اختبار المشتقة الأولى: حل المسائل

تخيل سعر أصل ينهار إلى مستوى منخفض، ثم يرتد بقوة مع دخول الباحثين عن صفقات شراء، ثم يتراجع تدريجيًا. يمكن نمذجة هذا السلوك بدالة ملساء تمثل نقاط انعطافها مناطق يكون فيها الأصل مرتفع التقييم محليًا وأخرى منخفض التقييم محليًا. ومن الأمثلة الملائمة التي تجسد الارتداد يعقبه التلاشي التدريجي ما يأتي:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

تُحدَّد القيم العظمى والصغرى لهذا المنحنى باستخدام اختبار المشتقة الأولى، الذي يبين المواضع التي تتحول فيها الدالة من التزايد إلى التناقص أو بالعكس. وللبدء، تُحسب المشتقة الأولى. وبما أن الدالة حاصل ضرب حد كثير حدود وحد أسي، فإن التفاضل يتطلب تطبيق قاعدة الضرب. وبعد إجراء التفاضل، يُبسَّط التعبير الناتج باستخراج العوامل المشتركة بين جميع حدود المشتقة.

ثم تُساوى المشتقة بالصفر، ويؤدي حل المعادلة إلى إيجاد النقاط الحرجة، وهي المدخلات التي يكون عندها ميل المنحنى صفرًا أو التي يلزم عندها التحقق من إشارة المشتقة. وتقسم هذه النقاط الحرجة المجال إلى فترات لمزيد من التحليل.

بعد ذلك، تُختار نقاط اختبار داخل كل فترة، وتُقيَّم إشارة المشتقة. وتشير المشتقة الموجبة إلى أن سعر الأصل المُنمذج يتزايد خلال تلك الفترة، بينما تشير المشتقة السالبة إلى أنه يتناقص. ويدل تغير إشارة المشتقة من موجب إلى سالب على انتقال من الصعود إلى الهبوط، مما يحدد قيمة عظمى محلية. أما تغيرها من سالب إلى موجب فيحدد قيمة صغرى محلية، تمثل قاعًا في منحنى السعر.

وأخيرًا، يتم تعويض المدخلات الحرجة في الدالة الأصلية للحصول على مستويات الأسعار المقابلة عند نقاط الانعطاف هذه. وتُعد هذه القيم القصوى المحلية محورية في تحليل التقييم؛ لأنها تحدد مناطق انعكاس محتملة، وتساعد على قياس المواضع التي يتحول فيها الزخم من التعافي إلى الهبوط أو من الهبوط إلى التعافي.