akademik ortamlarda stres dinamiklerinin, dayanıklılık mekanizmalarının ve duygusal stabilitenin araştırılması için birleştirilmiş bir platform sunmaktadır³⁰.

Nihayetinde bu çerçeve, araştırmacıların stresin nasıl biriktiğini, duygusal tepkilerin nasıl geliştiğini ve adaptif düzenleme mekanizmalarının uzun vadeli sistem stabilitesini nasıl etkilediğini analiz etmelerine olanak tanır. Bu nedenle söz konusu yaklaşım, yükseköğretim sistemlerindeki dayanıklılık, tükenmişlik geçişleri ve toparlanma süreçlerini incelemek için güçlü bir metodolojik araç sunmaktadır. Önerilen çerçeve, metodolojik katkısının ötesinde, eğitim psikolojisi ile lineer olmayan dinamik sistemler bilimi arasında disiplinler arası bir köprü görevi görmeyi amaçlamaktadır. Stres birikimi, duygusal aktivasyon, dayanıklılık ve adaptif düzenleme gibi psikolojik süreçleri matematiksel olarak işlenebilir durum değişkenlerine dönüştüren bu çerçeve, karmaşık eğitimsel fenomenlerin titiz dinamik araçlarla araştırılması için ortak bir analitik dil sağlar. Bu entegrasyon, kavramsal netliği artır, davranışsal ve psikolojik ölçümler kullanılarak gerçekleştirilecek gelecekteki ampirik kalibrasyonları kolaylaştırır ve akademik ortamlardaki stres düzenlemesine yönelik öngörücü ve açıklayıcı modellerin geliştirilmesini destekler³¹. Basit bir ifadeyle, önerilen çerçeve akademik stresin nasıl biriktiğini, duygusal tepkilerin zamanla nasıl değiştiğini ve başa çıkma mekanizmalarının toparlanma ve dayanıklılığı nasıl etkilediğini incelemektedir. Model, öğrencilerin hangi koşullar altında duygusal stabilitelerini koruduklarını veya tükenmişliğe karşı savunmasız hale geldiklerini belirlemeyi, böylece psikolojik teori ile nicel sistem analizi arasında bir köprü kurmayı hedeflemektedir.

Protokol

This protocol does not involve human or animal experimentation. The study relies exclusively on mathematical modeling and computational simulation of stress–emotion dynamics in higher education systems. The computational tools, software environments, and numerical resources required to implement the nonlinear dynamical modeling framework described in the protocol are listed in the Table of Materials.

1. Model initialization and computational environment setup

1. Open the computational environment and create a new project directory for the simulation study. Complete software details are provided in Supplementary File 1.
2. Create a primary script file named StressEmotionModel.m for implementation of the nonlinear stress–emotion–regulation framework.
3. Define the three state variables representing the dynamical system.
   1. Define S(t) as accumulated academic stress. Define E(t) as emotional activation.
   2. Define R(t) as adaptive regulatory capacity.
4. Create a parameter initialization file and assign values to all baseline model parameters.
5. Define the baseline parameter set as follows.
   1. Set the external forcing parameter F to 2.0. Set the stress dissipation parameter β to 0.30.
   2. Set the stress–emotion coupling parameter γ to 0.50. Set the regulation gain parameter κ to 0.40.
   3. Set the emotional sensitivity parameter α to 0.80. Set the emotional relaxation parameter δ to 0.50.
   4. Set the nonlinear saturation parameter µ to 0.10. Set the regulation-mediated interaction parameter η to 0.20. Set the regulation decay parameter λ to 0.25.
6. Define the initial state vector.
   1. Set S(0) = 1.0.
   2. Set E(0) = 0.5.
   3. Set R(0) = 0.8.
      NOTE: Use identical parameter values across all baseline simulations unless conducting a sensitivity analysis.

2. implementation of the nonlinear dynamical model

1. Create a function file containing the coupled differential equations governing stress, emotion, and regulation dynamics. The governing equations are provided in Supplementary File 1 (Section S1.2), while the corresponding MATLAB implementation is presented in Supplementary File 1 (Section S1.8).
   NOTE: The baseline model parameters, initial conditions, numerical solver configuration, and governing nonlinear ordinary differential equations are provided in Supplementary File 1 (Sections S1.2–S1.6). These parameters are used consistently throughout all numerical simulations unless otherwise specified.
2. Implement the stress evolution equation for the accumulated stress state variable S(t) according to the governing nonlinear dynamical system described in Supplementary File 1, Section S1.2. The corresponding computational implementation of this equation is provided in Supplementary File 1, Section S1.8 (Function 1: Model Equations).
3. Implement the emotional activation equation described in Supplementary File 1, Section S1.2. The MATLAB implementation of the emotional activation equation is available in Supplementary File 1, Section S1.8 (Function 1: Model Equations).
4. Implement the adaptive regulation equation governing the regulatory capacity state variable R(t) according to the nonlinear model described in Supplementary File 1, Section S1.2. The corresponding MATLAB implementation is provided in Supplementary File 1, Section S1.8 (Function 1: Model Equations).
5. Enable optional stochastic perturbations by introducing independent Gaussian noise terms into each state variable to simulate random academic disturbances and environmental variability.
6. Perform 30 independent stochastic realizations (n = 30) using different random noise sequences while maintaining identical baseline model parameters and initial conditions.
7. Compute the mean trajectories and the corresponding variability estimates, with the error bars reported in the Results section representing the statistical variation across these independent realizations.
8. Integrate the nonlinear dynamical system using the ODE45 numerical solver with a relative tolerance of 1 × 10⁻⁶, an absolute tolerance of 1 × 10⁻⁸, an initial integration step of 0.001, and a maximum step size of 0.05 over the simulation interval 0 ≤ t ≤ 500.
9. Provide the detailed computational implementation, solver configuration, and simulation workflow in Supplementary File 1, Sections S1.6–S1.11.
10. Define the stochastic amplitudes as follows.
    1. Set σS = 0.05.
    2. Set σE = 0.05.
    3. Set σR = 0.03.
11. Constrain all state variables to remain non-negative during numerical integration.
12. Replace negative numerical values with zero during post-processing.

3. Numerical simulation

1. Configure the numerical solver.
   1. Select ODE45 for deterministic simulations.
   2. Select an equivalent stochastic integration routine when stochastic simulations are performed.
   3. Determine the equilibrium state numerically using the MATLAB fsolve function with an initial state estimate of [1, 1, 1]. The iterative solution is considered converged when the solver satisfies its default nonlinear convergence criteria under the specified numerical tolerances.
      ​Note: The complete implementation is provided in Supplementary File 1, Section S1.8 (Equilibrium Solver).
2. Define the numerical solver settings.
   1. Set the relative tolerance to 10⁻⁶. Set the absolute tolerance to 10⁻⁸.
   2. Set the maximum step size to 0.05. Set the initial step size to 0.001.
3. Define the simulation interval from t = 0 to t = 500.
4. Sample output trajectories at intervals of Δt = 0.1.
5. Execute the numerical integration.
6. Store the simulated trajectories of S(t), E(t), and R(t).
7. Export the simulation outputs in comma-separated value (CSV) format for subsequent analysis.
   PAUSE POINT: At this stage, all simulation trajectories and numerical outputs have been generated and exported. The workflow may be paused and resumed later by reloading the archived parameter files and simulation outputs before proceeding to equilibrium analysis, stability analysis, visualization, and sensitivity analysis.

4. Equilibrium and stability analysis

1. Calculate equilibrium solutions by setting all state derivatives equal to zero. Solve the resulting nonlinear algebraic equations using a numerical root-finding algorithm.
   NOTE: A steady-state solution is considered to be reached when the absolute difference between two successive state vectors satisfies the specified convergence criterion. The detailed convergence criterion is provided in Supplementary File 1, Section S1.7.
2. Compute the Jacobian matrix at each equilibrium point. Calculate the eigenvalues of the Jacobian matrix.
3. Classify equilibrium states according to the sign of the maximum real eigenvalue. Label equilibria as stable when all eigenvalues have negative real components.
4. Generate stability maps showing the distribution of stable and unstable operating regions.

5. Phase-space and time-domain visualization

1. Generate time-domain plots of S(t), E(t), and R(t). Create two-dimensional phase portraits for the S–E plane.
2. Create two-dimensional phase portraits for the E–R plane. Generate three-dimensional trajectories in the S–E–R state space.
3. Overlay vector fields and streamline plots on the phase portraits, where applicable. Save all figures in a high-resolution image format for documentation and publication.

6. Sensitivity analysis

1. Create a sensitivity-analysis script. Vary one parameter at a time while maintaining all remaining parameters at their baseline values. Perform sensitivity analysis for the stress–emotion coupling parameter.
2. Perform sensitivity analysis for the stress dissipation parameter. Perform sensitivity analysis for the regulation gain parameter. Perform sensitivity analysis for the external forcing parameter.
3. Perform sensitivity analysis for the nonlinear emotional saturation parameter. Execute the simulation for each parameter value.
4. Calculate the steady-state emotional equilibrium after each simulation. Store all equilibrium values in a results database.
5. Perform one-parameter sensitivity analyses by independently varying the principal model parameters over the predefined ranges listed in Supplementary File 1, Section S1.10. Specifically, vary γ from 0.1 to 2.0 using increments of 0.1, β from 0.1 to 1.0 using increments of 0.05, κ from 0.1 to 2.0 using increments of 0.1, F from 0.5 to 5.0 using increments of 0.25, and µ from 0.01 to 1.0 using increments of 0.05.
   NOTE: For each parameter value, perform numerical integration, compute the steady-state solution, store the resulting state variables, and generate the corresponding sensitivity curves and comparison plots.
6. Generate sensitivity curves. Generate comparative scatter plots.
7. Generate comparative bar charts. Generate parameter-response heatmaps.

7. Output generation and verification

1. Verify convergence of all simulations. Confirm that state trajectories remain bounded throughout the simulation interval.
2. Verify that the numerical solution has reached a steady state before proceeding with the subsequent analyses.
   NOTE: Convergence is assumed when the successive changes in all state variables satisfy the predefined convergence criterion described in Supplementary File 1, Section S1.7 (Convergence Criteria). Only converged solutions are subsequently used for equilibrium, stability, and sensitivity analyses.
3. Confirm that equilibrium solutions satisfy the convergence criterion. Export all simulation outputs, stability maps, phase portraits, sensitivity plots, and numerical datasets.
   NOTE: Unless otherwise stated, all simulations employ the baseline parameter set presented in Supplementary File 1, and all numerical analyses follow the computational workflow summarized in Supplementary File 1, Section S1.9. The complete MATLAB source code, parameter files, solver configurations, and visualization routines required to reproduce the reported simulations are provided in Supplementary File 1.
4. Archive all scripts, parameter files, and output files for reproducibility and future validation studies.
   NOTE: Provide all MATLAB source code, parameter files, plotting routines, and simulation workflows as supplementary materials to enable independent reproduction of the reported results.

Sonuçlar

Önerilen doğrusal olmayan dinamik çerçeveyi doğrulamak ve geleneksel doğrusal formülasyonlara göre avantajlarını göstermek için kapsamlı bir sayısal simülasyon çalışması gerçekleştirilmiştir (Ek Dosya 2). Aksi belirtilmedikçe, tüm stokastik simülasyon sonuçları 30 bağımsız gerçekleştirmeden (n = 30) elde edilen ortalama ± standart sapma (SD) olarak sunulmuştur. Simülasyon senaryoları arasındaki istatistiksel karşılaştırmalar, p < 0,05 anlamlılık düzeyinde uygun bir istatistiksel test kullanılarak yapı...

Tartışma

The computational protocol presented here demonstrates how a nonlinear dynamical framework can be implemented to simulate stress–emotion interactions through numerical integration, stability analysis, and sensitivity analysis. A critical step in implementing this method is the correct numerical integration of the governing differential equations over sufficiently long-time intervals to ensure convergence toward steady-state or attractor dynamics. The sensitivity analyses reveal that the nonlinear formulation respon...

Malzemeler

Bu makalede kullanılan malzemelerin listesi

Ad	Şirket	Katalog numarası	Yorumlar
Differential Equation Solver (ODE45)	MathWorks	MATLAB R2024a	Numerical solver used for integrating the coupled nonlinear differential equations. Relative tolerance = 1×10-6; Absolute tolerance = 1×10-8.
MATLAB Software	MathWorks, Natick, MA, USA	RRID: SCR_001622	Primary numerical computing software used for model implementation, stability analysis, sensitivity analysis, phase-space visualization, Lyapunov energy landscape generation, and figure production.
Methodological Documentation Package	Supplementary File S2	N/A	Contains theoretical framework documentation, parameter interpretation, validation strategy, limitations, and computational workflow descriptions.
Numerical Array Processing Library (NumPy)	NumPy Developers	NumPy 2.0	Library used for matrix operations, numerical computations, parameter sweeps, and data processing in the Python implementation.
Numerical Simulation Environment	MATLAB R2024a Environment	N/A	Computational environment used to execute the nonlinear stress–emotion–regulation framework, parameter sweeps, equilibrium analysis, and stochastic simulations.
Optimization Toolbox	MathWorks	MATLAB Optimization Toolbox	Used for equilibrium-state computation via nonlinear root-finding methods (fsolve).
Python Programming Environment	Python Software Foundation	Python 3.12	Alternative computational platform used to verify numerical results and reproduce selected simulations and visualizations.
Scientific Computing Library (SciPy)	SciPy Community	SciPy 1.14	Library used for numerical computation, nonlinear equation solving, and differential equation analysis in the Python implementation.
Source Code Package	Supplementary File S1	N/A	Contains MATLAB scripts, solver configurations, parameter files, sensitivity-analysis routines, stability-analysis codes, and visualization workflows required for full reproducibility.
Spreadsheet Software	Microsoft Corporation	Microsoft Excel 365	Used for storage, organization, export, and inspection of simulation outputs and supplementary datasets.
Visualization Tool (Matplotlib)	Matplotlib Development Team	Matplotlib 3.9	Scientific plotting library used for generating sensitivity plots, stability diagrams, phase-space trajectories, heatmaps, and publication-quality figures.