Summary
Este estudo descreve as ferramentas necessárias para utilizar imagens de pacientes baseadas em feixe de cone tridimensional de baixa dose de pacientes da maxila e dos dentes maxileares para obter modelos de elementos finitos. Esses modelos de pacientes são então usados para localizar com precisão o CRES de todos os dentes maxilares.
Abstract
O centro de resistência (CRES) é considerado como o ponto de referência fundamental para o movimento dentário previsível. Os métodos utilizados para estimar o CRES dos dentes variam desde medidas radiográficas e físicas tradicionais até análises in vitro em modelos ou amostras de cadáveres. Técnicas que envolvem a análise de elementos finitos de micro-tomografias de alta dose de modelos e dentes únicos têm mostrado muita promessa, mas pouco tem sido feito com imagens mais recentes, de baixa dose e de baixa resolução de tomografia computadorizada de feixe de cone (CBCT). Além disso, o CRES para apenas alguns dentes selecionados (ou seja, incisivo central maxilar, canino e primeiro molar) foram descritos; o resto foram largamente ignorados. Há também a necessidade de descrever a metodologia de determinação da CRES em detalhes, para que se torne fácil de replicar e construir.
Este estudo utilizou imagens rotineiras de pacientes cbct para o desenvolvimento de ferramentas e um fluxo de trabalho para obter modelos de elementos finitos para localizar o CRES dos dentes maxilos. As imagens de volume CBCT foram manipuladas para extrair estruturas biológicas tridimensionais (3D) relevantes na determinação do CRES dos dentes maxilos por segmentação. Os objetos segmentados foram limpos e convertidos em uma malha virtual composta por triângulos tetraédricos (tet4) com comprimento máximo de borda de 1 mm com software 3matic. Os modelos foram ainda convertidos em uma malha volumétrica sólida de tetraedros com um comprimento máximo de borda de 1 mm para uso na análise de elementos finitos. O software de engenharia, Abaqus, foi usado para pré-processar os modelos para criar um conjunto e definir propriedades de materiais, condições de interação, condições de limite e aplicações de carga. As cargas, quando analisadas, simularam as tensões e tensões no sistema, auxiliando na localização do CRES. Este estudo é o primeiro passo na previsão precisa do movimento dentário.
Introduction
O centro de resistência (CRES)de um dente ou segmento de dentes é análogo ao centro de massa de um corpo livre. É um termo emprestado do campo da mecânica de corpos rígidos. Quando uma única força é aplicada no CRES, a tradução do dente na direção da linha de ação da força ocorre1,2. A posição do CRES depende não apenas da anatomia e propriedades do dente, mas também de seu ambiente (por exemplo, ligamento periodontal, osso circundante, dentes adjacentes). O dente é um corpo contido, tornando seu CRES semelhante ao centro de massa de um corpo livre. Na manipulação de aparelhos, a maioria dos ortodontistas considera a relação do vetor de força com o CRES de um dente ou um grupo de dentes. De fato, se um objeto exibirá inclinação ou movimento corporal quando submetido a uma única força é determinado principalmente pela localização do CRES do objeto e a distância entre o vetor de força e o CRES. Se isso puder ser previsto com precisão, os resultados do tratamento serão muito melhorados. Assim, uma estimativa precisa de CRES pode aumentar muito a eficiência do movimento do dente ortodôntico.
Durante décadas, o campo ortodôntico vem revisitando pesquisas sobre a localização do CRES de um determinado dente, segmento ou arco1,,2,,3,,44,5,,6,,7,,88,99,10,,11,,12. No entanto, esses estudos têm sido limitados em sua abordagem de muitas maneiras. A maioria dos estudos determinou o CRES para apenas alguns dentes, deixando de fora a maioria. Por exemplo, o incisivo central maxilo e o segmento do incisivo maxilo foram avaliados extensivamente. Por outro lado, há apenas alguns estudos sobre o canino maxilar e o primeiro molar e nenhum para os dentes restantes. Além disso, muitos desses estudos determinaram a localização do CRES com base em dados anatômicos genéricos para dentes, medidas de radiografias bidimensionais (2D) e cálculos em desenhos 2D8. Além disso, algumas das literaturas atuais utilizam modelos genéricos ou escaneamentos tridimensionais (3D) de modelos dentiformes em vez de dados humanos4,8. À medida que a ortodontia se transforma em tecnologia 3D para o planejamento do movimento dentário, é crucial revisitar esse conceito para desenvolver uma compreensão científica 3D do movimento dentário.
Com os avanços tecnológicos resultando em maior poder computacional e capacidades de modelagem, a capacidade de criar e estudar modelos mais complexos aumentou. A introdução da tomografia computadorizada e da tomografia computadorizada de cone-feixe (CBCT) tem modelos de impulso e cálculos do mundo 2D em 3D. Aumentos simultâneos no poder da computação e na complexidade do software permitiram aos pesquisadores usar radiografias 3D para extrair modelos anatômicos precisos para uso em software avançado para segmentar os dentes, osso, ligamento periodontal (PDL), e várias outras estruturas7,88,9,,10,,13,,14,,15. Essas estruturas segmentadas podem ser convertidas em uma malha virtual para uso em software de engenharia para calcular a resposta de um sistema quando uma determinada força ou deslocamento é aplicado a ele.
Este estudo propõe uma metodologia específica e replicável que pode ser utilizada para examinar sistemas hipotéticos de força ortodôntica aplicados em modelos derivados de imagens CBCT de pacientes vivos. Ao utilizar essa metodologia, os pesquisadores podem então estimar o CRES de vários dentes e levar em consideração a morfologia biológica das estruturas dentárias, como anatomia dentária, número de raízes e sua orientação em espaço 3D, distribuição de massa e estrutura de anexos periodontais. Um esboço geral deste processo é mostrado na Figura 1. Isto é para orientar o leitor para o processo lógico envolvido na geração de modelos dentários 3D para localização do CRES.
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Protocol
Foi obtida isenção do conselho de revisão institucional para avaliação dos volumes cbct arquivados na Divisão de Radiologia Oral e Maxilofacial (IRB nº 17-071S-2).
1. Seleção de volumes e critérios
- Adquira uma imagem CBCT da cabeça e do rosto16.
- Examine a imagem para alinhamento dentário, dentes perdidos, tamanho do voxel, campo de visão e qualidade geral da imagem.
- Certifique-se de que o tamanho do voxel não é maior que 350 μm (0,35 mm).
2. Segmentação dos dentes e osso
- Carregue os arquivos DICOM brutos da imagem CBCT no software Mimics para segmentação(Figura 2). Clique em Image > Crop Project. Corte a imagem para incluir apenas os dentes maxilo e maxilo.
NOTA: O campo de visão deve ser grande o suficiente para capturar os dentes maxilo e maxilo. Certifique-se de que a imagem inclui as coroas dentárias, o paladar duro até o assoalho nasal, seios maxilares, superfícies faciais dos dentes maxilar, e a extensão posterior do paladar duro e tuberosidade maxilar. - Clique com o botão direito do mouse na guia para Máscara e crie uma nova máscara para a imagem. Renomeie a máscara como UL1, UL2, ..., UL7 para o lado esquerdo e UR1, UR2, ..., UR7 para o lado direito, com base no dente de interesse.
- Identifique o dente de interesse na imagem cbct mascarada (ver visualizações). Use a ferramenta Máscara Clara para apagar a máscara. O software pode ser incapaz de distinguir entre os dentes e osso porque os valores cinzentos dos dois são semelhantes.
NOTA: A ferramenta de limiar em Mimics é incapaz de segmentar os dentes e osso separadamente. Portanto, é necessário um método diferente para segmentação. - Clique na ferramenta Edição de várias fatias (Ctrl + M). Selecione a exibição(Axial, Coronalou Sagittal). Destaque manualmente (ou seja, desenhe) algumas das fatias conforme necessário.
NOTA: Destacar mais fatias adiciona mais detalhes à estrutura. - Clique na ferramenta Interpolado para preencher o volume das fatias ignoradas e aplicar.
- Gere o volume 3D para o dente clicando com o botão direito do mouse na máscara e selecionando a opção para calcular o volume 3D.
- Repita as etapas 2.2-2.6 para cada dente do arco maxilo.
- Selecione todos os dentes maxilos 3D, UL7-UR7. Clique com o botão direito do mouse para selecionar Suavização. Defina o fator de suavização para 0,4 e as iterações para 4.
- Para segmentar os ossos maxilares, clique com o botão direito do mouse na guia para Máscara. Crie uma nova máscara para a imagem.
- No menu suspenso para conjuntos de limiares predefinidos, selecione Personalizado. Ajuste o valor limiar para incluir o osso maxilar completo. Certifique-se de verificar a caixa Fill Holes antes de aplicar o limiar.
NOTA: Pequenos orifícios de ≤1 mm no osso cortical são aceitáveis, pois podem ser removidos facilmente em estágios posteriores. - Clique na Ferramenta de Crescimento da Região Dinâmica para preencher os grandes orifícios visíveis na máscara. Selecione a máscara óssea maxilar como alvo da ferramenta, além de selecionar a caixa De camada múltipla. Use 50 para os valores Min e 150 para Max. Mantenha a tecla Controle ao clicar nas áreas do osso cortical que não foram destacadas na máscara.
- Clique com o botão direito do mouse na máscara óssea maxilar para a função Máscara Lisa. Repita esta etapa 3x para obter melhores resultados.
- Gere o volume 3D para a maxila clicando com o botão direito do mouse na máscara e selecionando a opção para calcular o volume 3D.
- Selecione o osso maxilar 3D. Clique com o botão direito do mouse para selecionar suavização. Defina o fator de suavização para ~0.4 e iterações para 4.
- Selecione o osso maxilar 3D e clique com o botão direito do mouse para selecionar Wrap. Coloque 0,2 mm para o menor detalhe e 1 mm para a distância de fechamento da lacuna. Verifique a opção Proteger paredes finas. Pressione Ok.
- Renomeie o osso maxilar 3D "Maxilar".
3. Limpeza e malhação
- Selecione os objetos 3D e copie(Ctrl + C).
- Abra o software 3matic e cole(Ctrl + V)os objetos 3D selecionados. Eles aparecerão na árvore de objetos e na área de trabalho da 3matic como uma estrutura 3D (Figura 3).
- Clique na guia Corrigir na barra de ferramentas e use a opção Suave. Na caixa Operações, selecione os objetos 3D ou entidades desejados e aplique os parâmetros padrão.
- Clique na guia Concluir na barra de ferramentas e use a opção Suavização Local. Na Caixa de Operações, selecione os objetos 3D ou entidades desejados. Use o cursor para suavizar manualmente as regiões desejadas.
- Duplique os dentes. Na árvore de objetos selecione todos os dentes, clique com o botão direito do mouse e selecione Duplicar.
- Selecione Todos os dentes duplicados,grupo e nomeie a pasta "grupo 1". O conjunto original servirá como os dentes finais para análise.
- Para obter os dentes duplicados no grupo 1, clique no Módulo curva e na opção Criar curva. Desenhe manualmente uma curva em torno da junção de cimentooenamel (CEJ) para todos os dentes duplicados.
- Selecione as entidades Curva, Contornoe Borda na opção Curva Suave.
- Separe as superfícies da coroa e da raiz em suas próprias partes, selecionando a opção Superfícies Divididas por Curvas e clicando à esquerda no objeto 3D para selecionar.
- Gerar o PDL a partir da estrutura raiz do dente dividindo o dente em raiz e coroa no CEJ.
- Duplicar os objetos 3D do grupo 1 (gerados na etapa 3.6) como grupo 2. Para o grupo 2, na caixa da árvore de objetos, clique no Objeto. Da lista de superfície, exclua a superfície da coroa. Execute esta etapa para todos os objetos do grupo 2.
- Para o grupo 2, clique em Design Module > Hollow. Aplicar os parâmetros desejados(Tabela 1).
- Clique no Fix Module > Fix Wizard. Clique nas partes individuais, atualize e siga as instruções dadas.
- Repita o passo 3.10.3 para todas as partes. Renomeie todas as partes do grupo 2 como "UL1_PDL" para "UL7_PDL" e "UR1_PDL" para "UR7_PDL".
- No grupo 1, da caixa da árvore de objetos, clique em Objeto. Da lista de superfície, exclua a superfície raiz.
- Selecione A opção Preencher O normal e selecione o contorno. Clique em Bad Contour e Apply. Todo o espaço será preenchido.
- Selecione o Módulo de Design > Deslocamento Local e selecione toda a superfície da coroa. Confira as seguintes opções: Direção (selecionar externo), Distância de Deslocamento (selecione 0,5) e Distância Decrescente (selecione 2,0). Aplicar.
- Repita o passo 3.13.
- Repita os passos 3.11-3.14 para cada dente do arco maxilo.
- Remesh (Figura 3)
- Clique no Módulo Remesh > Crie O Conjunto Não-Manifold > Principal Entidade > Maxilla da árvore de objetos. Selecione a entidade de cruzamento para todos os objetos a partir de 3.4 (dentes originais) e selecione Aplicar.
- Clique no módulo remesh. Divida a montagem não-coletora.
- Repita as etapas 3.16.1-3.16.2 usando uma entidade intersectiva como todos os objetos do grupo 1 e aplicar.
- Como etapa opcional, somente se necessário, selecione o Módulo de Acabamento > Trim > Entity > Maxilla. Selecione o excesso de estrutura (ou seja, ruído) e Aplicar.
- Clique no Fix Module > Fix Wizard > Maxilla > Update. Siga as instruções dadas.
- Repita a etapa 3.16.1 usando uma entidade intersectiva como todos os objetos do grupo 2 e Aplicar.
- Clique no Módulo Remesh > Remesh Adaptativo. Selecione todas as entidades interseccionais de 3.16.6 e Aplicar.
- Clique no Módulo remesh > Conjunto não coletor .
- Clique no Módulo Remesh > Crie O Conjunto Não-Múltiplo > Principal Entidade > Objeto Individual (PDL) do grupo 2 a partir da árvore de objetos. Selecione Entidade Interseccionada > Selecione O Objeto Respectivo da etapa 3.4 (correspondente a esse tipo de dente) e Aplicar.
- Clique em Remesh Module > Adaptive Remesh. Selecione a entidade interseccionada de 3.16.9 e Aplicar.
- Clique em Remesh Module > Split Non-manifold Assembly.
- Repita as etapas 3.16.9-3.16.11 para cada dente.
- Clique no Módulo remesh > Preservação da qualidade reduz triângulos. Na árvore de objetos selecione todas as entidades (ou seja, dentes, PDLs e Maxila) e Aplicar.
- Clique em Remesh Module > Crie Volume Mesh > Selecione Entidade. Escolha parâmetros de malha.
- Repita a etapa 3.18 para todas as entidades (ou seja, dentes, PDLs e Maxilo).
- Exporte manualmente os arquivos de entrada (.inp) de 3Matic para Abaqus(Figura 4).
4. Análise de elementos finitos
NOTA: Todos os scripts Python personalizados podem ser encontrados nos anexos suplementares. Eles foram gerados usando a função de gerenciador de macros em Abaqus.
- Configuração de pré-processamento
- Abra Abaqus e selecione Modelo Padrão. Clique em Arquivo > Defina o Diretório de Trabalho > Selecione Local para Armazenamento de Arquivos.
- Clique em File > Execute Script e selecione Model_setup_Part1.py
- No Diretório de modelos, especifique o caminho do arquivo para carregar arquivos .inp em Abaqus.
- Clique em Models > Simulation > Parts > Maxilla > Surfaces.
- Nomeie a superfície na caixa de diálogo "UL1 _socket".
- Em Selecionar a região da superfície escolher por ângulo. Adicione "15" como ângulo.
- Certifique-se de que todas as áreas do soquete estão selecionadas. Pressione Feito quando concluído.
- Repita as etapas 4.1.4-4.1.7 para os soquetes individuais.
- Clique em Models > Simulation > Parts. Em seguida, selecione UL1 > Superfícies. Nomeie a superfície de "UL1".
- Em Selecionar a Região da Superfície opte por "Individualmente". Selecione o dente na tela e pressione Done.
- Repita as etapas 4.1.9-4.1.10 para todos os dentes.
- Clique em Models > Simulation > Parts. Em seguida, selecione UL1_PDL > Superfícies. Nomeie a superfície de "UL1_PDL_inner".
- Em Selecionar a região da superfície escolher por ângulo. Adicione "15" como ângulo.
NOTA: Se um erro for encontrado durante a simulação final, reduza o ângulo e reselecione a superfície. - Certifique-se de que toda a área interna da PDL está selecionada. Pressione Feito quando concluído.
- Selecione UL1_PDL > Superfícies. Nomeie a superfície de "UL1_PDL_outer".
- Em Selecionar a região da superfície escolher por ângulo. Adicione "15" como ângulo.
NOTA: Se um erro for encontrado durante a simulação final, reduza o ângulo e reselecione a superfície. - Certifique-se de que toda a área externa do PDL está selecionada. Pressione Feito quando concluído.
- Repita as etapas 4.1.13-4.1.1.19 para todos os PDLs.
- Clique em File > Execute Script e selecione Model_setup_Part2.py
- Clique em Models > Simulation > BCs. Nomeie BC_all,em seguida, selecione Passo como Inicial. Na categoria, selecione "Mecânica" e em "Tipos de Etapa Selecionada" selecione "Deslocamento/Rotação". Pressione Continuar.
- Em Seleção regiões para a condição de limite selecione Por Ângulo. Adicione "15" como ângulo. Verificar conjunto de criação. Selecione soquetes individuais para os 14 dentes. Pressione Feito.
NOTA: Isso ajudou a simular o movimento instantâneo do dente. - Clique em Models > Simulation > Assembly > Sets > Create Set. Nomeie o conjunto "U1_y_force".
- Em Selecionar os '''''''''''' ''''''''''''' Individually
NOTA: Uma força concentrada de Newton foi aplicada em um nó dentário selecionado aleatoriamente na direção positiva de Y (simulando uma força de distalização) ou na direção z positiva (simulando uma força intrusiva). - Selecione um nó no centro da coroa na superfície bucal do incisivo central superior (U1) e pressione Done.
- Clique em Sets > Criar set. Nomeie o conjunto "U1_z_force".
- Repita as etapas 4.1.23-4.1.24.
- Repita as etapas 4.1.22-4.1.26 para todos os dentes.
NOTA: Antes de um conjunto ser gerado para um dente específico como em 4.1.25, vá para Instance > Retome para esse dente.
- Configuração do modelo
- Clique em Models > Simulation > Assembly > Instances. Selecione Todas as instâncias e clique em Retomar.
- Clique em Tools > Query > Point/Node. Selecione um nó no centro de um incisivo central selecionado aleatoriamente e pressione Done.
- Sob o centro de comando na parte inferior da página, copie as coordenadas X, Y e Z do nó selecionado na etapa 4.2.2.
- Na barra de ferramentas verticais, selecione Traduzir instância e selecione todo o conjunto (ou seja, todas as instâncias) na tela. Pressione Feito.
- Na Caixa Selecionar um Ponto de Partida para a caixa Vetor de Tradução, cole as coordenadas copiadas na etapa 4.2.3 ou digite os valores de X, Y e Z. Clique em Enter.
- Em Selecionar um ponto final para o vetor de tradução ou digitar X,Y,Z: digite as coordenadas "0.0", "0.0" e "0.0". Clique em Enter.
- Para Posição de Instância,pressione Ok.
- Clique em Ferramentas > Query > Ponto/Nó e selecione um nó diretamente acima da linha média dos incisivos centrais. Digite Feito.
- Sob o centro de comando na parte inferior da página, copie as coordenadas X, Y e Z do nó selecionado na etapa 4.2.8.
- Na barra de ferramentas verticais, selecione Traduzir instância e selecione todo o conjunto (ou seja, todas as instâncias) na tela. Digite Feito.
- Cole as coordenadas copiadas na caixa Selecionar um ponto de partida para o vetor de tradução - ou entrar x,Y,Z. Clique em Enter.
- Em Selecionar um ponto final para o vetor de tradução - ou digitar X,Y,Z: insira as coordenadas conforme copiado na etapa 4.2.9. Mude a coordenada X para 0.0. Clique em Enter.
- Para Posição de Instância,pressione Ok.
- Clique em File > Execute Script e selecione Model_setup_Part3.py. Insira ou altere as propriedades do material.
- Clique em Models > Simulation > Materiais e clique em Osso/PDL/Dente. Insira propriedades específicas do tecido.
- Clique em File > Execute Script e selecione Functions.py.
- Processamento do modelo
- Clique em File > Execute Script e selecione Job_submission.py.
NOTA: O módulo de trabalho é onde o usuário configura uma ou mais ações sobre o modelo, e o gerente de trabalho é onde a análise do modelo é iniciada, o progresso é mostrado e a conclusão é notada. - Na caixa de diálogo intitulada Suprimir Todos,digite os lados (L ou R) dos dentes com base em restrições (Under Models > Simulation > Constraints). Pressione Ok.
- Na caixa de diálogo intitulada Job Submission insira "Y" para executar a análise dos dentes/dentes especificados. Pressione Ok.
- Na caixa de diálogo intitulada 'Direções para análise' digite "Y" para especificar o aplicativo de força. Pressione Ok.
- Clique em File > Execute Script e selecione Job_submission.py.
- Pós-processamento para estimativa de C RES
- Escolha Arquivo > Execute Script > Bulk_process.py.
- Na caixa de diálogo intitulada Analyze Multiple Jobs digite "Y" para os dentes/dentes especificados. Pressione Ok.
- Na caixa de diálogo intitulada 'Direções para Análise' digite "Y" para especificar o aplicativo de força. Pressione Ok.
- Na caixa de diálogo intitulada Obter entrada digite número de dente específico como descrito como Instâncias (por exemplo, UL1 ou UL5, etc.). Pressione Ok.
- Verifique as coordenadas para o Ponto de Força e Localização Estimada na caixa de comando. Se não forem semelhantes, repita os passos 4.3.1-4.4.4.
NOTA: Após a execução dos trabalhos para cada etapa, um algoritmo definido pelo usuário criado em Python foi executado dentro da interface Abaqus para analisar o sistema de força de reação e os momentos subsequentes criados como resultado da aplicação de carga. O algoritmo sugere automaticamente um novo local de nó para aplicar a carga de tal forma que um momento de magnitude quase zero seja criado dentro do sistema de força. Isso prossegue em um processo iterativo, até que a localização do nó que cria um momento mais próximo de zero quando uma força é aplicada através dela é encontrada ou estimada. O algoritmo é descrito em detalhes na seção Discussão.
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Representative Results
Para verificar a segmentação e o delineamento manual descritos na seção Procedimentos (etapa 2), foi extraído um primeiro molar maxilar de um crânio seco e uma imagem CBCT. O software de processamento e edição de imagens Mimics foi usado para delinear manualmente o dente conforme descrito na etapa 2. Posteriormente, foram realizados os modelos segmentados com software 3matic, sendo importados para Abaqus para análise. Não encontramos diferença significativa nas medidas lineares e volumétricas feitas no modelo FE do dente e no dente real medido no laboratório (Documento Suplementar 4).
Para verificar a validade do algoritmo definido pelo usuário na determinação do CRES de um objeto, foi utilizado um modelo simplificado de um feixe envolto em uma bainha nos estágios iniciais de criação do script (Figura 5A). O enmentamento de aço foi limitado a três graus de liberdade de deslocamento, e os nódulos na interface feixe/bainha foram amarrados juntos. Os nódulos para aplicação da força foram selecionados aleatoriamente, e a subrotina foi aplicada de forma iterativa até que a solução convergisse. No modelo simplificado, um comprimento de 30 unidades e uma largura de 10 unidades foram envoltos na bainha. Seguindo o algoritmo definido e seus cálculos, previu-se o CRES do feixe modelo (Figura 5B). Isso concordou com os cálculos teóricos (ver Documento Suplementar 3). Assim, a validade do algoritmo definido pelo usuário foi desenvolvida e verificada neste modelo simplificado e posteriormente implementada para a determinação do CRES dos dentes maxilos.
A Tabela 2 mostra as propriedades materiais atribuídas às estruturas. Diferenças na modelagem das propriedades materiais do PDL e do osso podem afetar a localização final do CRES de um dente. Anisotropia pdl relacionada à orientação de fibras, diferenças na razão de Poisson, padrões de carregamento e magnitude também podem fazer a diferença. O PDL foi atribuído propriedades não lineares e hiperelásticas segundo o modelo de Ogden (μ1 = 0,07277, α1 = 16,95703, D1 = 3 x 10-7)22,23. Densidades específicas também foram atribuídas = 1,85 g/cm3 para osso; 2,02 g/cm3 para dentes; e 1 g/cm3 para PDL (ou seja, a densidade da água, porque o PDL é composto principalmente de água)24,25.
Para padronizar os vetores de força e localizar a posição do CRES, foi construído um sistema de coordenadas cartesian (X-Y-Z) e definido pelas seguintes orientações: Eixo Y (eixo anteroposterior ou labiolínuo) orientado ao longo da sutura midpalatal com a porção posterior na direção positiva, Eixo Z na direção vertical (eixo superio-inferior ou ocluso-gengival) com a porção superior ou gengival do modelo na direção positiva, e o eixo X na direção transversal (eixo buccolingual) com a porção bucal na direção positiva(Figura 6).
Este sistema de coordenadas foi aplicado de duas formas: 1) Um sistema de coordenadas global foi estabelecido com sua origem (O) localizada entre as superfícies faciais dos incisivos centrais abaixo da papila incisiva localizada em uma linha bissecção das larguras inter-incisivo e intermola no plano X-Y; 2) Foram construídos sistemas de coordenadas locais com origem 'R' para cada dente. O ponto 'R' específico para cada dente foi definido como o centro geométrico na superfície bucal da coroa. Este local foi escolhido para aproximar o local mais próximo onde um operador pode colocar um suporte para aplicar forças ortodônticas. Os resultados representativos são mostrados na Figura 7.
ORES C localizado em relação aos sistemas de coordenadas globais e locais são mostrados na Tabela 3 e na Tabela 4. Os locais da CRES obtidos ao longo da coordenada X quando um sistema de força foi aplicado ao longo das coordenadas Y e Z eram diferentes entre si(Tabela 5). Entretanto, a diferença média foi pequena (0,88 ± 0,54 mm).
Figura 1: Gráfico de fluxograma de projeto. O fluxo de trabalho de três etapas para localizar CRES. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
Figura 2: Layout do software Mimics exibindo dentes maxilares em todas as três vistas (X-Y-Z) e como um modelo volumétrica. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
Figura 3: Etapas envolvidas para a geração do ligamento periodontal (PDL) utilizando a montagem não-coletora do software 3matic. Módulo de Remesh (A) Criar montagem não-coletora, (B) Maxilla é definida como a entidade principal, (C) PDL é definida como a entidade interseccionada, (D) Remesh Adaptativo, (E) Divisão da maxila e do PDL, (F) Siga as etapas B-F para PDL como a entidade principal e o dente selecionado como uma entidade intersectiva,(G) Criar volume de malha. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
Figura 4: O layout do software Abaqus. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
Figura 5: Modelo simplificado do feixe de aço. (A)O feixe envolto em uma bainha de aço usado para testar a precisão do algoritmo definido. (B) Localização de CRES do feixe envolto como previsto pelos algoritmos definidos. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
Figura 6: O sistema decoordenadas para estimativa de C RES em relação a um ponto de origem global (O) e ponto de origem local (R) para cada dente. Esta é uma ilustração para o segundo pré-molar maxilar. Este método foi utilizado para cada dente no arco. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
Figura 7: Representação tridimensional do CRES dos dentes maxilereis. (A)Incisivo central. (B) Incisivo lateral. (C)Canino. (D)Primeiro pré-molar. (E)Segundo pré-molar. (F)Primeiro molar. (G)Segundo molar. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.
| Tipo oco: | Ambos (Fora e Dentro) |
| Distância | 0.2 |
| Menor detalhe: | 0.05 |
| Reduzir: | Verificado |
| Limpeza na fronteira: | Verificado |
| Fator de limpeza: | 1.1 |
Tabela 1: Parâmetros da ferramenta oca.
| Estrutura | Módulo elástico (MPa) | Relação de Poisson | Densidade específica (g/cm3) |
| Dentes | 17000 | 0.3 | 2.02 |
| Osso | 17000 | 0.3 | 1.85 |
| Pdl | 0.05 | Ver texto | 1 |
Tabela 2: Propriedades materiais do modelo de elemento finito.
| Número do dente | Comprimento do dente | Comprimento da raiz | X | Y | Z |
| UL1 | 25.2 | 15.1 | 3.4 | 11.0 | 12.9 |
| UL2 | 26.0 | 16.8 | 8.8 | 13.2 | 14.3 |
| UL3 | 29.1 | 19.5 | 15.1 | 18.0 | 15.6 |
| UL4 | 23.8 | 15.7 | 18.4 | 21.5 | 10.6 |
| UL5 | 24.8 | 18.2 | 20.9 | 28.2 | 10.1 |
| UL6 | 22.0 | 16.4 | 25.8 | 38.7 | 11.6 |
| UL7 | 21.4 | 15.0 | 27.4 | 43.2 | 11.4 |
| UR1 | 24.9 | 14.6 | -4.6 | 10.8 | 13.2 |
| UR2 | 26.3 | 16.7 | -9.9 | 13.0 | 13.6 |
| UR3 | 30.9 | 21.1 | -15.6 | 17.7 | 14.2 |
| UR4 | 22.9 | 16.7 | -19.0 | 21.9 | 9.2 |
| UR5 | 23.4 | 16.7 | -21.1 | 29.4 | 8.8 |
| UR6 | 22.2 | 16.3 | -23.9 | 39.6 | 9.8 |
| UR7 | 20.8 | 15.9 | -21.7 | 47.0 | 10.4 |
Tabela 3: Localização tridimensional (X-Y-Z) do CRES dos dentes maxilares em relação ao ponto global O.
| Número do dente | Comprimento do dente | Comprimento da raiz | X | Y | Z |
| UL1 | 25.2 | 15.1 | -1.1 | 10.9 | 9.4 |
| UL2 | 26.0 | 16.8 | -5.5 | 9.4 | 10.4 |
| UL3 | 29.1 | 19.5 | -5.7 | 9.3 | 13.2 |
| UL4 | 23.8 | 15.7 | -6.4 | 5.7 | 9.0 |
| UL5 | 24.8 | 18.2 | -6.7 | 7.0 | 9.5 |
| UL6 | 22.0 | 16.4 | -6.9 | 8.3 | 10.4 |
| UL7 | 21.4 | 15.0 | -8.6 | 3.3 | 7.3 |
| UR1 | 24.9 | 14.6 | 0.5 | 10.8 | 11.1 |
| UR2 | 26.3 | 16.7 | 5.0 | 10.3 | 9.3 |
| UR3 | 30.9 | 21.1 | 5.7 | 8.5 | 12.0 |
| UR4 | 22.9 | 16.7 | 5.3 | 5.3 | 9.3 |
| UR5 | 23.4 | 16.7 | 5.3 | 6.5 | 9.1 |
| UR6 | 22.2 | 16.3 | 5.6 | 7.8 | 10.1 |
| UR7 | 20.8 | 15.9 | 9.5 | 4.3 | 8.6 |
Tabela 4: Localização tridimensional (X-Y-Z) do CRES dos dentes maxilares em relação a um ponto local R para cada dente cujo CRES está sendo avaliado. Aqui, R é o centro geométrico da superfície bucal da coroa.
| Número do dente | Fy | Fz | Diferença |
| UL1 | -1.36 | -0.80 | 0.56 |
| UL2 | -5.73 | -5.23 | 0.5 |
| UL3 | -6.00 | -5.45 | 0.55 |
| UL4 | -6.11 | -6.65 | 0.54 |
| UL5 | -5.95 | -7.40 | 1.46 |
| UL6 | -6.18 | -7.67 | 1.49 |
| UR1 | 0.36 | 0.67 | 0.31 |
| UR2 | 5.23 | 4.77 | 0.46 |
| UR3 | 5.93 | 5.38 | 0.55 |
| UR4 | 4.57 | 6.01 | 1.44 |
| UR5 | 5.88 | 4.69 | 1.91 |
| UR6 | 5.19 | 5.98 | 0.79 |
Tabela 5: Variação no centro da posição de resistência ao longo do eixo X quando a força é aplicada ao longo dos eixos Y-(Fy) e Z (Fz)-.
Documento Suplementar 1: Scripts python dos algoritmos utilizados para o FEA. Clique aqui para ver este arquivo (Clique com o botão direito do mouse para baixar).
Documento Suplementar 2: Uma visão geral da análise do sistema de força. Clique aqui para ver este arquivo (Clique com o botão direito do mouse para baixar).
Documento Suplementar 3: Estimativa teórica do centro de massa de um feixe simples envolto em uma bainha. Clique aqui para ver este arquivo (Clique com o botão direito do mouse para baixar).
Documento Suplementar 4: Um modelo de elemento finito de um primeiro molar maxilar extraído. Clique aqui para ver este arquivo (Clique com o botão direito do mouse para baixar).
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Discussion
Este estudo mostra um conjunto de ferramentas para estabelecer um fluxo de trabalho consistente para análise de elementos finitos (FEA) de modelos de dentes maxileares derivados de imagens CBCT de pacientes para determinar suaRESC . Para o médico, um mapa claro e direto do CRES dos dentes maxilos seria uma ferramenta clínica inestimável para planejar os movimentos dentários e prever efeitos colaterais. O método de elemento finito (FEM) foi introduzido em pesquisa biomecânica dentária em 197317, e desde então tem sido aplicado para analisar os campos de estresse e tensão nas estruturas de suporte alveolar6,7,88,9,,10,11,12. Como evidenciado pelo número de etapas descritas no fluxo de trabalho(Figura 1),criar modelos de elementos finitos é uma tarefa complexa. Portanto, alguns aspectos da metodologia tiveram de ser simplificados.
Em primeiro lugar, o movimento dentário apenas na tomada alveolar foi considerado assumindo que a reabsorção e a posição do osso alveolar não ocorreram. Este tipo de deslocamento é chamado de movimento dentário primário4 ou instantâneo18. Observou-se que o PDL é uma entidade crítica no deslocamento dentário instantâneo. Osso e dentes podem ser razoavelmente considerados rígidos para definir as tensões de PDL para o movimento dentário15. Portanto, para este estudo a distribuição do estresse foi restrita dentro da soquete dentária. A ferramenta Criar condição de limite permite ao usuário definir condições de limite para o modelo ou aplicar restrições. Os pontos selecionados são atribuídos zero graus de liberdade para garantir que o modelo permaneça rígido nessa área. Consequentemente, foi eliminado o tempo de análise para cálculo da deformação óssea e reencolinhamento dos elementos sólidos do osso alveolar deformado feito em estudos anteriores,19,20.
Em segundo lugar, foi feita uma tentativa de manter a resolução da imagem em níveis moderados. O tamanho do voxel da imagem CBCT foi de 0,27 mm. Isso não só manteve a dosagem de radiação no mínimo, mas também reduziu a carga computacional para a montagem da matriz de rigidez global para elementos tetraédricos. No entanto, a desvantagem foi que a resolução CBCT foi insuficiente para capturar com precisão e distintamente o PDL nas varreduras. Isso ocorreu em grande parte porque a espessura média do PDL é de cerca de 0,15 mm-0,38 mm (média: 0,2 mm)21 e o tamanho da imagem voxel foi de 0,27 mm. Essa deficiência com as varreduras cbct criou duas questões: 1) O PDL não poderia ser segmentado por si só; e 2) Segmentar o osso e os dentes utilizando limiares não foi possível devido à falta de uma mudança de valor cinza distinta entre os dois. Como resultado, o software não conseguiu distinguir entre os dentes e osso porque os valores cinzentos eram semelhantes. Em outras palavras, Mimics não foi capaz de segmentar os dentes e osso separadamente. Por isso, desenvolveu-se um método diferente de segmentação. Após a tentativa de inúmeras ferramentas, como a região de cultivo ou ferramenta dividida em Mimics, foi determinado que a melhor maneira de segmentar os dentes era destacando manualmente a estrutura dentária em cada fatia do CBCT. Aqui, a Ferramenta de Edição de Várias Fatias oferecia uma vantagem de eficiência. Em vez de ter que destacar manualmente cada fatia, o usuário só tem que destacar algumas das fatias. Por essa razão, foi o melhor método para segmentar os dentes, pois proporcionou a maior precisão na obtenção de boas imagens da anatomia dos dentes de forma consistente.
Como o Mimics não conseguiu segmentar o PDL devido à baixa resolução das imagens CBCT, foi necessário cultivar o PDL a partir da estrutura radicular do dente. Isso exigiu a divisão do dente em raiz e coroa no CEJ. Uma vez cultivada, o PDL construído era essencialmente duas superfícies paralelas uma à outra espaçadas a 0,2 mm de distância, onde uma superfície estava em contato íntimo com o osso e a outra com a raiz. Era fundamental que as superfícies fossem amarradas na análise do elemento finito para que uma carga adicionada a um dente fosse propagada através do PDL até o osso. O software de engenharia rejeitou modelos cujas superfícies estavam muito distantes ou se cruzavam demais, pois isso tornava impossível conectar as superfícies e invalidava o modelo FEA.
Em terceiro lugar, todas as superfícies do modelo foram mantidas relativamente lisas e livres de pequena topografia superficial que é insignificante para a análise geral do modelo, como uma projeção de osso extra fora da superfície cortical bucal. Elementos finos nas projeções de anatomia adicionam complicação desnecessária à malha do modelo final, diminuindo o tamanho dos elementos em áreas complicadas de anatomia fina, aumentando assim o número de elementos no modelo. Elementos menores e mais numerosos aumentam o esforço de computação na análise final do elemento finito.
Os locais do CRES quando a força foi aplicada nas direções Y e Z foram diferentes, representados pelas diferenças em sua localização ao longo da direção X. Entretanto, a diferença foi pequena (Tabela 5) e foi clinicamente, bem como estatisticamente insignificante. Portanto, a localização de CRES calculada em uma direção pode ser usada para a outra. Trabalhos anteriores também demonstraram que quando avaliado em 3D um único ponto para o CRES não é observado10,26,27. Portanto, tem-se sugerido que, em vez de ter um CRES definitivo, uma terminologia melhor poderia ser "raio de resistência". Essa diferença pode ser atribuída a uma série de fatores, como morfologia radicular, condições de limite, propriedades materiais e aplicação de ponto de carga.
Análise de Sistemas de Força usando Algoritmos Personalizados
Os conceitos matemáticos, derivações teóricas e simulações de computador para localização do CRES de um dente foram previamente descritos nos detalhes27,,28,,29,,30. A fim de analisar os sistemas de força criados pelas várias cargas aplicadas e prever o CRES para os dentes, um algoritmo personalizado foi escrito e executado dentro de Abaqus (ver arquivos de codificação suplementar). Este algoritmo foi escrito usando Python, aceita dados do banco de dados de saída de software FEA (arquivo.odb) como entrada, processa os dados e fornece valores para os momentos criados no sistema pela carga aplicada. Além disso, estima locais de nó que resultam na geração de um momento mais baixo dentro do sistema. Isso permite que o usuário execute a simulação de forma iterativa até que as estimativas convergem para um único local.
O algoritmo acessa as coordenadas nodais, o deslocamento total de cada nó e as forças de reação em cada nó como resultado da carga aplicada em cada etapa. Forças de reação na mesma direção que a aplicação de carga original e forças de reação na direção oposta são somadas em cada um dos nós do sistema para determinar os vetores de força agregado saem no dente durante a simulação. Os momentos resultantes são calculados em relação ao ponto de aplicação da força para cada força de reação em cada nó e também são resumidos da mesma forma que as forças de reação. Assim, calcula-se um vetor de força agregado na mesma direção da aplicação de carga original e o momento resultante criado por esse vetor de força sobre a aplicação do ponto de força, bem como o vetor de força na direção oposta e seu momento resultante. Como o sistema está em equilíbrio estático, a soma de todas as forças e momentos é igual a zero. No entanto, a quebra das forças de reação e momentos desta forma permite o cálculo dos locais efetivos onde essas forças agregadas atuam como pontos pivôs no sistema, e o ponto central entre esses pontos pivôs proporciona uma aproximação de um ponto de aplicação de força que está mais próximo do CRES.
Para realizar esses cálculos, a magnitude dos momentos resultantes é dividida pela magnitude de suas respectivas forças para dar a magnitude da distância (vetor R) dos pontos pivôs ao ponto de aplicação da força. A direção do vetor R é determinada através de um produto cruzado do momento e vetores de força, onde todos devem ser ortogonais uns aos outros, e o vetor unitário é determinado dividindo pela magnitude do produto cruzado. O vetor unitário R é multiplicado pela magnitude do vetor R previamente calculado para produzir a estimativa global em espaço 3D das coordenadas de cada ponto de pivô em relação ao ponto original de aplicação da força. O ponto médio entre esses dois vetores fornece a estimativa para a localização do próximo ponto de aplicação de força na iteração a seguir. Informações adicionais são anexadas no Documento Suplementar 2.
A estimativa do CRES é determinada quando os momentos resultantes no sistema somam aproximadamente zero. Para o presente estudo, essa determinação é feita por encontrar os componentes X mais baixos positivos e negativos dos momentos calculados e a média dos dois. Devido à localização gerada aleatoriamente dos nós e à distância inerente entre os dois nós (0,5 mm), é difícil encontrar um local onde um momento zero preciso seja gerado(Tabela 5).
Limitações
Apesar de nossos melhores esforços, existem algumas limitações para este estudo. Primeiro, porque o PDL não pôde ser visualizado no CBCT, não pôde ser segmentado por conta própria e foi gerado a partir da superfície raiz do dente em uma espessura uniforme de 0,2 mm. Estudos de elementos finitos demonstraram que a modelagem uniforme versus não uniforme afeta o resultado da FEA, e que a modelagem não uniforme é superiora 30,31. Em segundo lugar, o número de etapas para criar um modelo preciso foi demorado. Trata-se de uma limitação em termos de rapidez com que os modelos podem ser feitos, o que limita a possibilidade de utilização dessas ferramentas para planos de tratamento pessoal para pacientes caso a caso. Além disso, o software necessário para a geração desses modelos é caro e limitado aos recursos disponíveis em uma instituição de ensino ou em uma grande empresa. Além disso, uma vez que os modelos foram feitos, a computação muito poderosa era necessária para executar o FEA. Assim, este método não pode ser uma ferramenta viável de planejamento de tratamento até que a tecnologia necessária esteja amplamente disponível.
Pesquisas futuras devem se concentrar no uso desses modelos para realizar análises de elementos finitos nos dentes maxilos para determinar o CRES para o arco e grupos de dentes, especialmente aqueles grupos de dentes tipicamente manipulados em ortodontia, como o segmento anterior em um caso de extração ou um segmento posterior para intrusão em pacientes com mordida aberta. Uma vez determinado o CRES para esses modelos, modelos adicionais devem ser desenvolvidos a partir de imagens CBCT adicionais para adicionar aos dados existentes. Com um pool de dados suficiente de localizações cres, mapas de calor poderiam ser gerados para indicar uma posição geral do CRES que poderia servir como uma referência inestimável para os médicos.
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Disclosures
Os autores não têm nada para revelar.
Acknowledgments
Os autores gostariam de reconhecer o Prêmio Charles Burstone Foundation por apoiar o projeto.
Materials
| Name | Company | Catalog Number | Comments |
| 3-matic software | Materialise, Leuven, Belgium. | Cleaning and meshing | |
| Abaqus/CAE software, version 2017 | Dassault Systèmes Simulia Corp., Johnston, RI, USA. | Finite Element Analysis | |
| Mimics software, version 17.0 | Materialise, Leuven, Belgium. | Segmentation of teeth and bone |
References
- Smith, R. J., Burstone, C. J.
- Christiansen, R. L., Burstone, C. J.
- Tanne, K., Nagataki, T., Inoue, Y., Sakuda, M., Burstone, C. J. Patterns of initial tooth displacements associated with various root lengths and alveolar bone heights. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 100 (1), 66-71 (1991).
- Burstone, C. J., Pryputniewicz, R. J. Holographic determination of centers of rotation produced by orthodontic forces. American Journal of Orthodontics. 77 (4), 396-409 (1980).
- Dermaut, L. R., Kleutghen, J. P., De Clerck, H. J. Experimental determination of the Cres of the upper first molar in a macerated, dry human skull submitted to horizontal headgear traction. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 90 (1), 29-36 (1986).
- Tanne, K., Sakuda, M., Burstone, C. J. Three-dimensional finite element analysis for stress in the periodontal tissue by orthodontic forces. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 92 (6), 499-505 (1987).
- Meyer, B. N., Chen, J., Katona, T. R. Does the Cres depend on the direction of tooth movement? American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 137 (3), 354-361 (2010).
- Kojima, Y., Fukui, H. A finite element simulation of initial movement, orthodontic movement, and the centre of resistance of the maxillary teeth connected with an archwire. European Journal of Orthodontics. 36 (3), 255-261 (2014).
- Reimann, S., Keilig, L., Jäger, A., Bourauel, C. Biomechanical finite-element investigation of the position of the centre of resistance of the upper incisors. European Journal of Orthodontics. 29 (3), 219-224 (2007).
- Viecilli, R. F., Budiman, A., Burstone, C. J. Axes of resistance for tooth movement: Does the Cres exist in 3-dimensional space? American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 143 (2), 163-172 (2013).
- Ammar, H. H., Ngan, P., Crout, R. J., Mucino, V. H., Mukdadi, O. M. Three-dimensional modeling and finite element analysis in treatment planning for orthodontic tooth movement. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 139 (1), 59-71 (2011).
- Sia, S., Koga, Y., Yoshida, N. Determining the center of resistance of maxillary anterior teeth subjected to retraction forces in sliding mechanics. An in vivo study. Angle Orthodontics. 77 (6), 999-1003 (2007).
- Cattaneo, P. M., Dalstra, M., Melsen, B. Moment-to-force ratio, center of rotation, and force level: a finite element study predicting their interdependency for simulated orthodontic loading regimens. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 133 (5), 681-689 (2008).
- Tominaga, J. Y., et al. Effect of play between bracket and archwire on anterior tooth movement in sliding mechanics: A three-dimensional finite element study. Journal of Dental Biomechanics. 3, 1758736012461269 (2012).
- Cai, Y., Yang, X., He, B., Yao, J. Finite element method analysis of the periodontal ligament in mandibular canine movement with transparent tooth correction treatment. BMC Oral Health. 15 (106), (2015).
- Pauwels, R., Araki, K., Siewerdsen, J. H., Thongvigitmanee, S. S. Technical aspects of dental CBCT: state of the art. Dentomaxillofacial Radiology. 44 (1), 20140224 (2015).
- Farah, J. W., Craig, R. G., Sikarskie, D. L. Photoelastic and finite element stress analysis of a restored axisymmetric first molar. Journal of Biomechanics. 6 (5), 511-520 (1973).
- van Driel, W. D., van Leeuwen, E. J., Von den Hoff, J. W., Maltha, J. C., Kuijpers-Jagtman, A. M. Time-dependent mechanical behavior of the periodontal ligament. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part H: Journal of Engineering in Medicine. 214 (5), 497-504 (2000).
- Bourauel, C., et al. Simulation of orthodontic tooth movements. A comparison of numerical models. Journal of Orofacial Orthopedics. 60 (2), 136-151 (1999).
- Schneider, J., Geiger, M., Sander, F. G. Numerical experiments on longtime orthodontic tooth movement. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 121 (3), 257-265 (2002).
- Ten Cate, A. R. Oral histology, development, structure and function (5th ed). , St. Louis Mosby. (1998).
- McCormack, S. W., Witzel, U., Watson, P. J., Fagan, M. J., Gröning, F. The Biomechanical Function of Periodontal Ligament Fibres in Orthodontic Tooth Movement. PLoS One. 9 (7), e102387 (2014).
- Huang, H., Tang, W., Yan, B., Wu, B., Cao, D. Mechanical responses of the periodontal ligament based on an exponential hyperelastic model: a combined experimental and finite element method. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. 19 (2), 188-198 (2016).
- Yang, J. A new device for measuring density of jaw bones. Dentomaxillofacial Radiology. 31 (5), 313-316 (2002).
- Gradl, R., et al. Mass density measurement of mineralized tissue with grating-based X-ray phase tomography. PLoS One. 11 (12), e01677979 (2016).
- Jiang, F., Kula, K., Chen, J. Estimating the location of the center of resistance of canines. Angle Orthodontics. 86 (3), 365-371 (2016).
- Nyashin, Y., et al. Center of resistance and center of rotation of a tooth: experimental determination, computer simulation and the effect of tissue nonlinearity. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. 19, 229-239 (2016).
- Toms, S. R., Eberhardt, A. W. A nonlinear finite element analysis of the periodontal ligament under orthodontic tooth loading. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 123 (6), 657-665 (2003).
- Osipenko, M. A., Nyashin, M. Y., Nyashin, Y. I. Centre of resistance and centre of rotation of a tooth: the definitions, conditions of existence, properties. Russian Journal of Biomechanics. 3 (1), 5-15 (1999).
- Dathe, H., Nägerl, H., Dietmar, K. M. A caveat concerning center of resistance. Journal of Dental Biomechanics. 4, 1758736013499770 (2013).
- Hohmann, A., et al. Influence of different modeling strategies for the periodontal ligament on finite element simulation results. American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. 139 (6), 775-783 (2011).
