دالة متزايدة

تُظهر الدالة المتزايدة ارتفاعًا في قيمة الدالة مع زيادة قيمة المتغير. يُصوَّر هذا السلوك بيانيًا كمنحنى أو مستقيم يميل صعودًا من اليسار إلى اليمين.

تُحقق هذه الدالة الشرط التالي: إذا كانت x_1 < x_2، فإن f(x_1) < f(x_2)، مما يُشير إلى أن قيم الدالة تزداد مع زيادة قيمة المتغير. يُعد هذا المفهوم أساسيًا لفهم اتجاهات النمو في مختلف المجالات، مثل ديناميكيات السكان، والاستثمارات المالية، أو استهلاك الموارد.

يقيس متوسط معدل التغيّر للدالة خلال فترة زمنية محددة سرعة تغيّر قيمة الدالة بالنسبة إلى قيمة المتغير. ويُحسب باستخدام الصيغة التالية:

حيث a و b هما قيمتان مختلفتان للمتغيّر، و f(a) و f(b) هما قيم الدالة المقابلة. يُنتج هذا الحساب قيمةً واحدةً تُمثل السلوك العام للدالة عبر تلك الفترة، وهو ما يُشبه إيجاد ميل مستقيم.

هندسيًا، يُطابق هذا المعدّل ميل المستقيم القاطع الذي يربط النقطتين (a, f(a)) و (b, f(b)) على الرسم البياني. إذا مال هذا المستقيم صعودًا، فإن الدالة تتزايد على الفترة [a, b]. ويؤكد متوسط معدل التغيّر الإيجابي وجود نمو خلال الفترة المُحللة.

في التطبيقات العملية، يُعد تحديد الفترات التي تزداد فيها الدالة أمرًا أساسيًا. على سبيل المثال، يتطلب تتبع الاتجاه التصاعدي في إيرادات شركة أو نمو مجموعة بيولوجية مع مرور الوقت تحليل هذه الفترات. تدعم هذه الطرق اتخاذ القرارات القائمة على البيانات، وتُساعد في نمذجة الأنظمة الديناميكية بدقة.