一种计算建模方法研究热疗对肿瘤微环境的影响

间质液压升高 （IFP） 是实体瘤的标志¹。由于肿瘤内静脉受压和淋巴管缺失，液体从高渗透血管渗入间质的液体流出不平衡 ^1,2,3。与肿瘤微环境 （TME） 中其他异常的生物物理参数（包括固体应力和硬度）一起，IFP 升高会破坏全身和局部药物递送的功效 ^4,5,6。实体瘤的间质液压力范围为 5 mmHg（胶质母细胞瘤和黑色素瘤）至 30 mmHg（肾细胞癌），而正常组织为 1-3 mmHg²。高 IFP 负责增加流向肿瘤边缘的液体，并使基质细胞、浸润细胞和其他细胞外成分暴露于剪切应力 ^1,4。机械生物改变维持免疫抑制性 TME，例如，通过增加内皮发芽，支持血管生成、癌细胞迁移和侵袭、转化生长因子β （TGF-β） 表达和基质硬化 ^7,8,9。

几项研究探索了旨在降低 IFP 的基于能量的疗法，包括低强度超声、高强度聚焦超声、脉冲电场和热疗 ^5,10,11。加热到 40-43 °C 的温度范围，称为轻度热疗，已被证明可以增加肿瘤血液灌注，因此可能通过促进间质液的渗入和引流来帮助扩张受压静脉和降低血管压力^11,12。最近的一些研究表明，热疗有可能降低 IFP，从而促进药物或造影剂在肿瘤内的分布^13,14。这些研究还显示，与无治疗对照组相比，体温过高后 T 细胞浸润增加¹³。

体内小动物实验的有希望的结果激发了采用计算方法的进一步研究，以推进对TME内的物理参数如何受到物理干预影响的理解4,15,16,17。计算模型的结果可以补充体内实验研究，以揭示局部加热（或其他外部能源）和IFP背后的因果关系。鉴于使用基于导管和针头的压力传感器测量 IFP 的空间变化存在挑战，这尤其具有指导意义，这些压力传感器通常提供点测量值 ^9,16,18,19。在药物输送的背景下，了解关键的生物物理机制对于定义适当的加热方案以及药物注射的时间窗口以增强有效药物分配的可能性至关重要。就 TME 生物物理特性的变化而言的定量信息，包括但不限于 IFP，也可以为解释对外部刺激的免疫反应（例如，T 细胞浸润）提供见解。

我们提出了一种用于计算建模肿瘤 IFP 曲线热介导变化的协议。具体来说，该协议详细介绍了如何对定制的小动物设备进行建模，以提供射频电流的受控热疗，模拟加热后的瞬态温度曲线，并耦合流体动力学模拟以计算肿瘤IFP响应热疗的时空变化。该模型反映了我们在先前实验研究中在皮下肿瘤模型（McArdle RH7777，ATCC）中使用的实验设置的基本特征²⁰。

图 1 显示了我们实施的计算模型，用于计算被正常组织包围的肿瘤中热诱导的 IFP 变化。对插入肿瘤中的一对皮下注射针进行建模，以 500 kHz 的射频电流进行加热。假设在肿瘤结构域中是一种多孔材料，由两个相组成:固相代表固体细胞外基质，液相代表间质液。在由外部刺激（例如温度升高）引起的压力变化或基质变形的情况下，固体和流体成分会重新排列。这导致间质液通过细胞外固体基质的运动^16,17,21。

根据多孔弹性理论，应力张量 S （Pa）（方程[1]）是描述固体组分体积相对于初始条件变化的弹性项和描述流体组分静水压力引起的应力的多孔项的组合。

（一）

式中，λ、μ（Pa）为Lamé参数，E为应变张量，e为体积应变张量，P_i（Pa）为间隙流体压力（I为单位矩阵）。假设固体分量在多孔弹性应力下处于稳态条件，这意味着应力张量分量是正交的。

图 2 显示了在所描述的多孔弹性模型中实现的数学方程组以及所提出的多物理场模型的各组成部分之间的相互作用。计算模拟的工作流程包括:

电气问题方程。电气问题方程的求解提供了时间平均射频热源Q（焦耳热）。为此，使用麦克斯韦方程的准静态近似法来计算时间平均电场 E （V/m） 的分布（图 2，块 1）。

热问题方程。Pennes生物热方程的解（图2，块2）提供了温度T（°C）的空间和时间变化，这是由于热源（Q）与吸收的电磁能有关，被动加热与组织的热传导（）相关联，以及组织血液灌注的散热器效应（cW_b（T） （T - T_b)).散热器术语近似于在微血管系统中流动的血液与吸收电磁功率的邻近组织之间的热交换。传热方程还包括平流项（），该项描述了由间隙流体通过多孔弹性模型的细胞外基质的运动引起的温度变化。然而，与导致温度变化的其他机制相比，该术语对温度分布的影响可以忽略不计。

流体动力学问题方程。质量守恒方程（图2，块3）与达西定律（图2，块4）相结合，将间隙流体压力 P_i的空间和时间变化作为输出，该变化是由流体的源（）和汇（ ）之间的平衡产生的。质量守恒方程左侧的瞬态压力项 ， 描述了多孔弹性材料中流体和固体成分的重排。这是由间质液压力 P_i 的变化引起的，该变化由血管压力 P_v随温度的变化驱动。

血管压力 （P_v） 和间质液压力 （P_i） 之间的差值是流经细胞外基质的液体的来源。下沉项与淋巴管 （P_L） 和间质间隙 （P_i） 之间的压力差有关。在正常组织中，淋巴管系统的压力（~ -6-0 mmHg）比组织液压力低两倍¹³。这种压差确保了淋巴管将多余的液体从血管壁流出到间质中的功效。对于这里提出的肿瘤模型，我们忽略了淋巴系统的贡献^4,16,22。

公式 （2） 至 （5） 中的数学表达式用于描述组织和组织血液灌注的电导率和热导率的温度依赖性^23,24。两种不同的数学模型用于描述血液在正常和肿瘤组织域中灌注的温度依赖性，分别为^24,25。模型显示，与正常组织中的基线相比，血液灌注随温度增加多达九倍，而在肿瘤域中仅为基线值的两倍左右。对于两种模型，血液灌注的增加都限制在轻度热疗范围内（低于 45 °C）内的温度。值得一提的是，数学表达式，即方程式（4）和（5），并不能完全描述两种不同类型组织中血液灌注的温度依赖性变化的机制。然而，与正常组织相比，它们有助于代表肿瘤微环境通常表征的有限灌注。

（二）

（三）

（四）

（五）

（6）

（7）

在这项研究中，我们使用方程式 （6） 和 （7） 来模拟血管压力作为正常和肿瘤组织模型²⁶ 的血液灌注函数。根据公式（4）和（5），血流率可以表示为血液灌注与血密度之间的比率。血流与血管压力之间的关系在文献³ 中已得到充分确立:血流速率和脉管系统的几何阻力（或电导率， L_p）决定了血管内的压差。血管压力可以表示为温度的函数（公式（6）和（7）），利用这种关系和血液灌注的温度依赖性模型（公式（4）和（5））。

下一节将详细介绍计算工作流程（图2）的实现以及组织模型的温度依赖性特性。 表 1 列出了所有材料属性及其描述和基线值（即在体温下）。有关安装在用于实现此计算协议的计算机上的 COMSOL Multiphysics 的详细信息，请参阅 材料表 。使用 AC/DC 模块对电气问题进行建模;使用传热物理学对生物传热进行建模;流体动力学问题使用数学接口进行建模。

1. 建立双极射频系统模型

1. 设置界面的初步步骤
   1. 启动 COMSOL Multiphysics ，然后单击 Model Wizard。
   2. 选择" 3D "作为 空间维度。
   3. 选择 AC/DC 物理模块 |电场和电流 |电流。
   4. 选择 传热模块 |固体中的传热。
   5. 选择 数学模块 |偏微分方程接口 |系数形式:偏微分方程。
   6. 选择 学习 |与时间相关。单击 "完成"。
   7. 一旦 Comsol 工作空间出现:
      1. 选择 多物理场 |电磁加热。通过此步骤，电磁功率损失密度自动耦合为生物传热方程的热源。
         注意:如果 多物理场 未自动显示，请手动指定 电磁热源 （在 COMSOL 中显示为 体积损失密度）。有关如何添加热源的更多详细信息，请参阅"物理"部分，步骤 2"热问题的设置"。
      2. 从顶部功能区选择"学习" |学习步骤 |频率瞬态。
2. 定义几何图形。从顶部功能区中，选择" 几何图形"，然后:
   1. 使用 表 2 中列出的尺寸定义两个圆锥体。
   2. 将锥体放置在 表 2 中指示的距离处（间隔 d_彼此之间 ）。这两个视锥体将对用于构建双极射频系统的两根皮下注射针进行建模。
   3. 复制前两个圆锥体以模拟针的绝缘性;根据 表 2 中报告的尺寸修改圆锥体的尺寸。
   4. 选择一个圆柱体（高度， h_m 和直径 d_m）来模拟放置在 z = - 9 mm （x = 0， y = 0） 处的大部分肌肉。 表 2 中列出了每个维度的值。
   5. 选择一个圆柱体（高度、 h_s 和直径 d_s）来模拟放置在 z = 4 mm （x = 0， y = 0） 处的薄层皮肤。 表 2 中列出了每个维度的值。
   6. 选择一个球体（直径，_d，t）来模拟放置在z = -0.5 mm（x = 0，y = 0）处的皮下肿瘤。肿瘤的大小列于表2中。
   7. 为了便于在协议的后续步骤中选择几何形状，我们建议采取以下措施:
      1. 从 "几何图形 "功能区中，选择" 虚拟操作"|"形成复合域。
      2. 选择与针的导电部分相关的所有域，以创建复合几何图形。
      3. 重复相同的过程，为针绝缘几何形状创建复合域。
3. 定义生物组织模型的属性。
   注意:以下步骤描述了实现公式 （2）-（7） 描述的数学表达式的过程。
   1. 在 "组件"节点中，右键单击以选择 "定义"。
   2. 在 "函数"下，选择 "分析"。
      1. 指定函数的名称（例如，k_muscle或sigma_muscle），并键入与公式 2 一致的数学表达式。
      2. 指定 温度 （T） 作为 参数。
      3. 指定函数的单位:在电导率的情况下为 S/m。
      4. 重复前面的步骤 1 到 3 以实现方程 3，并相应地修改单位（即， W/（m·K） 表示 热导率）。
      5. 指定参数的单位:K（开尔文）表示温度。在"绘图参数"中，指定函数参数的值范围（即温度）。要遵循此协议，请使用 33-100 °C （306.15-373.15 K） 的范围。
      6. 重复前面的步骤 1 到 5，使用表 1 中列出的标称值（正常组织是指肌肉和皮肤）添加电导率（方程 2）和热导率（方程 3）的温度依赖性函数。
   3. 在 "函数"下，选择 "分段 "以实现公式 （4）-（7）:
      1. 指定函数的名称。
      2. 指定 温度 （T） 作为函数的 参数 。
      3. 键入与公式 （4）-（7） 一致的每个温度区间的数学表达式。
      4. 重复前面的步骤，从1到3，使用 表1中列出的标称值（正常组织是指肌肉和皮肤）为每个组织模型添加血液灌注和血管压力的温度依赖性函数。
4. 为几何体组件指定材料属性。
   1. 从组件节点中，选择"材料"。
   2. 选择 空白材料 ，包括 正常组织、肿瘤组织、血液、PTFE 和 不锈钢。
   3. 启用手动选择，并选择与指定材料对应的几何实体。
      1. 正常组织与建模肌肉和皮肤的几何形状有关。
      2. 肿瘤和血液组织与肿瘤的几何形状有关。
      3. PTFE材料与模拟针绝缘体的几何形状有关。
      4. 不锈钢材料与模拟地面和活动针的锥体几何形状相关联。
   4. 对于与温度相关的电导率和热导率²³，键入所选的函数名称和出现在"定义"节点中的相关参数（即 T）。
   5. 对于不依赖于温度的材料属性，请参阅表 1 中列出的基线值²⁷。
      注意:我们依靠多孔弹性理论来计算压力 16,17,26。以下步骤显示了如何将多孔材料的属性分配给特定域。
   6. 从 "材料"中，选择 "更多材料 |多孔材料。
   7. 右键单击"多孔材料"（Porous Material） 以选择"流体"（Fluid） 和"固体组件"（Solid components）。选择"流体"节点，然后在"流体属性"下，选择"血液"（在前面的步骤中定义）。选择"固体"节点，然后在"固体属性"下，选择"肿瘤"（在前面的步骤中定义）。在 Solid 节点中，指定定义为 θ_S 的体积分数（表 1）。
   8. 启用手动选择，并选择与指定材料对应的几何实体。为了遵循此协议，假设只有肿瘤区域是多孔弹性域。
5. 啮合
   1. 在 "网格节点"下，选择" 大小 "，然后选择预定义的 更精细 的网格。
   2. 在网格节点下添加自由四面体特征。此步骤允许在关键区域获得精细的网格。
      注意:对于该模型，我们将肿瘤的边缘和皮下注射针头模型的远端确定为关键区域。
   3. 选择 感兴趣的几何形状 并自定义 最大 （0.25 mm） 和 最小单元尺寸 ，使最小组件（例如，针尖）至少由四个网格单元（完整网格由 1,487,828 个单元组成）离散化。

2. 物理

1. 电气问题的设置
   注意: 以下步骤提供了有关如何设置参数以计算电场分布的信息（图 2，块 1），该电场分布将提供射频热源 （Q）。
   1. 右键单击 Electric Currents 节点。
   2. 对于图3A中所示的电气边界条件，选择"端子"和"接地"作为边界。
      1. 对于终端，手动选择两根针之一的近端（顶部）。识别出的针头将提供输入电源。
      2. 在"终端"下，选择"电源"，然后根据所需的能源协议指定值。为了遵循该协议，根据初步离体实验²⁰，选择0.5 W用于轻度热疗。
      3. 选择"接地"并手动选择第二根针的近端表面。该针将充当电流返回路径的返回电极。
      4. 在模型的剩余外表面应用 电气绝缘 。
2. 热问题的设置
   注意:以下步骤说明如何在生物传热方程中包含温度依赖的血液灌注函数（公式 4 和 5），以模拟由血流引起的散热器。
   1. 选择 Heat Transfer in Solids 节点 ，并指定 33 °C 作为温度的 初始值 。
   2. 要对血流引起的散热器效应进行建模，请右键单击" 固体中的传热"，添加 "热源 "域，然后选择应考虑散热器效应的几何图形（即 肿瘤 和 正常 组织）。选择 常规来源 |用户定义 ，可以在何处键入散热器的表达式。
   3. 对于 图 3B 中所示的热边界条件，右键单击 Heat Transfer，添加 Heat Flux 作为 边界条件，并指定应用热通量的外表面。选择对 流热通量 作为 通量类型。对于 传热系数，使用 h = 15 W/（m² ·K） 模拟皮肤与空气之间自然热交换的机制²⁸.指定 外部温度。使用 T = 20 °C 对实验室环境中的环境温度进行建模。
3. 流体动力学问题的设置
   注意:以下步骤描述了如何实现 中所示的质量守恒方程 图2 （第 3 块）以及它如何与温度变化联系起来。
   1. 选择"系数形式偏微分方程"节点，并指定"压力"作为因变量。在此阶段，将自动分配单位 Pascal （Pa）。
      注意:计算出模拟结果后，可以使用所选的单位显示和/或导出结果。为了与文献保持一致，我们使用mmHg单位呈现结果（参见代表性结果部分）。
   2. 将 流体电导单位 1/s 指定为 源项量。
   3. 定义名称以标识变量（Pi，本研究中 的间质液压力 ）。
   4. 右键单击" 系数形式偏微分方程"节点 ，然后选择" 系数形式 "域。指定方程式所引用的 几何实体 （肿瘤）。重复相同的步骤，并选择将应用不同偏微分方程的剩余组织（正常组织）。
   5. 对于肿瘤模型，指定以下系数和项以获得质量守恒方程（图2，块3）:肿瘤的扩散系数K_i（表1）;阻尼系数 );源术语 .对于肿瘤模型，忽略了淋巴系统的贡献。将所有其他系数设置为零。
   6. 对于正常组织模型，指定以下系数和项以获得质量守恒方程（图 2 块 3）:正常组织的扩散系数 K_i （表 1）;阻尼系数 ;源术语 .要将正常组织视为正常功能组织，请考虑淋巴系统的贡献。将所有其他系数设置为零。
   7. 为了建立与电磁-热模拟的联系，将 血管压力 P_v 表示为 温度 的函数（通过血液灌注变量，参见公式 6 和公式 7）。
   8. 右键单击"系数形式偏微分方程"，然后选择"初始值"。选择几何结构域（肿瘤），并对正常组织模型（正常组织）重复相同的步骤。根据表 1 中列出的值，为肿瘤和正常组织指定 P_i0。
   9. 对于与流体动力学研究相关的 边界条件 （ 如图 3C 所示），右键单击系数 形式偏微分方程 ，然后选择 狄利克雷边界条件。选择正常组织结构域的外表面，并分配与正常组织对应的 P_i0值（表1）。

3. 运行模拟并显示结果

注意:作为计算前的最后一步，请指定 时间 （模拟过程的持续时间）和 操作频率:

1. 从"研究"节点中选择"频率瞬态"。
   1. 指定 时间单位。
   2. 从 输出时间中，选择 范围 （ 右侧）并指定 0 秒 作为 开始， 5 秒 作为 步长， 900 秒 作为 停止。
   3. 将 频率 设置为 500e3 Hz。
2. 选择" 计算 "以运行模拟。
3. 要可视化结果，请在节点"结果"下选择"数据集"。
   1. 右键单击以选择一个 切割平面 以定义用于可视化 2D 分布的平面（例如，y = 0 处的 zx 平面）。
   2. 右键单击以在 3D 体积中选择一个 切割点 ，以显示参数随时间的变化。
4. 从顶部功能区上的 "结果" 中，
   1. 选择 2D 绘图组 以可视化变量（例如 温度）在上述步骤中确定的其中一个平面上的二维分布。
   2. 选择 1D 绘图组 以可视化上述步骤中确定的点或多个点的一维结果（例如，时间范围内的压力）。
      注意:使用此协议中描述的设置运行模拟的时间约为2.5小时。

肿瘤内高间质液压的均匀分布和外周处降至正常值 （0-3 mmHg） 是 TME 的标志。 图 4 和 图 5 显示了温度 （A）、间隙流体压力 （B） 和流体速度 （C） 的初始条件 （t = 0 min）。在开始加热之前，当初始温度为 33 °C 时，肿瘤内的间质液压力值约为 9 mmHg，并且在外周降至 3 mmHg。这些值是在 体内 实验期间测量的（中心温度降至 37 °C 以下通常是麻醉19 的影响）。

肿瘤核心和外周之间的压力梯度会影响流体速度（图4C和图5C）。达西定律通过间隙渗透率项 （Ki） 描述了间隙流体压力与流体速度之间的比例关系。在加热之前，肿瘤内的流体速度约为 0 μm/s，当接近肿瘤周边时，流体速度突然增加到 0.5 μm/s。该模型计算的间隙流体速度值范围在文献报道的范围内，即 0.1-10 （μm/s）16,21,29。将流体压力和速度的初始条件转化为肿瘤内注射治疗剂的背景下，朝向肿瘤外围的流体速度的增加可能会迫使药物从肿瘤中逸出。

图4A 和 图5A 显示了在程序结束时（t = 15分钟）由组织模型中吸收的电磁功率（焦耳效应）产生的温度梯度。模拟0.5W的恒定施加功率水平15分钟，超过50%的肿瘤体积（~723mm3）达到轻度高热（40-43°C）范围内的温度。结果还显示，间隙流体压力（图4B 和 图5B）和流体速度（图4C 和 图5C）的空间分布随温度梯度的变化而变化。与初始条件相比，间质液压力从肿瘤中心的 9 mmHg 逐渐降低到边缘的 0 mmHg。整个肿瘤域（包括外周）内的流体速度不超过 0.2 μm/s。

在用0.5W施加的功率模拟加热15分钟后，最靠近针头的肿瘤区域的温度超过45°C（图4A 和 图5A）。数值工作流中使用的数学函数（公式 4 和公式 5）模拟了温度高达 42 °C 时血液灌注的增加，然后在温度超过 43 °C 时迅速下降。 因此，根据我们用于描述血管压力与血液灌注之间关系的数学模型，当温度超过 42 °C 时，血管压力（间质液压力的驱动力）开始增加（方程式 7）。

图 6 更详细地显示了在距热源不同径向距离处，间隙流体压力随时间变化的动态。在距针头 3 毫米范围内，流体压力对温度的快速升高做出反应。在加热结束时，与初始条件相比，该区域的流体压力值没有变化。然而，限制在针头周围区域的不变间质液压力并不能阻止肿瘤模型剩余部分的压力持续降低。总体而言，我们采用的数值建模方法提供了对空间温度分布和加热速率对IFP局部变化之间联系的见解。

图 1:小动物双极射频系统数值模型的几何形状。 活性电极和返回电极放置在肿瘤域中，代表局部介入热疗程序。 请点击这里查看此图的较大版本.

图 2:数值协议的示意图，显示了控制方程和物理场之间的链接参数。利用该参数计算双极皮下注射针射频系统模型加热15 min时电场-E（V/m）、温度-T（°C）和间隙液压力-Pi（mmHg）的空间分布。表1提供了模型中使用的生物物理参数的值和描述。用于计算电场 （E） 的准静态方法（块1）。生物传热方程（块 2）计算温度 （T）。质量守恒方程（块 3）计算间隙流体压力 （Pi）。达西定律（块 4）计算与间质流体压力梯度相关的流体速度 （u），假设肿瘤结构域为多孔弹性材料。请点击这里查看此图的较大版本. 

图 3:计算模型中用于求解电学、热学和流体动力学仿真的边界条件。 （A） 模拟几何形状、有源电极 （Pin） 和返回电极 （0 V） 外表面零电通量的电气边界条件。（B） 热边界条件，模拟肌肉表面的零热通量以及皮肤与静止空气之间的对流效应。（C） 流体-动力学边界条件，模拟除肿瘤以外的所有域中间质流体压力的正常值。 请点击这里查看此图的较大版本.

图 4:在平行于电极的平面中显示的分布。 （A） 温度、（B） 间隙流体压力和 （C） 流体速度，在开始加热（第一线）之前和 15 分钟计算模拟结束时，考虑以 500 kHz 运行的双极射频系统。一根针是 0.5 W 输入功率的来源，另一根针用于闭合电流路径。 请点击这里查看此图的较大版本.

图 5:垂直于电极的平面中显示的分布。 （A） 温度、（B） 间隙流体压力和 （C） 流体速度，在开始加热（第一线）之前和 15 分钟计算模拟结束时，考虑以 500 kHz 运行的双极射频系统。一根针是 0.5 W 输入功率的来源，另一根针用于闭合电流路径。 请点击这里查看此图的较大版本.

图 6:温度分布和相关的瞬态压力变化。 （左）t = 15 分钟时的 2D 热分布。 （右）在从热源到肿瘤模型外围的径向上六个等距点评估长达 15 分钟的时间内的间质液压力。沿径向距离的每个位置对应于左侧面板中可见的不同温度值。 请点击这里查看此图的较大版本.

表 1:数值协议中使用的参数列表，包括描述、标称值和相关参考。 *对于肿瘤，该术语被忽略了，表示淋巴系统的影响。 请按此下载此表格。

表 2:用于系统建模的几何参数和相关值。 将两根皮下注射针放置在类似于实验场景的肿瘤中，分离距离为 5 mm，一个直径为 13 mm 的肿瘤模型、一个肌肉组织和一层薄薄的皮肤。 请按此下载此表格。

作者没有要披露的利益冲突。