6.9: Gleichverteilung

Die Gleichverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ereignissen mit gleicher Eintrittswahrscheinlichkeit. Diese Verteilung ist rechteckig.

Zwei wesentliche Eigenschaften dieser Verteilung sind

1. Die Fläche unter der rechteckigen Form ist gleich 1.
2. Es besteht eine Entsprechung zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der Fläche unter der Kurve.

Ferner können der Mittelwert und die Standardabweichung der Gleichverteilung berechnet werden, wenn der untere und obere Grenzwert, der als a bzw. b bezeichnet wird, angegeben werden. Für eine Zufallsvariable x wird in einer Gleichverteilung bei a und b die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) berechnet wie folgt

Betrachten Sie Daten von 55 Lächelnszeiten in Sekunden eines acht Wochen alten Babys:

10.4, 19.6, 18.8, 13.9, 17.8, 16.8, 21.6, 17.9, 12.5, 11.1, 4.9, 12.8, 14.8, 22.8, 20.0, 15.9, 16.3, 13.4, 17.1, 14.5, 19.0, 22.8, 1.3, 0.7, 8.9, 11.9, 10.9, 7.3, 5.9, 3.7, 17.9, 19.2, 9.8, 5.8, 6.9, 2.6, 5.8, 21.7, 11.8, 3.4, 2.1, 4.5, 6.3, 10.7, 8.9, 9.4, 7.6, 10.0, 3.3, 6.7, 7.8, 11.6, 13.8 und 18.6. Nehmen wir an, dass die Lächelnzeiten einer gleichmäßigen Verteilung zwischen null und 23 Sekunden folgen. Beachten Sie, dass Null und 23 die unteren und oberen Grenzwerte für die gleichmäßige Verteilung der Lächelnzeiten sind.

Da es sich bei der Verteilung der Lächelnzeiten um eine gleichmäßige Verteilung handelt, kann man sagen, dass jede Lächelnzeit von null bis einschließlich 23 Sekunden die gleiche Wahrscheinlichkeit des Auftretens hat. Ein Histogramm, das aus der Stichprobe konstruiert werden kann, ist eine empirische Verteilung, die der theoretischen Gleichverteilung sehr nahe kommt.

In diesem Beispiel die Zufallsvariable x = Länge des Lächelns eines acht Wochen alten Babys in Sekunden. Die Notation für die Gleichverteilung ist x ~ U(a, b), wobei a = der niedrigste Wert (unterer Grenzwert) von x und b = der höchste Wert (oberer Grenzwert) von x ist. In diesem Beispiel ist a = 0 und b = 23.

Der Mittelwert μ wird anhand der folgenden Gleichung berechnet:

Der Mittelwert für diese Verteilung beträgt 11,50 Sekunden. Das Lächeln eines acht Wochen alten Babys dauert durchschnittlich 11,50 Sekunden.

Die Standardabweichung σ wird nach folgender Formel berechnet:

Die Standardabweichung für dieses Beispiel beträgt 6,64 Sekunden.

Dieser Text wurde angepasst von Openstax, Einführende Statistik, Abschnitt 5.2 Die gleichmäßige Verteilung