25.2: Kugel- und Zylinderkondensator

Ein kugelförmiger Kondensator besteht aus zwei konzentrischen leitenden Kugelhüllen mit den Radien R1 (innere Hülle) und R2 (äußere Hülle). Die Hüllen haben gleich große und entgegengesetzte Ladungen von +Q und -Q. Bei einem isolierten kugelförmigen Kondensator kann der Radius der äußeren Hülle als unendlich betrachtet werden.

Unter Berücksichtigung der Symmetrie, ist das elektrische Feld zwischen den konzentrischen Hüllen eines kugelförmigen Kondensators radial nach außen gerichtet. Die Feldstärke, berechnet durch Anwendung des Gaußschen Gesetzes über eine kugelförmige Gauss'sche Oberfläche mit dem Radius r, der konzentrisch mit den Hüllen ist, wird gegeben durch:

Die Einsetzung des elektrischen Feldes in die Beziehung zwischen elektrischem Feld und Kapazität gibt das elektrische Potential als:

Jedoch, da der Radius der zweiten Kugel unendlich ist, wird das Potential durch folgende Gleichung gegeben:

Da das Verhältnis von Ladung zu Spannungsdifferenz die Kapazität ist, wird die Kapazität eines isolierten kugelförmigen Kondensators gegeben durch:

Ein zylindrischer Kondensator besteht aus zwei konzentrischen leitenden Zylindern der Länge l und den Radien R1 (innerer Zylinder) und R2 (äußerer Zylinder). Den Zylindern werden gleiche und entgegengesetzte Ladungen von +Q und -Q gegeben. Betrachten wir die Berechnung der Kapazität eines zylindrischen Kondensators mit einer Länge von 5 cm und Radien von 2 mm und 4 mm.

Die bekannten Größen sind die Länge des Kondensators sowie die inneren und äußeren Radien. Die unbekannte Größe der Kapazität kann mithilfe der bekannten Werte berechnet werden.

Die Kapazität eines zylindrischen Kondensators ist gegeben durch:

Wenn die bekannten Werte in die obige Gleichung eingesetzt werden, beträgt der berechnete Kapazitätswert 4,02 pF.

Ein sphärischer Kondensator besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen konzentrischen Kugelschalen, die durch einen Isolator getrennt sind. Der Radius der inneren Schale beträgt R₁ und der Radius der äußeren Schale R₂.

Unter Berücksichtigung einer sphärischen Gaußschen Fläche mit dem Radius r kann das radial nach außen gerichtete elektrische Feld mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes ausgedrückt werden. Das elektrische Feld ist direkt proportional zur eingeschlossenen Ladung und umgekehrt proportional zum Radiusquadrat.

Erinnern Sie sich, dass die Potentialdifferenz aus dem elektrischen Feld abgeleitet werden kann. Daher ergibt sich durch die Integration des elektrischen Feldes entlang eines radialen Pfades zwischen den Schalen die Potentialdifferenz für einen sphärischen Kondensator.

Das Verhältnis von Ladung zu Potentialdifferenz ergibt nun die Kapazität für einen sphärischen Kondensator.

Wenn die konzentrischen Kugelschalen durch konzentrische leitende Zylinder ersetzt werden, entsteht ein zylindrischer Kondensator

Unter Anwendung des Gaußschen Gesetzes wird das elektrische Feld berechnet, das radial von der gemeinsamen Achse des Zylinders nach außen gerichtet ist.

Die aus dem elektrischen Feld berechnete Potentialdifferenz kann zur Abschätzung der Kapazität für einen zylindrischen Kondensator herangezogen werden.