6.14: Zentraler Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz, abgekürzt als clt, ist eine der mächtigsten und nützlichsten Ideen in der gesamten Statistik. Der zentrale Grenzwertsatz für Stichprobenmittelwerte besagt, dass, wenn Sie wiederholt Stichproben einer gegebenen Größe ziehen und ihre Mittelwerte berechnen und ein Histogramm dieser Mittelwerte erstellen, das resultierende Histogramm tendenziell eine ungefähre normale Glockenform hat. Mit anderen Worten: Mit zunehmender Stichprobengröße folgt die Verteilung der Mittelwerte immer mehr der Normalverteilung.

Der Stichprobenumfang n, der “groß genug” sein muss, hängt von der ursprünglichen Grundgesamtheit ab, aus der die Stichproben gezogen werden (der Stichprobenumfang sollte mindestens 30 betragen, oder die Daten sollten aus einer Normalverteilung stammen). Wenn die ursprüngliche Grundgesamtheit weit vom Normalwert entfernt ist, sind weitere Beobachtungen erforderlich, damit die Mittelwerte oder Summen der Stichprobe normal sind. Die Probenahme erfolgt mit Austausch.

Es wäre schwierig, die Bedeutung des zentralen Grenzwertsatzes in der statistischen Theorie zu überschätzen. Zu wissen, dass sich Daten, auch wenn ihre Verteilung nicht normal ist, vorhersehbar verhalten, ist ein mächtiges Werkzeug.

Die Normalverteilung hat den gleichen Mittelwert wie die ursprüngliche Verteilung und die Varianz, die der ursprünglichen Varianz dividiert durch den Stichprobenumfang entspricht. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, sodass die Standardabweichung der Stichprobenverteilung die Standardabweichung der ursprünglichen Verteilung dividiert durch die Quadratwurzel von n ist. Die Variable n ist die Anzahl der Werte, die zusammen gemittelt werden, nicht die Häufigkeit, mit der das Experiment durchgeführt wird.

Dieser Text wurde angepasst von Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem.

Dieser Text wurde übernommen von Openstax, Einführende Statistik, Abschnitt 7.1 Zentraler Grenzwertsatz für Stichprobenmittelwerte (Durchschnitte).