7.7: Die de Broglie-Wellenlänge

In der makroskopischen Welt folgen Objekte, welche groß genug sind um noch mit bloßem Auge gesehen zu werden, den Regeln der klassischen Physik. Eine Billardkugel, die sich auf einem Tisch bewegt, verhält sich wie ein Teilchen; Es bewegt sich geradlinig weiter es sei denn, es kollidiert mit einer anderen Kugel oder es wirkt eine andere Kraft, beispielsweise Reibung auf ihn ein. Der Ball hat eine genau definierte Position und Geschwindigkeit oder einen genau definierten Impuls, p = mv, der durch die Masse m und die Geschwindigkeit v zu jedem gegebenen Zeitpunkt definiert wird. Dies ist das typische Verhalten eines klassischen Objekts.

Wenn Wellen miteinander interagieren zeigen sie Interferenzmuster, die bei makroskopischen Teilchen wie die Billardkugel nicht beobachtet werden. In den 1920er Jahren wurde jedoch immer deutlicher, dass für sehr kleine Materiestücke andere Regeln gelten als für große Objekte. In der mikroskopischen Welt sind Wellen und Teilchen untrennbar miteinander verbunden.

Einer der ersten Menschen, der auf das besondere Verhalten der mikroskopischen Welt aufmerksam machte war Louis de Broglie. Er stellte die Frage ob, wenn elektromagnetische Strahlung teilchenähnlichen Charakter haben kann, Elektronen und andere submikroskopische Teilchen wellenförmigen Charakter aufweisen können? De Broglie erweiterte den Welle-Teilchen-Dualismus des Lichts, den Einstein zur Lösung des Paradoxons des photoelektrischen Effekts verwendete, auf materielle Teilchen. Er sagte voraus, dass ein Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit v (d. h. mit linearem Impuls p) auch das Verhalten einer Welle mit einem Wellenlängenwert λ zeigen sollte, gegeben durch folgenden Ausdruck, in dem h das Plancksche Wirkungsquantum darstellt:

Dies wird als De-Broglie-Wellenlänge bezeichnet. Während Bohr postuliert hatte, dass das Elektron ein Teilchen sei, das den Kern auf quantisierten Bahnen umkreise, argumentierte de Broglie, dass Bohrs Annahme der Quantisierung erklärt werden könne, wenn das Elektron stattdessen als kreisförmige stehende Welle betrachtet werde. Nur eine ganze Zahl von Wellenlängen könnte genau in die Umlaufbahn passen.

Betrachtet man ein Elektron als Welle die um den Kern kreist, muss eine ganze Zahl von Wellenlängen in die Umlaufbahn passen, damit das Verhalten einer stehenden Welle möglich ist.

Für eine kreisförmige Umlaufbahn mit dem Radius r beträgt der Umfang 2πr, und daher lautet die Bedingung von de Broglie:

wobei n = 1, 2, 3 usw. Kurz nachdem de Broglie die Wellennatur der Materie vorgeschlagen hatte, zeigten zwei Wissenschaftler der Bell Laboratories, C. J. Davisson und L. H. Germer, experimentell, dass Elektronen wellenartiges Verhalten zeigen könnten. Dies wurde demonstriert, indem ein Elektronenstrahl auf einen Nickelkristall gerichtet wurde. Der Abstand der Atome innerhalb des Gitters entsprach ungefähr den De-Broglie-Wellenlängen der darauf gerichteten Elektronen, und die Abstände der Atomschichten des Kristalls dienten als „Schlitze“, wie bereits in anderen Interferenzexperimenten verwendet.

Nachdem nur wenige Elektronen den Schlitz passierten, wurde ein scheinbar teilchenartiges Verhalten beobachtet. Als jedoch immer mehr Elektronen aufgezeichnet werden konnten, entstand ein deutliches Interferenzmuster, welches als Anzeichen von wellenförmigen Verhaltens verstanden werden kann. Es scheint also, dass Elektronen zwar kleine lokalisierte Teilchen sind, ihre Bewegung jedoch nicht strikt den Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik folgt. Stattdessen wird ihre Bewegung durch eine Wellengleichung bestimmt. Somit ist der erstmals bei Photonen beobachtete Welle-Teilchen-Dualismus ein grundlegendes Verhalten das allen Quantenteilchen innewohnt.

Dieser Text wurde angepasst von Openstax, Chemistry 2e, Section 6.3: Development of Quantum Theory.

Wenn Elektronen Teilchen sind, dann wird wenn ein Elektronenstrahl durch zwei eng beieinander liegende Schlitze verläuft erwartet, dass zwei kleinere Elektronenstrahlen auftauchen und zwei helle Streifen mit Dunkelheit dazwischen erzeugen. Am Anfang erscheinen mit nur wenigen Elektronen lokalisierte Flecken zufällig auf dem Bildschirm. Dies deutet auf teilchenhaftes Verhalten hin.

Da jedoch immer mehr Elektronen durch die Schlitze durchgehen, taucht ein Interferenzmuster das Markenzeichen des wellenartigen Verhaltens auf. Wie ist das möglich? Erinnern Sie sich, dass das Bohr-Modell postuliert, dass das Elektron ein Teilchen ist, welches den Kern umkreist.

Der französische Physiker Louis de Broglie postuliert, dass das Elektron Welleneigenschaften aufweisen kann. Er postuliert, dass sich das Elektron wie eine kreisförmig stehende Welle mit einer Wellenlänge, Lambda, verhält. Der Umfang jeder Umlaufbahn enthält eine ganze Zahl der Wellenlängen.

Bestimmte Punkte auf der Welle haben keine Amplitude dies sind Knoten. De Broglie postulierte die folgende Beziehung, in der die Wellenlänge des Elektrons von seiner Masse und Geschwindigkeit abhängt, wobei h die Planck'sche Konstante ist. Je größer die Geschwindigkeit des Elektrons ist, desto kürzer ist seine Wellenlänge.

Die De Broglie-Hypothese bezieht sich auf alle Materien, und diese Wellen werden Materiewellen"genannt. Allerdings große, makroskopische Objekte, wie zum Beispiel ein Golfball, erscheinen nicht als Wellen. Wenn wir die de Broglie-Beziehung anwenden, und der winzige Wert der Planck'schen Konstante durch die Masse und Geschwindigkeit des Golfballs geteilt wird zeigt es eine extrem kleine Wellenlänge, die zu klein ist, um beobachtet zu werden.

Jedoch für subatomare Teilchen mit extrem kleinen Massen wie Elektronen kann ihre Wellennatur nicht ignoriert werden. Wenn Röntgenstrahlen einen Kristall durchdringen, werden die Wellen gebeugt, und ein ausgeprägtes Interferenzmuster, die die Anordnung der Atome im Kristall zeigt, wird beobachtet. Dies ist die als Röntgendiffraktometrie bekannte Labortechnik.

Wenn ein ähnliches Experiment wo das Passieren von Elektronen anstatt durch den Kristall, durch Röntgenstrahlen durchgeführt wird, wird ein ähnliches Verhalten beobachtet. Dies ist ein experimenteller Beweis dafür, dass Elektronen Teilchen sind, die ein wellenförmiges Verhalten zeigen.