Anizotropik lifle takviyeli silikonda bağlanmış termo-fotoelastik alanların uzaylı-zamansal analizi ve bir özdeğer yöntemi kullanılarak

Özet

Bu çalışma, anizotropik lif takviyeli silikon içindeki bağlı termo-fotoelastik alanları normal mod ve özdeğer yöntemiyle analiz etmektedir. Sonuçlar, mekansal bozulma ve zamana bağlı alan evrimini gösterir; anizotropiye karşı güçlü bir hassasiyet vardır. Isı haritaları alan dağılımını ve lokalizasyonunu gösterir.

Özet

Bu çalışma, anizotropik lifle takviye edilmiş bir silikon yarı iletken ortamında bağlı termo-fotoelastik sistemi inceleyerek termal, taşıyıcı ve mekanik alanlar arasındaki etkileşimi yakalamayı amaçlamaktadır. Bu anizotropik lifle takviyeli malzemeler, yönlendirme özellikleri ve gelişmiş mekanik performansın gerektirdiği mikroelektronik ve optoelektronik cihazlar, lazer tabanlı teknolojiler, sensörler ve gelişmiş kompozit yapılar gibi modern mühendislik uygulamalarında kritik bir rol oynar. Özellikle, sıcak ve optik yüklemeye maruz kalan yarı iletken bileşenlerin tasarımında önemlidir; burada bağlı alan davranışının doğru tahmini güvenilirlik ve performans optimizasyonu için gereklidir. Yönetici denklemler, bağlı fiziksel modele göre formüle edilir ve daha sonra analizi basitleştirmek ve ilgili parametrelerin göreceli etkisini vurgulamak için boyutsuz bir forma dönüştürülür. Problem, normal mod tekniği kullanılarak çözülür ve birinci dereceden vektör-matris diferansiyel sistemine indirgenir, ardından yarı-sonsuz bir alan içinde uygulanan sınır koşullarını sağlayan analitik çözümler elde etmek için özdeğer yaklaşımı uygulanır. Sayısal analiz, zaman varyasyonunun tüm fiziksel alanlar üzerindeki etkisini incelemek için yapılır; bu da anizotropi ve lif takviyesi ile yönetilen güçlü mekânsal zayıflama ve bağlı davranışı ortaya çıkarır. Uzaylı-zamansal ısı haritası temsilleri, alanların evrimini ve yerelleştirilmesini görselleştirmek için kullanılır; bu da çoklu fiziksel etkileşimlere fiziksel bir bakış sunar ve analitik yaklaşımın etkinliğini gösterir.

Giriş

Termo-fotoelastiklik, fototermal uyarılma altında yarı iletken malzemelerde termal, mekanik ve optik etkiler arasındaki etkileşimi tanımlayan önemli bir çok disiplinli alan olarak ortaya çıkmıştır. Bu alanlar arasındaki bağlılık, lazer ısıtma ve optik uyarılma gibi modern uygulamalarda özellikle dikkat çeker. Örneğin, Saeed¹ , yarı iletkenlerde hiperbolik iki sıcaklık modelleri kullanarak termo-fotoelastik etkileşimleri incelemiş ve sistem davranışını doğru şekilde tahmin etmede termal gevşeme etkilerinin önemini göstermiştir. Lifle takviyeli kompozitlerin termomekanik yanıtı, gelişmiş mekanik dayanıklılıkları ve anizotropik özellikleri nedeniyle önemli ilgi çekmiştir. Li ve Lambros² , bu tür kompozitlerin dinamik termomekanik davranışını analiz ederek ileri mühendislik uygulamaları için uygunluklarını vurguladı. Benzer şekilde, Kalkal ve ^ark.3 , manyetik alanlar altında dönen fonksiyonel olarak derecelendirilmiş lifle güçlendirilmiş ortamlarda iki boyutlu (2D) deformasyonları incelemiş ve anizotropi ile dış etkilerin sistem tepkisi üzerindeki güçlü etkisini göstermiştir. Ayrıca, Pitarresi ve ^ark.4 , termoelastik davranışta makroskobik heterojenliğin rolünü incelemiş ve kompozit malzemelerin doğru modellenmesinin gerekliliğini vurgulamıştır. Son gelişmeler, bu çalışmaları çoklu fiziksel etkilere sahip yarı iletken medyaya da genişletmiştir. Mondal ve ^ark.5 , güçlendirilmiş yarıiletkenlerde dalga yayılımını hafıza yanıtları ve manyetik alanları dikkate alarak karmaşık bağlı etkileşimleri ortaya koymuştur. Akai ve ^ark.6 gibi deneysel çalışmalar, termoelastik sıcaklık değişimleri kullanarak lifle güçlendirilmiş kompozitlerde yorgunluk hasarını değerlendirmiş ve pratik önemlerini doğrulamıştır. Ayrıca, Lu ve ^ark.7 tarafından gösterildiği gibi, etkili termoelastik özellikleri tahmin etmek için mikromekanik yaklaşımlar da kullanılmıştır. Dış yük ve çevresel koşulların etkisi de geniş çapta incelenmiştir. Barak ve Dhankhar⁸ , fonksiyonel olarak derecelendirilmiş lif takviyeli ortamda eğimli yükü analiz ederken, Kundu ve Kalkal⁹ yerçekimi ve hareketli termal yükler altında fototermal etkileşimleri inceledi. Chaudhary ve ^ark.10 , çift fazlı gecikme modelleri kullanarak sıcaklığa bağlı özellikleri araştırmış, Pandit ve ^ark.11 ise lokal olmayan deformasyon davranışını yakalamak için kesirli dereceli gerilme modelleri uygulamıştır. Bu çalışmalar, termoelastik analizde gerçekçi yükleme ve malzeme koşullarının dikkate alınmasının önemini vurgulamaktadır.

Dinamik ve titreşimle ilgili olaylar da yarı iletken sistemlerde araştırılmıştır. Song ve ^ark.12, yarı iletken yapılardaki fototermal titreşimleri incelerken, Mondal ve Sur¹³ ortotropik ortamda hafıza etkileriyle dalga yayılımını analiz etti. Viskoelastik ve mikroyapısal etkiler Abouelregal ve ^ark.14 tarafından değerlendirilmiş, rampa tipi ısıtma etkileri ise Hobiny ve ^ark.15 tarafından incelenmiştir. Ayrıca, tahmin doğruluğunu artırmak için Zenkour¹⁶ tarafından üç fazlı gecikme teorisi gibi genelleştirilmiş termoelastik modeller geliştirilmiştir. Elektromanyetik ve mikropolar etkileri içeren gelişmiş multifiziksel modeller, termo-fotoelastik davranışın anlaşılmasını daha da geliştirmiştir. Al-Hazaemh ve ^ark.17, dönen yarı iletken ortamlarda foto-elektro-manyeto-termoelastik uyarılmayı incelerken, Nazir ve Kumar¹⁸ mikropolar termoelastik etkileşimleri analiz ettiler. Song ve ^ark.19 ayrıca dissipatif olmayan termoelastik etkileşimleri incelemiş, Nasr ve Abouelregal²⁰ ise boşluklu yarı iletkenlerde ışık emilim süreçlerini incelemiştir. Son gelişmelerde yerel olmayan ve kesirli mertebeli modeller kritik rol oynamıştır. Gupta ve ^ark.21, fototermal uyarılmayı yerel olmayan gözenekli ortamlarda incelerken, Hobiny ve^{Abbas 22} yarı iletkenlerde kısmi dereceli dalga yayılımını analiz etti. Hafed ve Zenkour²³ eğimli yükleme etkilerini, Oliinyk ve ^ark.24 ise sabit olmayan termo-fotoelastik etkileri incelemiştir. Lazer uyarılma altında fonksiyonel derecelendirilmiş yarı iletken davranışı da Awwad ve ^ark.25 tarafından incelenmiş, Gupta ve ^ark.26 ise hafıza bağımlı modellerle termo-piezo-fotoelektrik bağlantıyı incelemiştir. Greene ve Patterson²⁷ ile Barone ve^{Patterson 28} tarafından termal ve optik teknikleri birleştiren klasik deneysel yaklaşımlar kurulmuş ve gerilme analizi için güvenilir yöntemler sunmaktadır. Ayrıca, Kaur ve^{Singh 29}, yarı iletken rezonatörler için yerel olmayan belleğe bağlı modeller geliştirmiş, Abbas ve ^ark.30 ise değişken ısı iletkenlikle fototermal etkileşimleri analiz etmiştir. Güçlendirilmiş kompozit zarların deneysel ve sayısal incelemeleri Lu ve ^ark.31 tarafından yürütülürken, Purkait ve Kanori³² dönen lifle güçlendirilmiş ortamlarda bellek yanıtlarını incelemiştir. Abo-Dahab ve ^ark.33, yük koşulları altında lifle takviyeli termoelastik ortamlarda dalga yansımasını daha fazla incelemiştir. Daha yakın zamanda, karmaşık malzemeleri tanımlamak için gelişmiş kesirli ve yerel olmayan termoelastik modeller önerilmiştir. Abouelregal ve ^ark.34, biyolojik dokularda termal tepkileri fraksiyonel modeller kullanarak incelerken, Selvamani ve ^ark.35,36 nanoışınlarda lokal olmayan dalga yayılımı ve titreşim davranışını incelemiştir. Ayrıca, Abouelregal ve ^ark.37 tarafından mikroyapılara çift fazlı lag ve viskoelastik modeller uygulanmış ve karmaşık bağlı fenomenleri yakalamak için hafıza çekirdekleriyle fraksiyonel termoelastik^{formülasyonlar geliştirilmiştir 38,39}.

Bu kapsamlı gelişmelere rağmen, mevcut çalışmaların çoğu, fiziksel alanların ayrıntılı uzamsal görselleştirmesini sunmadan öncelikle analitik veya sayısal çözümlere odaklanır. Birçok pratik uygulamada, özellikle anizotropik lifle takviyeli yarı iletken ortamlarda, sistem tepkisi hem mekânsal hem de zamansal varyasyonlara güçlü şekilde bağlıdır; bu da görselleştirmeyi doğru yorumlama için gerekli yapar. Ayrıca, sayısal ve deneysel yaklaşımlar değerli içgörüler sağlasa da, normal mod ve özdeğer tekniklerine dayalı analitik yöntemler, yarı-sonsuz alanlar ve bağlı çokfiziksel sistemler içeren problemlerde önemli avantajlar sunar. Bu yaklaşımlar, kapalı biçimli çözümler sunarak, dalga yayılımı, zayıflama ve bağlanma mekanizmalarının daha derin fiziksel anlaşılmasını sağlar ve sayısal ile deneysel sonuçların doğrulanması için güvenilir kıyaslar olarak hizmet eder.

Bu çalışmada, anizotropik lifle takviyeli yarı iletken ortamda bağlı termo-fotoelastik davranışın kapsamlı bir incelemesi sunulmaktadır. Bu çalışmanın yeniliği, özdeğer tabanlı analitik yaklaşımı mekânsal ısı haritası görselleştirme ile entegre ederek fiziksel alanların evrimi ve yerelleştirilmesine daha derin bir bakış açısı sağlamaktır. Bu çalışmanın amacı, anizotropi ve fiber güçlendirmenin termal, mekanik ve taşıyıcı alanlar arasındaki etkileşim üzerindeki etkisini analiz etmek ve önerilen yöntemin, yarı iletken cihazlar, sensörler ve lazer tabanlı teknolojiler gibi modern mühendislik uygulamalarıyla ilgili karmaşık çoklu fiziksel olayların yorumlanmasında uygulanabilirliğini göstermektir.

Protokol

Bu çalışma tamamen teorik modelleme ve sayısal simülasyonlara dayanmakta olup, insan katılımcıları, hayvan denekleri veya biyolojik örnekleri içermemektedir. Bu nedenle, etik onay ve bilgilendirilmiş onay gerekmiyordu.

Lifle Güçlendirilmiş Anizotropik Ortamda Foto-Termoelastikliğin Matematiksel Formülasyonu
Mevcut çalışma, yüzey optik uyarımına maruz kalan 2D lifle takviyeli anizotropik yarı iletken yarı uzayını ele almaktadır. Ortam, x ≥ 0 bölgesini kaplar; burada x = 0'daki sınır açıkta kalan yüzeyi temsil eder. Koordinat sistemi, x ekseni ortamın içine uzanırken, y ekseni yüzey boyunca uzanır ve düzlem içi davranışı tanımlar. Malzemenin homojen olduğu ancak anizotropik olduğu varsayılmıştır; çünkü hizalanmış güçlendirici lifler vardır ve bu da elastik ve bağlanma özelliklerinde yön bağımlılığı oluşturur. Yüzeydeki optik soğurma, yerel ısınma ve fazla yük taşıyıcıları oluşturarak termal, mekanik ve taşıyıcı alanlar arasında tam bağlantılı bir etkileşime yol açtı. Buna göre, sistemin durumu θ(x, y, t) (K), taşıyıcı yoğunluğu N (x, y, t) (^m-3) ve yer değiştirme bileşenleri u (x, y, t) ile v (x, y, t)(m) ile küçük deformasyonlar varsayımı altında tanımlanmıştır. Fiziksel alanın, koordinat sisteminin, lif yöneliminin ve uygulanan optik uyarılmanın şeması Şekil 1'de gösterilmiştir. Tüm sembolik ve sayısal hesaplamalar Wolfram Mathematica (Sürüm 12.0) kullanılarak gerçekleştirildi.

Şekil 1. Sınırda optik uyarıma maruz kalan yarı-sonsuz lifle takviyeli yarı iletken ortamın şematik temsili x = 0. Koordinat sistemi (x, y) gösterilir; lif yönü x yönü boyunca hizalanmıştır (a = (1, 0)), ortamın geometrik konfigürasyonunu ve yöne bağlı anizotropisini gösterir. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Lifle güçlendirilmiş anizotropik termoelastik yarı iletken ortamında gerilme tensörü için kurucu ilişki, Denklem 1 ^1,5 kullanılarak genel biçimde ifade edilmiştir. Bu formülasyonda, θ, referans sıcaklığı T₀'ye göre sıcaklık artışını gösterirken, T ise uygun olduğunda mutlak sıcaklığı temsil eder.

.   (1)

Burada, C_ijkl elastik sertlik katsayılarıdır, e_kl gerilme tensörü ve β_ij ile η_ij sırasıyla termoelastik ve taşıyıcı bağlantı tensorlarını temsil eder. Fiber takviyesi varken, malzeme tepkisi yöne bağlı olur ve hem elastik hem de bağlanma terimlerine anizotropik katkılar sağlayan a = (_{a i)} lif yönleme vektörü tarafından yönetilir. Buna göre, kurucu ilişki fiber güçlendirme etkisini^{açıkça 2,3} olarak kapsayacak şekilde genişletildi:

. (2)

Burada, λ ve μ_τ Lamé sabitleridir ve μ_L, lif yönü boyunca boylamasına kesme modülüdür. α parametresi, fiber güçlendirme etkilerini temsil eder ve termal genleşme katsayılarını belirten α_ij'den farklıdır. Birim vektör, lif yönelimini tanımladı ve gerilim–gerilme yanıtında yönsel bağımlılık getirdi. Mevcut 2B formülasyon için, liflerin x ekseni boyunca hizalandığı varsayılmıştı; bu nedenle, yönelim vektörü açıkça a = (1, 0) olarak alındı. Bu spesifikasyon, lif yönünün net bir parametrizasyonunu sağlamış ve anizotropik katkıların yönetici denklemlere tutarlı şekilde dahil edilmesini sağlamış, fiber takviyesinin neden olduğu yön davranışını doğrudan ele almıştır. Mevcut 2B konfigürasyon için, yönetici gerilme bileşenleri şu şekilde indirildi:

, (3)

, (4)

. (5)

Bu denklemler, anizotropi, lif takviyesi ve çoklu fiziksel bağlantı etkilerinin birleşik etkisini gösterir. ij β ve η_ij katsayıları malzeme parametreleri açısından şu şekilde tanımlanmıştır:

,

,

,

.

Burada, A_ij katsayıları lifle güçlendirilmiş anizotropik ortamın etkin elastik sabitlerini temsil eder ve aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

. (6)

Burada λ, μ_L ve μ_T, anizotropik lifle güçlendirilmiş ortamın elastik sabitleridir; α_ij ve ξ ij ise sırasıyla termal ve taşıyıcı genleşme katsayılarını temsil eder. Termo-fotoelastik yarı iletken ortamlarda elastik dalgaların yayılması, dinamik termoelastik analizin temelini oluşturan doğrusal momentumun korunumu ilkesiyle yönetilmiştir. Vücut kuvvetleri yoksa, şekile bürünebilir bir sürekliliğin genel hareket denklemi ^1,15'e göre şu şekilde ifade edilir:

. (7)

Burada, ρ kütle yoğunluğu, σ_ij ise gerilme tensörüdür. Mevcut çalışmada, formülasyon x - y düzleminde 2B bir konfigürasyonla sınırlandırıldı ve yer değiştirme alanı u(x, y, t) ve v(x, y, t) ile temsil edildi. Termo-fotoelastik ortamda standart formülasyonlara uygun olarak, iki boyutlu hareket denklemleri şu şekilde yazıldı:

, (8)

. (9)

Yukarıdaki denklemlere anizotropik lifle takviye edilmiş kurucu ilişkiler eklenerek, ortaya çıkan kısmi diferansiyel denklemler (DE) bağlı bağlı sistem şu şekilde elde edilmiştir:

, (10)

. (11)

Burada, alt simgeler mekânsal ve zamansal değişkenlere göre kısmi farklılaşmayı ifade eder. Bu denklemler, anizotropi, lif takviyesi, sıcaklık gradyanları ve taşıyıcı difüzyonun ortamın dinamik yanıtı üzerindeki bağlı etkisini vurgular. Optik uyarılma varlığında, yarı iletken içindeki termal alan taşıyıcı yoğunluğu ve mekanik deformasyon ile etkileşimden güçlü şekilde etkilenmiş ve tamamen bağlı bir enerji taşıma süreci ortaya çıkmıştır. Klasik ısı iletiminin aksine, bu ortamlarda sıcaklık evrimi, taşıyıcı rekombinasyonu ve termoelastik etkilerden kaynaklanan ek kaynak terimleriyle yönetilirdi ve bu da ısı yayılım özelliklerini önemli ölçüde değiştirirdi. Genelleştirilmiş termoelastikiyet çerçevesindeki ısı iletimi denklemi şu şekilde^{ifade edilmiştir 16,20}:

. (12)

Burada, C_E, sabit deformasyondaki özgül ısıdır ve malzemenin termal kapasitesini temsil eder; T₀, ortamın denge durumundaki referans mutlak sıcaklığını gösterir. Mevcut 2B konfigürasyon için bu denklem ^16,20'ye indirgenmiştir:

. (13)

Bu denklem, sıcaklık alanının sadece yönlü termal iletkenlikten değil, aynı zamanda terim boyunca taşıyıcı rekombinasyonundan ve termoelastik bağlanma terimleri aracılığıyla zamana bağlı deformasyondan etkilendiğini göstermektedir. Bu formülasyon, anizotropik lifle takviyeli yarı iletkende ısı transferini yöneten temel multifiziksel etkileşimleri yakaladı ve hem taşıyıcı dinamiklerin hem de mekanik tepkinin sistemin termal davranışını değiştirmedeki rolünü vurguladı. Bir yarı iletken ortam optik uyarıma maruz kaldığında, gelen radyasyonun emilimi nedeniyle önemli sayıda yük taşıyıcısı üretilmiştir. Bu taşıyıcılar, mekansal difüzyon, rekombinasyon ve termal kaynaklı üretim gibi taşıma süreçlerinden geçti; bunların tümü materyal içindeki sıcaklık alanıyla doğası gereği bağlantılıydı. Sonuç olarak, taşıyıcı yoğunluğu, bağlı termo-fotoelastik yanıtı yöneten ana değişkenlerden biri haline geldi.

Mevcut formülasyonda, taşıyıcı konsantrasyonun evrimi, difüzyon mekanizmaları, bozunma etkileri ve termal aktivasyon süreçleri arasında bir denge yoluyla tanımlanmış ve aşağıdaki yönetici^{ilişki olan 1,5}" ortaya çıkmıştır

. (14)

Burada, D_E taşıyıcı difüzyon katsayısını temsil eder ve x - y düzlemindeki 2D Laplacian operatörüdür. Terim , gevşeme zamanı τ ile rekombinasyon etkilerini açıklarken , k olarak tanımlanan termo-taşıyıcı bağlanma katsayısıdır ve bu katsayı, denge taşıyıcı konsantrasyonu N_0'ın sıcaklık değişimlerine duyarlılığını karakterize eder. Bu ilişki, taşıyıcı üretiminde sıcaklığın bir itici mekanizma rolünü vurgular ve anizotropik lifle takviyeli yarı iletken ortamında termal ve elektronik alanlar arasında doğrudan bir bağlantı kurar.

Bağlı fototermoelastik taşıyıcı sistemin yönetici denklemleri ve matematiksel formülasyonu belirlenmiştir. Silikon (Si) ortamına karşılık gelen fiziksel ve malzeme parametreleri, sayısal değerleri, birimleri ve ilgili referanslarıyla birlikte Tablo 1'de özetlenmiştir. Bu parametreler daha sonra sayısal hesaplamalarda ve boyutsal olmayan süreçte kullanılır.

Sembol	Değer	Birim	Referans
λ	3.64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5.46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3.20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
k11	0.0921 × 10³	W/(m·K)	30
k22	0.0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2.5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
α11	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
α22	3.5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2.16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1.28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220.90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2.95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (boyutsuz)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (boyutsuz)	15
N₀	1	— (boyutsuz)	15

Tablo 1. Anizotropik lifle takviyeli yarı iletken ortamın sayısal analizinde kullanılan malzeme özellikleri ve parametreleri. Tüm büyüklükler, aksi belirtilmedikçe SI birimleri cinsinden ifade edilir. Boyutsuz parametreler buna göre gösterilir. Listelenen değerler, mevcut hesaplamalarda kullanılan silikon bazlı malzeme özellikleri ve model parametrelerine karşılık gelir; bu parametreler alıntılanan kaynaklardan elde edilmiştir. Termo-taşıyıcı bağlama katsayısı κ, termo-fotoelastik yarı iletken modellerinde standart formülasyonları takip ederek κ = (∂N₀/∂T)(1/τ) olarak tanımlanır.

Bağlı Anizotropik Foto–Termoelastik Modelin Boyutsuz Formülasyonu
Yönetici denklemleri basitleştirmek ve bağlı termo-fotoelastik sistemin tutarlı boyutsuz temsili elde etmek için, mekânsal koordinatlar x,y, zaman t, yer değiştirme bileşenleri u, v, sıcaklık T, taşıyıcı yoğunluğu N ve gerilme için uygun karakteristik ölçekler eklendi σ. Bu ölçeklendirme parametreleri, ortamın içsel fiziksel özellikleri ve termal, mekanik ve taşıyıcı alanlar arasındaki bağlantı mekanizmalarına dayanarak,^{literatürde bildirilen yerleşik formülasyonlara göre tutarlı şekilde seçilmiştir 16,21}. Buna göre, boyutsuz değişkenler aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

, , , , , .

Bu dönüşüm, bağımsız madde parametrelerinin sayısını azaltmış ve bağlı sistemin normalleştirilmiş bir temsilini sağlamıştır. Yukarıdaki boyutsuz değişkenler daha önce türetilen yönetici denklemlere yerleştirilerek, sistem boyutsuz biçimde yeniden yazıldı. Basitlik için, boyutsuz değişkenlerle ilişkili asal gösterim daha sonra çıkarılmıştır. Bu prosedür, aşağıdaki biçimde yazılabilen kompakt boyutsuz kısmi DE'ler seti ortaya çıkardı:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Boyutsal olmayan dönüşüm uygulandıktan sonra, sistemin gerilme bileşenleri aşağıdaki normalize biçimde yazıldı:

, (19)

, (20)

. (21)

Boyutsuz parametreler a_i bağlanmış anizotropik foto-termoelastik davranışı yöneten fiziksel ve malzeme özelliklerinin kompakt kombinasyonlarını temsil etmek için tanıtıldı. Her katsayı, sistem içindeki belirli bir etkileşim mekanizmasını yansıtıyor ve temel fiziksel süreçlerin göreceli etkisine dair içgörü sağlıyordu. normal bağlantı sertliği ile ana elastik sertlik arasındaki oranı temsil eder ve iki yer değiştirme bileşeni arasındaki anizotropik etkileşim derecesini yansıtır. enine deformasyonun normal gerilme bileşenine göreli katkısını karakterize eder. termoelastik bağlanmanın yönsel değişimini ölçer, bu da termal genleşme etkilerindeki anizotropiyi gösterir. taşıyıcı yoğunluğunun indüklenen elastik deformasyon üzerindeki anizotropik etkisini tanımlar. normalize edilmiş kayma sertliğini temsil eder ve kayma deformasyonunun normal deformasyona göre katkısını nicelikle ölçür. Yönetici yer değiştirme denklemlerinde normal ve kesme deformasyonu arasındaki birleşik bağlantıyı açıklar. enine sertlik ile kesme sertliği arasındaki oranı ifade eder ve anizotropik deformasyon davranışını vurgular. normalize edilmiş atalet parametresini temsil eder ve dalga yayılım etkilerini kesme sertliğiyle ilişkilendirir. farklı mekansal yönlerdeki yer değiştirme gradyanları arasındaki bağlantıyı karakterize eder. enine yönde yer değiştirme alanına termal etkilerin göreceli katkısını nicelikle ölçülür. taşıyıcıdan kaynaklanan deformasyonun kayma sertliğine göre etkisini ölçür. : farklı uzamsal yönler boyunca termal iletkenlikteki anizotropiyi temsil eder. taşıyıcı rekombinasyonunun ortam içindeki ısı oluşumu üzerindeki etkisini karakterize eder. termal etkiler ile zamana bağlı elastik deformasyon arasındaki bağlantıyı temsil eder. anizotropik termal genleşmenin her iki mekânsal yönde birleşik etkisini açıklar. taşıyıcı taşıma hızını kontrol eden normalize difüzyon parametresini temsil eder. taşıyıcı rekombinasyon etkilerinin göreli gücünü karakterize eder. Termal değişimler ile taşıyıcı üretim süreçleri arasındaki bağlantıyı tanımlar.

Normal Mod Tekniği Kullanılarak Analitik Çözüm
Bağlı anizotropik termo-fotoelastik sistem için analitik çözümler elde etmek amacıyla, normal mod tekniği, yönetici kısmi DE'leri daha kolay yönetilebilir bir sıradan DE'lere indirgemedeki etkinliği nedeniyle kullanılmıştır. Bu yaklaşım, yayılma ve zayıflama dahil dalga yayılım olaylarının analizinde yaygın olarak kullanılır. Buna göre, alan değişkenlerinin hem zaman hem de enine uzamsal yöndeki harmonik^{varyasyonları 1,12,23} olarak varsayılmıştır. Böylece, yer değiştirme bileşenleri, sıcaklık, taşıyıcı yoğunluğu ve gerilim üstel biçimde aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir:

. (22)

Burada ω, alanların zamansal davranışını yöneten karmaşık frekansı gösterirken, a y-yönündeki mekânsal değişimle ilişkili dalga sayısını temsil eder. Bu parametreler, kararlılık gereksinimlerini karşılamak ve yarı-sonsuz alan içinde fiziksel olarak kabul edilebilir sınırlı çözümler sağlamak için seçilmiştir. Yukarıdaki varsayılan formların daha önce türetilen boyutsuz yönetici denklemlere yerleştirilmesi ve ortaya çıkan ifadelerin basitleştirilmesi sayesinde, kısmi DE'lerin orijinal bağlı sistemi, mekânsal koordinata göre sıradan DE'ler sistemine indirgenmiş ve bu sistem şu şekilde yazılabilir:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Ayrıca, dönüştürülmüş alandaki karşılık gelen gerilme bileşenleri şu şekilde yazıldı:

, (27)

, (28)

. (29)

Burada, D diferansiyel operatörü olarak belirtilir. Bu denklemler, normal mod alanında yönetici sistemin indirgenmiş biçimini temsil eder ve karakteristik denklemin türetilmesi ve sonraki adımlarda genel analitik çözümün oluşturulması için temel oluşturur. Katsayılar şu şekilde tanımlanmıştır: , , .

Matrix DE Formülasyonu ve Özdeğer Analizi
Normal mod dönüşümünün uygulanmasının ardından, Denklemler 23–26'da verilen yönetici sistem, mekânsal koordinata göre ikinci dereceden normal DE'ler kümesine indirgenmiştir. Sistematik bir çözümü kolaylaştırmak için, bu sistem, alan niceliklerinin ilk türevlerine karşılık gelen yardımcı değişkenler eklenerek eşdeğer birinci dereceden bir sisteme dönüştürüldü. Özellikle, aşağıdaki değişkenler tanımlanmıştır:

, . (30)

Bu tanımlar kullanılarak, Denklemler 23–26, sekiz birinci dereceden DE'den oluşan aşağıdaki sistem olarak yeniden yazıldı:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Yukarıdaki sistem, kompakt matris A formunda şu şekilde ifade edilmiştir:

. (36)

Durum vektörü şu şekilde verilmiştir:

. (37)

ve sistem matrisi açık biçimde bulundu:

. (38)

Bu formülasyon, orijinal sistemi özdeğer^{problemi 1,15'e} dönüştürdü. Karakteristik denklem şu şekilde alınmıştır

. (39)

bu da özdeğerleri yöneten sekizinci dereceden bir polinom verir. İndigel biçimde, karakteristik polinom şu şekilde yazılabilir

. (40)

Burada Z_i katsayıları sistem parametrelerinin fonksiyonlarıdır ve aşağıda açıkça tanımlanmıştır. Ortaya çıkan özdeğerler, çözümün mekansal davranışını, zayıflama ve yayılma özellikleri dahil olmak üzere, belirler. Yalnızca Re(m) > 0'ı sağlayan özdeğerler korunur ve bu da x → ∞ olarak üssel olarak azalan fiziksel olarak kabul edilebilir çözümleri garanti eder.

. (41)

Karakteristik polinomun kökleri, çözümün mekansal davranışını yöneten özdeğerler m'yi tanımlar. Bu özdeğerler, karakteristik polinom Karakteristik Polinom fonksiyonu aracılığıyla oluşturularak ve ortaya çıkan cebirsel denklemi NSolve ile çözerek Mathematica kullanılarak sayısal olarak hesaplandı. Sorun yarı-sonsuz bir alanda (x ≥ 0) formüle edildiğinden, yalnızca x → ∞ olarak sınırlı kalan fiziksel olarak kabul edilebilir çözümler dikkate alınır. Buna göre, yalnızca Re(m) > 0'ı sağlayan özdeğerler korunmuş, exp(−mx) biçiminde x → ∞ şeklinde üstel azalan çözümler sağlanmıştır. Kalan kökler, modelin fiziksel gereksinimleriyle tutarlı olmayan çürümeyen veya sınırsız çözümlere karşılık geldikleri için elendi.

Her korunan özdeğer m için, ilgili cebirsel sistemden karşılık gelen özvektör alındı

, (42)

ve şu şekilde ifade edilmiştir:

. (43)

Yukarıdaki matris denklemini genişleterek, aşağıdaki doğrusal denklemler sistemi elde edilmiştir:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Özdeğer probleminin homojenliği nedeniyle, özvektörler rastgele bir çarpma sabitine kadar tanımlanmıştır. Benzersiz ve tutarlı bir temsil elde etmek için, kendi vektörünün bir bileşeni sabitlenerek normalizasyon koşulu uygulanmıştır. Mevcut çalışmada, ilk bileşen q₁ = 1 olacak şekilde seçilmiş, kalan bileşenler ise yukarıdaki denklem sisteminden sıralı olarak belirlenmiştir. Hesaplama açısından bakıldığında, bu normalleştirme, bir bileşene birim değeri atanarak ve ortaya çıkan doğrusal denklemler sisteminin çözülerek kalan bileşenleri değerlendirerek gerçekleştirilmiştir. Bu prosedür, her kabul edilebilir özdeğerle ilişkili özvektörleri sistematik ve tekrarlanabilir hesaplama yolu sağladı.

. (49)

Ve kalan bileşenler sistem ilişkilerinden buna göre takip eder. Bu özvektörler, her mod içinde sıcaklık, taşıyıcı yoğunluğu ve yer değiştirme alanlarının göreceli katkılarını tanımlar. Sonuç olarak, problemin genel çözümü, her biri bir özdeğer ve ona karşılık gelen özvektörle ilişkili kabul edilebilir özmodların doğrusal kombinasyonu olarak inşa edildi; böylece yarım uzay ortamında bağlı anizotropik foto-termoelastik davranışın tam analitik tanımını sağladı. Bu nedenle sistemin genel çözümü şu şekilde yazıldı:

. (50)

Burada, C_i, sınır koşullarından belirlenen sabitlerdir. Yukarıdaki vektör ifadesi genişletildiğinde, alan değişkenleri aşağıdaki şekilde elde edilmiştir:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Bu temsil, çözümün üstel modların üst üste binmesinden oluştuğunu gösterir; burada her özdeğer-özvektör çifti genel fiziksel yanıta bağımsız olarak katkıda bulunur. Kabul edilebilir özdeğerler, gerçek kısımlarının pozitif olması için seçilir, böylece x → ∞ olarak sınırlı ve fiziksel anlamlı çözümler sağlanır.

Sınır Koşulları ve Fiziksel Kısıtlamalar
Genel çözümü x = 0 ile belirlenen sınır koşullarına koyarak C i sabitleri üzerinden lineer cebirsel denklemler sistemi elde edildi. Özellikle, her sınır koşulu (sıcaklık, taşıyıcı yoğunluğu ve yer değiştirme kısıtlamaları) özmod genişlemeleri ile ifade edildi ve bu da C_i katsayılarını ilişkili denklem seti oluşturdu. Bu prosedür, matris formunda BC = D şeklinde yazılabilen doğrusal bir sisteme yol açtı; burada B, sınırda değerlendirilen özvektörlerin bileşenlerinden oluşturulan katsayıcı matrisidir, C = (C₁, C₂, C_{3,C 4})^T, bilinmeyen sabitlerin vektörüdür ve θ 0 gibi dayatılan sınır değerlerinden belirlenir, N₀ ve yer değiştirme kısıtlamaları. Ortaya çıkan doğrusal sistem, katsayıyı matrisi ve sağ taraf vektörünün açıkça birleştirildiği, bilinmeyen sabitlerin LinearSolve rutini kullanılarak elde edildiği Mathematica kullanılarak hesaplamalı olarak çözüldü. Bu sabitler daha sonra genel çözüme geri konularak fiziksel alanlar için tam ifadeler oluşturuldu ve bu ifadeler daha sonra sonuçların sayısal değerlendirmesi ve grafiksel temsili için kullanıldı.

Uygulanan sınır koşulları şu şekilde verilmiştir:

Sıcaklık kısıtlaması:

. (55)

Bu durum, periyodik optik ısınmanın tetiklediği armonik olarak değişen yüzey sıcaklığını temsil eder. Ortam içindeki bağlı termoelastik ve taşıyıcı taşıma süreçlerini yönlendiren birincil termal uyarılma olarak görev yapar. Genlik θ₀, uygulanan termal yükün yoğunluğunu belirler.

Taşıyıcı yoğunluk kısıtlaması:

. (56)

Bu sınır koşulu, optik aydınlatmadan kaynaklanan foto-üretilmiş taşıyıcı yoğunluğunu tanımlar. Foton emilimi nedeniyle kaynaklanan elektronik uyarılmayı ve gelen optik alanla tutarlı harmonik modülasyonunu yansıtır.

Yer değiştirme kısıtlaması:

. (57)

Bu koşul, sınırın mekanik olarak enine yönde kısıtlandığını gösterir. Bu nedenle, yüzeyde v-yönünde bir yer değiştirme gerçekleşmez.

Kesme gerilimi kısıtlaması:

. (58)

Bu koşul, kesme gerilimine göre çekişsiz bir sınıra karşılık gelir. Yüzeyde hiçbir teğet kuvvetin etkisi olmamasını sağlar; bu da teğet yönde mekanik olarak serbest bir sınırla tutarlıdır. x = 0'daki sınır koşullarına ek olarak, sonsuzluktaki fiziksel gereksinim şu şekilde uygulandı: yarı-sonsuz alan içinde sınırlı fiziksel çözümlerin sağlanması. Sayısal sonuçlar sunulmadan önce, bu çalışmada benimsenen genel hesaplama prosedürü Şekil 2'de özetlenmiştir. Hesaplamalarda kullanılan uyarılma parametreleri θ₀, N₀, kompleks frekans ω ve dalga numarası a sayısal değerleri Tablo 1'de listelenmiştir. Tablo 1'de listelenen parametreler, normalleştirilmiş formülasyonda kullanılan hem boyutsal malzeme sabitlerini hem de boyutsal olmayan parametreleri içerir. Sayısal değerlendirme için, uzamsal alan , olarak tanımlandı; enine koordinat y = 0.6 olarak sabitlendi ve zamansal alan içinde değerlendirildi. Bu aralıklar tüm sayısal hesaplamalar ve grafiksel temsiller için kullanıldı.

Şekil 2. Önerilen yöntemin hesaplamalı iş akışı. Şekil, formülasyondan sayısal sonuçlara kadar olan adımların dizisini göstermektedir: yönetici denklemler, boyutsal olmama, normal mod tekniğinin uygulanması, birinci dereceden sisteme dönüşüm, matris formülasyonu, özdeğer ve özvektör analizi, sınır koşullarının uygulanması, sabitlerin belirlenmesi ve sayısal grafiklerin oluşturulması. Bu figürün daha büyük bir versiyonunu görmek için lütfen buraya tıklayın.

Sonuçlar

Sayısal Sonuçlar
Bu bölümde, anizotropik lifle takviyeli yarı iletken ortamda bağlı termo-fotoelastik taşıyıcı sistemin davranışını analiz etmek için sayısal hesaplamalar yapıldı. Dikkate alınan malzeme silikon (Si) idi ve fiziksel ile malzeme parametreleri Tablo 1'de listelenmiştir. Bu madde sabitleri doğrudan yönetici denklemlere yerleştirildi ve alan değişkenlerini değerlendirmek için sayısal hesaplamalarda uygulandı. Tüm parametreler, tanımlanmış ...

Tartışma

Elde edilen sonuçlar, anizotropik lifle takviyeli yarı iletken ortamlarda bağlı termo-fotoelastik davranışa dair net fiziksel içgörü sağlar. Bu çalışma, bu tür ortamlarda termal yükleme, taşıyıcı oluşumu ve elastik deformasyon arasındaki etkileşimi incelemek için özdeğer tabanlı analitik bir çerçeve önermektedir. Gözlemlenen yanıt, temelde bu fiziksel süreçler arasındaki güçlü bağlantı tarafından yönetilir. Sınırda optik enerjinin emiri, yerel ısınma ve taşıyıcı uyarılmaya yol açar; bu d...

Malzemeler

Bu makalede kullanılan malzemelerin listesi

Ad	Şirket	Katalog numarası	Yorumlar
Hesaplamalı yazılım (sembolik ve sayısal analiz)	Wolfram Araştırmaları	Wolfram Mathematica (Sürüm 12.0) kullanılmıştır	Özdeğer hesaplaması, analitik çözüm uygulaması ve sayısal değerlendirme için kullanılır
Veri görselleştirme araçları (kontur ve ısı haritası oluşturma)	Wolfram Araştırmaları	Wolfram Mathematica (Sürüm 12.0), 2B kontur grafikleri ve uzaylı-zamansal ısı haritaları üretmek için kullanılmıştır	2B kontur grafikleri ve uzaylı-zamansal ısı haritaları üretmek için kullanılır
Malzeme parametre veri seti (silikon yarı iletken özellikleri)	Çeşitli edebiyat kaynakları	Yok	Hesaplamalarda kullanılan fiziksel sabitler (elastik, termal, taşıyıcıya bağlı) (Tablo 1)
Kişisel bilgisayar/çalışma istasyonu	HP	Yok	Hesaplamalar, sayısal simülasyonlar için yeterli belleğe sahip standart bir kişisel bilgisayarda Windows işletim sistemi üzerinde gerçekleştirildi
Denklem düzenleyici	Microsoft  Word ve MathType	Yok	El yazmasındaki matematiksel ifadeleri biçimlendirmek ve sunmak için kullanılır
Referans yönetim yazılımı	Elsevier	Yok	Referansların yönetimi ve atıfların biçimlendirilmesi için kullanılır (Vancouver tarzı)