6.6: Erwartungswert

Expected Value
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Expected Value
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01:15 min
April 30, 2023

Overview

Der Erwartungswert wird als “langfristiger” Durchschnitt oder Mittelwert bezeichnet. Das bedeutet, dass man auf lange Sicht des wiederholten Experimentierens diesen Durchschnitt erwarten würde. Der erwartete Durchschnitt wird durch das Symbol μ dargestellt. Er wird wie folgt berechnet:

Gleichung1

In der Gleichung ist x ein Ereignis und P(x) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Der Erwartungswert hat praktische Anwendungen in der Entscheidungstheorie.

Dieser Text wurde übernommen von Openstax, Einführende Statistik, Abschnitt 4.2 Mittelwert oder Erwartungswert und Standardabweichung.

Transcript

Betrachten Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Sie erhalten, indem Sie einen Würfel hundertmal würfeln. Der Mittelwert wird anhand seiner Formel berechnet.

Wenn n zunimmt, schwankt der Mittelwert, aber wie in diesem Diagramm des Mittelwerts gegenüber der Anzahl der Versuche zu sehen ist, nähert sich der Mittelwert mit zunehmender Anzahl der Versuche allmählich einem konstanten Wert.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist der Mittelwert, wenn die Stichprobengröße bis ins Unendliche anwächst. In einfachen Worten handelt es sich um den langfristigen Durchschnitt der Ergebnisse.

Die Formel ähnelt also der des Mittelwerts.

Das Konzept des Erwartungswerts ist in der Entscheidungstheorie nützlich. Wenn man beim Roulette zehn Dollar auf die Zahl 8 setzt, gibt es 37 von 38 Chancen zu verlieren und eine von 38 Gewinnchancen.

Wenn das Gewinngeld auf dem Tisch 360 Dollar beträgt, beträgt der Nettogewinn bei diesem kleinen Zufallsereignis 350 Dollar.

Das Produkt der Zufallsvariablen mit ihrer Wahrscheinlichkeit wird summiert, um den Erwartungswert zu erhalten.

Diese Zahl sagt uns, dass man damit rechnen kann, 53 Cent für jeden Zehn-Dollar-Einsatz zu verlieren.

Key Terms and definitions​

  • Expected Value - The long-term average or 'mean' outcome in a random experiment.
  • Expected Valuation - Monetary value expectation based on statistical analysis.
  • Event - A specific outcome or combination of outcomes in a random experiment.
  • Probability of the Event - The chance that a specific outcome will occur.
  • Decision Theory - Framework for making choices in complex, uncertain scenarios.

Learning Objectives

  • Define Expected Value – Explain what it is (e.g., expected value).
  • Contrast Mean vs Expected Value – Explain key differences (e.g., 7.2k views means).
  • Explore Examples – Describe scenario (e.g., expected value of a probability distribution).
  • Explain Calculation Process – Describe formula for expected value calculation.
  • Apply in Context – Discuss relevance in decision theory and statistics.

Questions that this video will help you answer

  • What is the keyword and how to calculate it (include probability calculations)?
  • What are the practical applications of expected value?
  • What is the difference between mean and expected value?

This video is also useful for

  • Students – Gain a concrete understanding of expected value and its calculation.
  • Educators – Provides a clear framework for teaching expected value and its statistical uses.
  • Researchers – Helps in statistical analysis and event prediction in research.
  • Science Enthusiasts – Offers insights into probabilities and its numerical representation.