10.4: Einfaktorielle ANOVA: Ungleiche Stichprobengrößen

Eine einfache ANOVA kann an drei oder mehr Stichproben unterschiedlicher Größe durchgeführt werden. Allerdings werden Berechnungen kompliziert, wenn die Stichprobengrößen nicht immer gleich sind. Bei der Durchführung einer ANOVA mit ungleicher Stichprobengröße wird also die folgende Gleichung verwendet:

In der Gleichung ist n die Stichprobengröße, ͞x der Stichprobenmittelwert, x̿ der kombinierte Mittelwert für alle Beobachtungen, k die Anzahl der Stichproben und s² die Varianz der Stichprobe. Es ist zu beachten, dass der Index „i“ eine bestimmte Stichprobe in einem Datensatz darstellt.

Beachten Sie, dass sowohl die Varianzschätzungen, die Varianz zwischen Stichproben als auch die Varianz innerhalb der Stichproben gewichtet werden, da sie zur Berechnung der F-Statistik dieselbe Größe verwenden. Mit anderen Worten, die unterschiedlichen Stichprobengrößen im Datensatz wirken sich auf die beiden Varianzschätzungen aus – die Varianz zwischen Stichproben und die Varianz innerhalb der Stichproben – und wirken sich letztendlich auf den Wert der F-Statistik aus.

Erwägen Sie, einen unidirektionalen ANOVA-Test für ein Dataset mit der Körpergröße von Schülern aus drei Stichproben mit ungleichen Stichprobengrößen durchzuführen.

Die Nullhypothese besagt, dass die mittleren Höhen der drei Stichproben gleich sind, und die alternative Hypothese ist, dass mindestens eine der mittleren Höhen unterschiedlich ist.

Berechnen Sie die F-Statistik anhand des Verhältnisses der Varianz zwischen Stichproben und der Varianz innerhalb von Stichproben. Dabei ist x̿ der kombinierte Mittelwert aller Beobachtungen, ͞x_i ist der Mittelwert der ^i-ten Stichprobe, n_i ist die Größe der ^i-ten Stichprobe, k ist die Anzahl der Stichproben und s_i² ist die Varianz der ^i-ten Stichprobe.

Beachten Sie, dass beide Varianzschätzungen gewichtet werden, da sie die Stichprobengröße berücksichtigen, um die F-Statistik zu berechnen.

Aus dem p-Wert leiten wir ab, dass mindestens eine der mittleren Höhen aus den drei Stichproben unterschiedlich ist. Und daher wird die Nullhypothese verworfen.

Um zu bestimmen, welche mittlere Körpergröße sich signifikant von den anderen unterscheidet, können wir Boxplots erstellen, Konfidenzintervalle konstruieren oder mehrere Vergleichstests verwenden.