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方法文章

利用微波与介电体宏观样品研究无序光子带隙材料的光子特性

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DOI：

10.3791/51614

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2014年9月26日

 ,  ,  ,  ,  ,  ,  , 
1Department of Physics and Astronomy, San Francisco State University

本文内容

摘要

无序结构为形成光子带隙以及在功能缺陷设计方面提供了新的机制和前所未有的自由度。为了克服无序系统在计算上的挑战，我们构建了这类新型光子带隙材料的模块化宏观样品，并以一种简便且低成本的方式利用微波来表征其尺度不变的光子特性。

摘要

近年来，无序光子材料被提出作为周期性晶体的替代方案，用于实现完全光子带隙（PBG）。本文将介绍利用微波构建和表征宏观无序光子结构的方法。微波波段提供了最便于实验操作的样品尺寸，适合构建和测试PBG介质。易于操控的介电晶格组件可灵活地构建在预印制的塑料模板上，形成多种二维结构。结构建成后，可通过引入点缺陷和线缺陷快速进行修改，以制成自由形态的波导和滤波器。测试采用广泛可用的矢量网络分析仪和成对的微波喇叭天线进行。由于电磁场具有尺度不变性，我们在微波波段获得的结果可直接推广应用于红外和光学波段。该方法简便，但为光与无序物质相互作用的本质提供了令人振奋的新见解。

我们的代表性结果包括首次通过实验验证了在二维（2D）超均匀无序电介质结构中存在完整且各向同性的光子带隙（PBG）。此外，我们还通过实验验证了这种新型光子结构能够通过任意形状的自由形态波导引导电磁波（EM）。

引言

光子带隙的存在一直是众多科学研究的焦点，其研究始于瑞利勋爵早期对一维禁带的研究，即在周期性介质中无法传播的一段频率范围1。在E. Yablonovitch2,3和S. John4发表开创性论文后的近二十年来，电磁波（EM）在周期性结构中传播的研究真正蓬勃发展起来。Yablonovitch提出了“光子晶体”这一术语，用以描述具有光子带隙（PBG）的周期性电介质结构。 

光子晶体是具有离散平移对称性的周期性介电结构，使其在周期性方向上的平移操作下保持不变。当这种周期性与入射电磁波（EM）的波长相匹配时，某一频率范围的波会受到强烈衰减，并可能停止传播。如果足够宽，这些禁带频率范围（也称为止带）在所有方向上重叠，从而形成光子带隙（PBG），阻止特定频率的光子存在。

从概念上讲，光子晶体中的电磁波传播类似于半导体材料中的电子波传播，后者存在电子能量的禁带区域，也称为能隙。正如工程师利用半导体来控制和调节电子在半导体中的流动一样，光子带隙（PBG）材料也可用于需要光学控制的各种应用。例如，PBG材料可将特定频率的光限制在波长尺度的微腔中，并通过其中的线缺陷引导或过滤光5。人们建议将PBG材料应用于光通信6、激光器7、光路与光计算8以及太阳能收集9等需要调控光流的领域。

二维（2D）方格光子晶体具有4重旋转对称性。电磁波以不同的入射角（例如，相对于晶格平面为0°和45°）进入晶体时，会遇到不同的周期性结构。由于不同方向上的布拉格散射，导致在不同波长处形成禁带，这些禁带在所有方向上可能并不重叠，从而无法形成光子带隙（PBG），除非材料具有非常高的折射率对比度。此外，在二维结构中，两种不同的电磁波偏振模式——横电（TE）和横磁（TM）——通常在不同频率处形成带隙，这使得在所有方向和所有偏振模式下形成完全的光子带隙更加困难5。在周期性结构中，旋转对称性的选择有限，导致本征各向异性（角度依赖性），这不仅使完全光子带隙的形成变得困难，而且极大地限制了功能缺陷的设计自由度。例如，已证明在光子晶体中，波导设计只能局限于少数主要对称方向上10。

由于周期性带来的局限性，过去20年来，许多研究致力于突破这些限制，探索非常规的光子带隙（PBG）材料。最近，一类新的无序材料被提出，可在缺乏周期性或准周期性的情况下仍具有各向同性的完全光子带隙：即超均匀无序（HD）PBG结构11。在无序结构中，光子能带不存在精确的解析解，因此对其光子特性的理论研究仅限于耗时的数值模拟。为了计算能带，模拟必须采用超胞近似方法，而可用的计算能力可能限制了超胞的有限尺寸。在计算这些结构的透射率时，计算机模拟通常假设理想条件，从而忽略了现实世界中的问题，例如光源与探测器之间的耦合、实际入射电磁波的波形以及对准误差等12。此外，对模拟结构的任何修改（缺陷设计）都需要重新进行一轮模拟。由于超胞所需最小尺寸较大，系统性地探索这些无序材料的各种缺陷设计结构变得极为繁琐且不切实际。

我们可以通过实验研究无序光子结构来避免这些计算问题。通过实验，我们能够验证完全光子带隙（PBG）在HD结构中的存在。利用微波实验，我们还可以获得相位信息，并揭示其中存在的光子态的场分布和色散特性。使用一种易于修改且模块化的厘米尺度样品，我们可以在无序系统中测试各种波导和腔体（缺陷）设计，并分析光子带隙的鲁棒性。对于复杂无序光子结构的这类分析，通过数值或理论研究方法要么不切实际，要么根本无法实现。

设计过程始于选择一种“隐蔽性”超均匀点阵模式13。超均匀点阵模式是指，在半径为 R 的“球形”采样窗口内，点的数量方差随窗口体积的增长速度比大 R 下的体积增长更慢，即在 d 维空间中比 Rd 更慢。例如，在二维泊松随机点阵分布中，区域 R 内点数的方差与 R2 成正比。然而，在超均匀无序点阵模式中，半径为 R 的窗口内点数的方差则与 R 成正比。图1 展示了超均匀无序点阵模式与泊松点阵模式之间的对比11。我们采用一类被称为“隐蔽性”的超均匀无序点阵模式的子类11。

根据 Florescu et al11 所述的设计方案，我们构建了由电介质壁和杆组成的网络，形成一种类似于晶体的二维超均匀电介质结构，但克服了周期性和各向同性固有的局限性。壁状网络有利于实现 TE 偏振带隙，而杆状结构则更适用于形成 TM 偏振带隙。  我们开发了一种模块化设计，使得样品能够方便地调整，以适用于不同偏振态，并可引入自由形态的波导和腔体缺陷。由于麦克斯韦方程组具有尺度不变性，因此在微波波段观察到的电磁特性可直接推广至红外和光学波段，此时样品的尺寸将按比例缩小至微米及亚微米量级。

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方案

1. 设计二维超均匀无序介电结构11

  1. 选择一种二维超均匀无序点阵的子类（图2中的蓝色圆圈），并使用德劳内三角剖分对其进行划分（图2中的蓝色线条）。二维德劳内三角剖分是一种三角化方法，可使每个生成三角形的最小内角最大化，并确保每个三角形的外接圆内不包含其他任何点11。
  2. 确定每个三角形的质心位置（图2中的实心黑色圆点）；这些质心即为半径为 r 的介质柱的位置11。
  3. 连接相邻三角形的质心（图2中的粗红线条），以在每个点周围生成单元格11。
  4. 创建用于组装介质柱和壁的 2 cm 高 HD 基底模板的 CAD 设计文件，模板上包含孔和槽14。采用平均柱间距 a=1.33 cm 的 HD 图案，设定孔半径为 2.5 mm，槽宽为 0.38 mm。将孔和槽的深度设为 1 cm，以稳定插入的柱和壁。
  5. 为晶格基底模板（方格晶格）创建类似的 CAD 设计文件，用于对比14。使用与 HD 结构相同的晶格常数（1.33 cm），以及相同的孔半径（2.5 mm）和槽宽（0.38 mm）。

2. 样品构建与制备

  1. 制备模板。使用立体光刻设备制造六边形（HD）和方形晶格的塑料基底，该设备通过紫外激光光聚合技术生成实体塑料模型。采用透明树脂材料，例如类似聚碳酸酯的塑料，横向和纵向分辨率均为0.1 mm。（见图3，中间图版）。
  2. 准备构建单元：订购 commercially available 氧化铝棒材以及按精确尺寸切割的薄壁结构（见图3，左图）。高度应不小于几个波长，例如10.0 cm。所有棒材的直径均为5.0 mm。壁厚恒为0.38 mm，宽度范围从1.0 mm至5.3 mm，以0.2 mm为增量递增。
  3. 构建无缺陷测试结构以进行带隙测量。将棒材和薄壁插入基底中，形成所需结构的构型。聚合物基底上组装完成的棒材与壁材网络的侧视图如图3右图所示。
  4. 设计波导或腔体缺陷：通过直接移除或沿预定路径修改棒材和壁材，在样品中创建多种波导结构，如图9A和图9C所示。样品的模块化设计使得点缺陷、线缺陷或曲线缺陷的快速且简便的修改成为可能。 

3. 主要仪器

  1. 使用合成扫频仪（微波发生器）提供频率范围为 45 MHz 至 50 GHz、频率分辨率为 1 Hz 的微波信号。将该发生器连接至 S 参数测试装置，以测量两个端口（终端）之间的传输参数。使用通用接口总线（GPIB）连接线缆实现扫频仪与测试装置之间的通信。
  2. 使用微波矢量网络分析仪（VNA）处理来自 S 参数测试装置的接收信号，并测量信号的幅度和相位。将 S 参数测试装置设置为 S21 模式，使 VNA 输出一个数据文件，其中包含作为频率函数的端口 1 处检测到的电场实部和虚部，相对于端口 2 的源信号。

4. 仪器设置

  1. 起始/终止频率。  使用矢量网络分析仪（VNA）用户菜单选择测量所需的适当频率范围起始值和终止值。与光子带隙（PBG）相关的频率范围取决于样品的介电常数和晶格间距。对于晶格间距 a=1.33 cm 的氧化铝样品，使用 7 GHz 至 15 GHz 的微波。
  2. 平均因子。矢量分析仪通过多次测量取平均值来计算每个数据点，以降低随机噪声。在 VNA 键盘上输入所需的倍数，选择 512 到 4,096 之间的平均因子。选择较高的平均因子以最小化噪声，选择较低的平均因子以实现更快的扫描。
  3. 数据点数。在 7 GHz 至 15 GHz 范围内的测量中，在 VNA 屏幕菜单上选择最大数据点数（801），以实现 10 MHz 的频率分辨率。
  4. 校准。通过直接测量相对传输比，并将其归一化为在相同背景条件下、喇叭天线之间无样品时预校准设置的传输值，来校准系统。通过此方法，可消除电缆、接头、波导和天线引起的背景损耗，并直接记录有无被测样品时的相对传输比。
    1. 对于带隙测量，测量相距 28a 的对向喇叭天线之间自由空间的微波传输，并将结果作为校准集保存在 VNA 中。在实际实验中，当喇叭之间放置结构样品前，通过在 VNA 显示器上选择“CALIBRATION ON”启用校准集。VNA 计算的数据将自动相对于校准集进行归一化，从而返回有无样品时的传输功率比。
    2. 对于波导测量，由于样品波导中的传输可能轻易超过自由空间中两个喇叭之间预校准的传输值，因此无法明确定义有效的校准。在 VNA 显示器上关闭校准功能，记录原始传输数据，即检测信号与源信号之比。将喇叭紧邻波导通道开口放置，以实现最佳耦合效率。

5. 实验设置

  1. 配置如图4所示的实验装置。使用高质量的半柔性同轴电缆将S参数测试端口与输入/输出波导连接。通过矩形单模波导和适配器将喇叭天线连接至端口，以确保辐射为线极化，喇叭辐射的电场（E场）方向与喇叭的短边平行。
  2. 对于带隙测量：请遵循以下步骤，测量无缺陷样品的透射，以表征无缺陷样品的光子带隙（PBG）。
    1. 将喇叭天线在垂直和水平方向上对准，使其彼此正对。将喇叭天线置于足够远的距离，例如平均波长的20倍，以使到达样品的远场辐射可近似为平面波。在无测试样品的情况下，对自由空间中相对放置的喇叭之间的传输进行校准，并将校准数据存储至校准内存中。
    2. 将由杆状结构和墙体构成的无缺陷结构放置于两个相对喇叭之间的旋转平台上。开启在步骤5.2.1中记录到矢量网络分析仪（VNA）内存中的校准设置。此时系统已准备好测量通过样品的相对透射比，该比值已相对于校准内存中的传输功率进行了归一化。
  3. 对于波导和腔体缺陷的测量：请遵循以下步骤设置实验：
    1. 通过在无缺陷结构中移除或替换杆状结构和墙体，构建各种波导和腔体，如图9A和9C所示。
    2. 将喇叭天线尽可能靠近通道开口放置，以确保与通道实现良好耦合。对于弯曲或弯折的通道，应将喇叭天线置于通道中部，且其边缘与开口平行。
    3. 关闭校准功能。此时矢量网络分析仪（VNA）系统已准备好测量并记录端口2检测到的功率与端口1源功率之间的原始透射比。

6. 数据采集与分析

  1. 表征样品光子特性的角度依赖性：
    1. 将由杆和墙构成且边界近似为圆形的结构放置在两个相对的喇叭天线之间的旋转台上。
    2. 确保第5.2.2步中保存在矢量网络分析仪（VNA）内存中的校准已启用。将旋转台的角度刻度归零，并测量结构的透射率。在零入射角完成初始测量后，以相等的角度间隔（例如每2°）旋转样品，直至完成180°旋转，并记录各角度下的透射率。
  2. 表征样品光子特性的偏振依赖性：
    分别在两种不同的偏振状态下重复执行上述所有测量，通过改变喇叭天线开口的方向来实现。对于TM偏振，将喇叭天线的短边（即电场方向）设置为垂直于样品基底的水平面，并与杆平行；对于TE偏振，将喇叭天线旋转90度，使其短边（即电场方向）位于水平面内。
  3. 表征多种波导通道：确保第5.3.3步中校准已关闭。将喇叭天线紧邻样品放置以实现最佳耦合。通过移除和/或替换通道路径上的杆和墙所构建的不同通道，测量其透射率。在矢量网络分析仪（VNA）上实时监测透射信号的同时，通过添加或移除额外的杆和墙来调整通道路径，以优化透射功率或实现所需的滤波带宽。
  4. 在方格晶格光子晶体上执行与上述类似的测量，用于对比分析。
  5. 数据分析。使用计算机程序（如MATLAB）对数据进行分析和绘图。  将测得的透射率作为频率的函数进行绘图（线图），例如如图5、图2以及图9B和图9D所示，用于研究样品中的禁带特性或波导通道中的透射通带。  将透射率作为频率和角度的函数进行绘图（彩色等高线图），以分析结构的禁带特性及其角度依赖性，如图6和图7所示。
  6. 本实验方案建议以极坐标形式呈现样品透射率随频率和入射角的变化关系12，以便直观展示光子特性的旋转对称性和角度依赖性。生成极坐标图可直接显示晶体结构的布里渊区边界，并揭示光子带隙（PBG）形成与晶体及准晶体中布拉格散射面（即布里渊区边界）之间的关系。

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结果

我们首次实现了对超均匀无序介电结构中存在各向同性完全光子带隙的证实。在此，我们展示了超均匀结构的结果，并将其与周期性方格光子晶体的结果进行比较。

图5展示了在某一入射角下，超均匀无序结构的TE偏振透射率（dB）随频率（GHz）变化的半对数图。该图显示，禁带区域大约位于8.5至9.5 GHz之间，此处透射强度下降了两个数量级以上。

如上所述，我们采用周期性方晶模型与我们的HD结构进行比较。图6展示了在TE偏振下，方晶格的透射率（颜色）随频率和入射角的变化关系。蓝色区域（低透射率）表示在给定角度下频率域中的禁带。实测的禁带表现出与其四重旋转对称性相关的显著角度依赖性。在零度方向上的禁带与45°方向上的禁带差异过大，无法重叠，因而在此方晶格结构中无法形成TE偏振的带隙。

图7展示了方晶格样品与HD样品透射特性的独特极坐标图对比。极坐标图使我们能够直观地观察有效布里渊区边界5以及禁带随入射角...

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讨论

从超均匀无序点阵出发，可设计出由杆状结构和/或壁网络组成的二维超均匀无序（HD）结构，以实现对所有偏振态的完全光子带隙（PBG）11。基于该设计，我们构建了一个包含孔洞和狭缝的模板，用于在厘米尺度上组装氧化铝杆和壁结构，并利用微波进行测试。我们选择微波波段开展实验，是因为厘米尺度的结构单元（如氧化铝杆和壁）成本低廉且易于操作。我们首次通过实验证明，在二维超均匀无序结构中可以实现各向同性的完全光子带隙。这类无序晶格不具备长程平移对称性，因此其带隙的形成机制并非源于周期性光子晶体中的布拉格散射。

与周期性光子晶体不同，光子晶体的旋转对称性选择非常有限，且本质上限制了缺陷设计的自由度5，而HD结构为光子带隙（PBG）应用提供了光子晶体所不具备的一些优势。用于TM带隙测量的结构组装仅需几分钟，而添加用于TE带隙测量的层则可能耗时长达1小时。一旦使用氧化铝杆和壁组装出无缺陷的HD样品，便可作为可调模板，通过有策略地移除部分杆和壁，快速形成波导和腔体。在这类新型HD PBG材料中，我们已实现了...

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披露

作者无任何利益冲突需要披露。

致谢

本工作部分得到了科学进步研究公司（资助号 10626）、美国国家科学基金会（DMR-1308084）以及旧金山州立大学向 W. M. 提供的校内奖项的支持。我们感谢来自纽约大学（NYU）的合作者 Paul M. Chaikin 在实验设计方面的有益讨论，并为我们提供了矢量网络分析仪（VNA）系统，以便在旧金山州立大学现场使用。我们感谢我们的理论合作者、高维光子带隙（HD PBG）材料的发明者 Marian Florescu、Paul M. Steinhardt 和 Sal Torquato，他们参与了多次讨论，并为我们提供了高维点阵模式的设计以及持续不断的深入交流。

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材料

本文使用的材料清单
姓名公司目录编号评论
光固化成型机3D SystemsSLA-7000
基座用树脂3D SystemsAccura 60
氧化铝棒r=2.5 mm，切割至10.0 cm高度
氧化铝片厚度0.38 mm，多种宽度：从1.0 mm到5.3 mm，以0.2 mm为增量
微波发生器Agilent/HP83651B
S参数测试装置Agilent/HP8517B
微波矢量网络分析仪Agilent/HP8510C

参考文献

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