2.6

الجبر المتجهي: الطريقة البيانية

14.1K views01:15 min

لإضافة كميات متجهة من نفس النوع ، ضع ذيل المتجه التالي على طرف المتجه السابق. يسمى المتجه الذي يربط ذيل المتجه الأول بطرف المتجه الأخير بالناتج

تغيير ترتيب المتجهات لا يغير الناتج.

يمكن إضافة المتجهات باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع ، والتي تنص على أنه إذا تزامنت النقطة الأولية للمتجهين لتشكيل وجهين لمتوازي الأضلاع ، فإن القطر من نفس النقطة يعطي الناتج.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك قاربا يعبر نهرا على طول الاتجاه الشمالي الشرقي. إذا كان النهر يتدفق من الغرب إلى الشرق ، فإن السرعة الفعلية للقارب هي مجموع المتجه لكلتا السرعتين.

يتم إعطاء هذا من خلال قطر متوازي الأضلاع الذي تصنعه المتجهات. زاوية القطر تعطي اتجاهها.

لطرح المتجه B من المتجه A ، أوجد أولا سالب المتجه B ، ثم أضفه إلى المتجه A.

ضرب متجه في كمية عددية يعطي كمية متجهة.

Overview

Loading...

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

يمكن ضرب المتجهات بالكميات العددية، أو جمعها مع متجهات أخرى، أو طرحها من متجهات أخرى. يسمى المجموع المتجهي لمتجهين (أو أكثر) بالمتجه المحصل أو باختصار المحصلة.

نحن نستخدم قوانين الهندسة لبناء المتجهات المحصلة، يليها حساب المثلثات لإيجاد مقادير المتجهات واتجاهاتها. للحصول على بناء هندسي لمجموع متجهين في المستوى، نتبع قاعدة متوازي الأضلاع. لنفترض أن هناك متجهين في موضعين اعتباطيين. ننقل أحدهما بالتوازي إلى بداية المتجه الآخر، بحيث يكون لكلا المتجهين، بعد النقل، أصولهما في نفس النقطة. والآن، عند نهاية المتجه الأول، نرسم خطًا موازيًا للمتجه الثاني. وعند نهاية المتجه الثاني، نرسم خطًا موازيًا للمتجه الأول. بهذه الطريقة نحصل على متوازي الأضلاع. من أصل المتجهين نرسم قطراً هو محصلة المتجهين.

القطر الآخر لمتوازي الأضلاع هذا هو الفرق المتجهي بين المتجهين. يستنتج من قاعدة متوازي الأضلاع أنه لا يمكن التعبير عن مقدار المتجه المحصل، ولا مقدار متجه الفرق، كمجموع بسيط أو فرق في مقادير المتجهات. وذلك لأنه لا يمكن التعبير عن طول القطر كمجموع بسيط لأطوال أضلاعه. إذا أردنا جمع ثلاث متجهات أو أكثر، فإننا نكرر قاعدة متوازي الأضلاع لأزواج المتجهات حتى نجد محصلة جميع المتجهات المحصلة.

يمكن تعميم رسم المتجه المحصل للعديد من المتجهات باستخدام البناء الهندسي التالي من الذيل إلى الرأس. نختار أيًا من المتجهات ليكون المتجه الأول، ونقوم بإجراء نقل موازٍ للمتجه الثاني إلى موضع حيث يتطابق الأصل ('ذيل') المتجه الثاني مع نهاية ('رأس') المتجه الأول. بعد ذلك، نختار متجهًا ثالثًا ونقوم بإجراء نقل موازٍ للمتجه الثالث إلى موضع حيث يتطابق أصل المتجه الثالث مع نهاية المتجه الثاني. نكرر هذا الإجراء حتى تصبح جميع المتجهات في ترتيب رأس-إلى- ذيل. نرسم المتجه المحصل عن طريق ربط أصل ('ذيل') المتجه الأول مع نهاية ('رأس') المتجه الأخير. نهاية المتجه المحصل تكون عند نهاية المتجه الأخير. نظرًا لأن جمع المتجهات هو أمر ترابطي وإبدالي، فإننا نحصل على نفس المتجه المحصل بغض النظر عن المتجه الذي نختاره ليكون الأول، أو الثاني، أو الثالث أو الرابع في هذا البناء.

الضرب العددي للمتجه يعطي كمية متجهة. اعتمادا على الإشارة المرتبطة بالكمية العددية، يتم تحديد اتجاه المتجه. فمثلاً، إذا ضربنا كمية المتجه بعدد قياسي موجب، فسيكون المتجه الجديد موازيًا للمتجه المعطى والعكس صحيح.

هذا النص مقتبس من أوبنستاكس، الفيزياء الجامعية المجلد الأول، القسم 2.3: جبر المتجهي.

Transcript

Explore More Videos

Vector Addition

Parallelogram Rule

Tail to Head Method

Scalar Multiplication

Resultant Vector

Vector Subtraction

Vector Magnitude

Vector Direction

Geometric Construction