9.10: Überprüfung einer Behauptung über den Populationsanteil

Hier wird ein vollständiges Verfahren zur Überprüfung einer Behauptung über den Populationsanteil bereitgestellt.

Es gibt zwei Methoden zur Überprüfung einer Behauptung über den Populationsanteil: (1) Verwendung des Stichprobenanteils aus den Daten, bei dem eine binomiale Verteilung durch eine Normalverteilung angenähert wird, und (2) Verwendung der aus den Daten berechneten binomialen Wahrscheinlichkeiten.

Die erste Methode verwendet die Normalverteilung als Näherung an die binomiale Verteilung. Die Anforderungen sind wie folgt: Die Stichprobengröße ist groß genug, die Wahrscheinlichkeit des Anteils p liegt nahe bei 0,5, das Produkt np (Produkt aus Stichprobengröße und Anteil) ist größer als 5, und die kritischen Werte können mit der z-Verteilung berechnet werden. Es wird auch verlangt, dass die Stichproben zufällig und unvoreingenommen sind und die Art der Daten binomial ist, d.h., es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse (z. B. Erfolg oder Misserfolg; ausgewählt oder nicht ausgewählt, wahr oder falsch usw.). Ein Anteil ist von Natur aus binomial. Daher eignet sich diese Methode gut, um eine Behauptung mit einem Hypothesentest für den Populationsanteil zu überprüfen.

Als erster Schritt werden die Hypothesen (Nullhypothese und Alternativhypothese) klar formuliert und symbolisch ausgedrückt. Der Anteil p, der in den Hypothesenaussagen verwendet wird, ist der angenommene Anteilswert, oft 0,5. Der aus den Daten erhaltene Anteil ist der Stichprobenanteil. Beide Werte sind entscheidend für die Berechnung der z-Statistik.

Der kritische Wert kann dann aus der z-Verteilung unter Verwendung der Normalapproximation der binomialen Verteilung erhalten werden. Der kritische Wert kann je nach Hypothesenrichtung positiv oder negativ sein; dementsprechend ist der Hypothesentest rechtsseitig, linksseitig oder zweiseitig. Der kritische Wert wird auf einem beliebigen gewünschten Konfidenzniveau berechnet, meistens bei 95 % oder 99 %.

Der P-Wert wird dann direkt unter Verwendung der z-Statistik und des kritischen z-Werts berechnet, und der Hypothesentest wird abgeschlossen. Die z-Statistik kann auch direkt mit dem kritischen Wert verglichen werden, um den Hypothesentest abzuschließen.

Die zweite Methode zur Überprüfung der Behauptung über den Anteil erfordert nicht, dass np > 5 ist, da sie die exakte binomiale Verteilung ohne Normalapproximation verwendet. Diese Methode berechnet keinen kritischen Wert. Stattdessen verwendet sie die Wahrscheinlichkeiten, x (die Anzahl der Erfolge aus der Gesamtzahl der Versuche, z. B. 60 Erfolge aus 110 Versuchen) in den n Versuchen zu erhalten. Es werden die Wahrscheinlichkeiten für x oder weniger und x oder mehr berechnet, was zu den P-Werten führt. Diese zweite Methode zur Überprüfung einer Behauptung über den Anteil ist manuell mühsam durchzuführen und erfordert statistische Software. Dennoch sind die Schlussfolgerungen, die auf beide Arten ermittelt werden, gleich genau.

In den natürlichen Populationen der trinidadischen Guppys wählen die Weibchen die Männchen mit der orangefarbenen Färbung für die Paarung aus.

Um festzustellen, ob Guppy-Populationen in einem Aquarium das gleiche Verhalten zeigen, wird ein Experiment durchgeführt, bei dem 12 Weibchen einzeln mit drei orangefarbenen Männchen und drei blauen Männchen gleichzeitig zusammengebracht werden.

Ursprünglich wird behauptet, dass die Weibchen die orangefarbenen Männchen wählen.

Die Nullhypothese würde also besagen, dass eine gleiche Anzahl von Frauen eine Präferenz für orangefarbene und blaue Männer zeigen würde. Die alternative Hypothese ist, dass eine höhere Anzahl von Weibchen die orangefarbenen Männchen bevorzugen würde.

Das Experiment zeigt, dass zehn von zwölf Weibchen die orangefarbenen Männchen bevorzugten.

Dieses Verhältnis liefert den Stichprobenanteil – 0,83 –, der verwendet wird, um die Teststatistik wie folgt zu erhalten.

Es wird beobachtet, dass diese Teststatistik bei einem Signifikanzniveau von 0,05 in den kritischen Bereich fällt.

Außerdem beträgt der P-Wert aus dieser z-Statistik 0,011.

Daraus können wir schließen, dass die Aquarienpopulation von Guppys die gleiche Paarungspräferenz zeigt wie die natürliche Population.