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本研究未涉及人类参与者或动物受试者;因此，无需伦理批准和知情同意。该方法采用MATLAB R2014b实现。使用了以下工具箱：用于小波分组分析的Wavelet Toolbox（wpdec和wpcoef）、用于BP神经网络实现的Neural Network Toolbox（feedforwardnet和train）、用于解决EMD计算线性规划问题的Optimization Toolbox（linprog），以及用于KNN分类（fitcknn和predict）的Statistics and Machine Learning Toolbox。EMD是通过线性规划求解运输问题实现的。所有实验均在配备Intel Core i7-10700 CPU（2.90 GHz）和16 GB内存的Windows 10电脑上进行。该方法已通过公开的CWRU轴承数据集（https://engineering.case.edu/bearingdatacenter/download-data-file）进行验证。SKF6205驱动端轴承采用电放电加工（EDM）在三种直径（0.007“、0.014”和0.021“）以及三个位置（内圈、外圈和球）上引入了故障。振动信号在12 kHz采样频率下收集，采用四个电机负载（0–3马力），对应转速为1797–1730转/分钟。每个信号样本包含2048个数据点，采用滑动窗口分割法，步长为598个点（重叠率为70.8%）。
基于KNN的滚轴承故障诊断框架（图1）由七个顺序阶段组成，每个阶段的输出作为下一阶段的输入。在第一阶段，利用三级小波包分解与Daubechies 3（db3）小波基底，从滚轴承振动信号中提取能量特征。在第三分解层级上，八个子能带的归一化能量值被编入特征集 Q = （q1， q2， ...， qm），其中 m = 8为特征维度。归一化是通过求和归一化（相对能量归一化）完成的，定义见 方程66。
图1：所提算法的实现流程图。 流程图展示了所提议的 KNN–MIV–EMD 方法的工作流程，包括振动信号输入、小波包能量特征提取、基于 MIV 的特征加权、基于 EMD 的相似度计算，以及多数投票的最终分类。 请点击此处查看该图的放大版本。
在第二阶段，每个特征的MIV通过BP神经网络计算（单层隐藏层，10个神经元，最大2000次迭代，目标误差1.0×10⁻5，扰动步长δ=每个特征平均值的±10%），定义见方程10–1323）。该网络在隐藏层使用双曲切切S形函数（tansig）作为激活函数θs，输出层采用线性函数（purelin）。该网络通过Levenberg–Marquardt算法（trainlm）进行训练。然后将MIV值赋予该特征的相对重要权重。
在第三阶段，原始振动信号被分割成200个样本，使用包含2048个数据点的滑动窗口，步长为598个点（重叠率为70.8%）。窗口从信号起点依次移动。数据集（Q）被划分为训练集（Qtrain）和测试集（Qtest），采用52/48的拆分比率。对于每个故障条件，随机选取104个样本作为训练集，剩余96个样本作为测试集。分区过程会用不同的随机种子重复10次，并报告平均性能指标以评估统计鲁棒性。这种方法确保结果不依赖于特定的随机划分。由于分割是在分割后且样本层面进行的，训练集和测试集之间没有数据点重叠。
在第四阶段，通过对训练集进行五重交叉验证，选择最优的最近邻K数量。这些折叠是用固定的随机种子随机生成的，并按类别分层以保持类别分布。在范围内
搜索候选 K 值，具体评估 K = 1、3、5、7 和 9。选出在五个重叠中实现最高平均分类准确率的K值作为最优值。在本研究中，最优K被确定为3。
在第五阶段，通过整合特征重要性权重（来自MIV）和分布差异（来自EMD）来增强相似度量。每个样本表示为一个8维归一化能量特征矢量，通过和归一化获得（定义见 方程4–76）。传统的KNN分类器使用欧几里得距离来衡量样本间的相似性;然而，这种方法被扩展以更好地捕捉特征分布的差异。EMD测量特征分布之间的距离，特别适合分析通过小波包分解获得的轴承振动信号的能量分布。在EMD计算前不施加额外的归一化。EMD中使用的基地距离是特征分量之间的欧几里得距离。在测量多个分布之间的距离时，EMD不受分布位置差异的影响，结合KNN决策规则，能够有效比较提取的能量特征，并提升分类。
方程1–3是本研究中提出的新表述。方程4–7和8–26代表各自领域中的标准表述。对于测试样本（I）和训练样本（Q列），包含MIV的加权欧几里得距离定义为方程1，其中m = 8为特征维度，wi为第i个特征的归一化MIV权重，Q检验 i和Q列，i 为测试和训练样本的第i个特征值， 分别。
(1)
基于EMD的分布距离定义在 方程2中，其中使用了测试（Htest）和训练（Htrain）样本的特征分布。EMD衡量将一种配电转换为另一种配电所需的最低成本。
(2)
将两者组成的最终增强距离定义为 方程3，其中 λ 是一个平衡参数，控制基于EMD的分布距离的贡献。在本研究 中，λ 基于经验调优被设置为0.5，以实现最佳分类性能。 λ = 0.5 的值是通过在 [0， 1] 范围内的验证集上进行网格搜索，步长为 0.1，并选出了实现最高分类精度的值作为最优值。最优 λ 可能是数据集特定的;对于其他数据集，我们建议通过对训练数据的交叉验证重新调整λ。
(3)
在第6阶段，所有训练样本根据其与测试样本的增强距离排序，该距离包含基于MIV的特征重要性权重和基于EMD的分布指标。然后选择顶部 K =3个样本作为最近邻。
在第7阶段，多数投票规则在 K =3个最近邻之间应用，以确定每个测试样本的最终类别标签。
小波包分析与能量提取
小波包分解基于小波变换，但比传统小波分解更为精细。小波包分解的一个显著特点是能够通过分解低频和高频成分，进行更均衡且完整的时频分析，这与传统小波分解仅精炼低频部分5不同。与小波分解的固定分辨率特性不同，这种方法实现了更平衡的表示，缓解了信号带宽中时间和频率定位之间的典型妥协。
在多分辨率过程中，小波包分解被视为函数空间6的逐步正交分解。小波包分解公式见方程46：
(4)
在该表述中，变量 （
， 
， 和 
） 对应于小波包分解得到的系数，而符号 （hk-2l [低通] 和 gk-2l [高通]）表示分解过程中核心的滤波系数。
在本研究中，db3小波因其紧凑的支撑性和正交性，被选为小波基函数，非常适合从振动信号中提取瞬态特征。对原始振动信号进行三级小波包分解，在第三级分解层级产生23 =8子带。
与标准小波变换相比，小波包变换实现了更细粒度的信号分解。通过将原始信号分解到指定尺度，它分离出感兴趣的频带，并提取其能量分布作为有效特征。小波包变换将信号分解为子频带，其能量分布描述了原始信号的频率内容，而这个衍生的能量特征矢量作为信号分类的稳健基础。
信号的特征矢量定义为通过其j层小波包分解得到的2个j频带上的归一化能量分布，其中总信号能量被划分为这些正交子带。第 j 个分解层第 k 个频带中包含的能量由方程 56 表示，归一化的能量特征如方程 6 6 所示得到。
(5)
(6)
按照该程序，对于每个振动信号样品，构造一个能量特征矢量，定义如下方 程76：
(7)
KNN–MIV–EMD 实施诊断过程执行
在监督式KNN算法中，新实例的分类 由其K 个最相似训练样本中的复数类决定，该样本通过预定义的距离度量来衡量。因此，分类结果依赖于选择 K 和相似性计算的性质。这一简单而有效的原理支撑了其在多种分类领域的广泛应用。
KNN算法的工作流程概述如下。首先，通过计算测试样本与每个训练实例之间的欧几里得距离，从训练样本中确定 k-最近邻，定义在 方程824中。
(8)
在此符号中，变量 x（i）和 x（j）分别对应训练样本和测试样本。
接下来，基于 k 个最近邻估计该检验样本的类概率分布。这里，k 代表最近邻的数量，而这些 k 个邻居中属于特定类 a（a = 1,2,...,c）的数量用于计算测试样本属于该类 a 的概率 P（a），定义在方程 924 中。其中 c 表示数据集中的类总数。
(9)
最后，故障诊断通过使用 方程8识别k最近邻，根据 方程9统计计数，按降序排序，并将计数最高的类别指定为测试样本的故障类别。
MIV基于BP神经网络结构，用于反映每个变量相对于输出的重要性权重。BP神经网络是一个前馈网络，具有典型的三层拓扑结构，包括输入层、隐藏层和输出层。它会向后传播错误，并反复调整神经元权重以实现自我学习。
设 X 为包含 L 组的样本数据集，定义于 方程1023 和 方程1123：
设 X 为包含 L 组的样本数据集：
(10)
(11)
这里，x（k） 表示在时间 k 处的采样数据，xi 是 x（k） 的第 i 个分量，其中 k = 1， 2， ...， L，i = 1， 2， ...， n。
BP神经网络的工作原理如下。输入样本 x（k）首先通过连接权重 ωT 加权，并传播到隐藏层，生成隐藏层的输入数据 si ，定义见 方程1223，激活函数（θ）控制变换。
(12)
网络输出随后得到，定义如下方 程1323：
(13)
其中 ωj = [ω1j， ω2j,...,ωnj] 表示输入权重向量， β 表示输出权重向量， j = 1， 2， ...， n。在本研究中，单层隐藏为10个神经元，最大迭代次数为2000，最小预期目标误差为1.0×10⁻⁻5。
当对输入层与隐藏层之间的权重施加小扰动（Δωij）时，该扰动传播到隐藏层输出（Sj），导致变化，最终导致网络输出发生变化（ΔSj）。对应的权重（ωij 和 ωjk）通过 BP 更新，损失函数定义在 方程 1423 中。
(14)
为了增强故障特征集 
，样本数据中的每个特征变量分别对小的正负扰动，定义见 方程1523 和方 程1623。
(15)
(16)
在此表述中， L 和 n 分别代表故障特征因子和样本组的数量。在本研究中，扰动步长设置为每个特征平均值的δ = ±10%，这是基于MIV的特征重要性分析中常用的设置。因此，神经网络拟合输出如 方程1723 和 方程1823所定义。
(17)
(18)
如果 
，如 方程1923所示，相应的输出代表被扰动样本集的结果。
(19)
这里，
和 
分别代表样本集
和 
的输出结果。每个断层特征变量对断层类型的撞击程度如方程20和23所定义。
(20)
通过对观测数的平均影响值，计算出最终输出故障类型上每个故障特征的平均影响值，定义如下方程21和23。
(21)
EMD是衡量两种分布相似度的指标。设 
表示源分布， 表示 
目标分布，其中 gi 和 hj 分别是源分布中第 i 个和 第 j 个簇的位置（或特征向量）。 ωgi 是位置 gj 的概率质量（权重），满足 
。 ωhj 是位置 hj 处的概率质量（权重），满足 
。 m 和 n 分别是源分布和目标分布中的聚类数量。
G和H之间的EMD定义为将源分布转换为目标分布所需的最小成本，如方程227所示：
(22)
这里，最优流动（fij）受方 程23–267定义的约束条件约束：
(23)
(24)
(25)
(26)
这里， fij 是从源分布第 i个簇到目标分布第 j个簇的流量（质量运输量）。其维数为 m × n。 dij 是 gi 与 hj 之间的基地距离，通常定义为欧几里得距离： 
。其维数也是 m × n。第一个约束确保流量非负，第二和第三个约束确保每个源集群进入目标集群的总流量不超过可用质量，第四个约束确保总流量等于总质量，归一化分布为1。
实际上，EMD是通过线性规划方法（例如单纯形算法）解决运输问题来确定最小化总运输成本的最优流量（fij）。所得的EMD值代表将一个分布转换为另一个分布所需的最低成本，并作为比较拟议故障诊断方法特征分布的稳健相似度指标。
