Sphärische Koordinaten

Sphärische Koordinatensysteme werden kartesischen, polaren oder zylindrischen Koordinaten für Systeme mit sphärischer Symmetrie vorgezogen. Um zum Beispiel die Oberfläche einer Kugel zu beschreiben, benötigen kartesische Koordinaten alle drei Koordinaten. Das sphärische Koordinatensystem hingegen benötigt nur einen Parameter: den Kugelradius. Dadurch werden die komplizierten mathematischen Berechnungen einfach. Sphärische Koordinaten werden in Wissenschaft und Technik verwendet, z. B. für elektrische und Gravitationsfelder. Eine weitere häufige Anwendung von Kugelkoordinaten ist das Breiten- und Längengradsystem der Erde, das für Navigationszwecke verwendet wird.

Sphärische Koordinaten gehören zur Familie der krummlinigen Koordinaten. Diese erweitern die Polarkoordinaten und werden verwendet, um die Position eines Vektors im dreidimensionalen Raum zu beschreiben. Ein Vektor in einem sphärischen Koordinatensystem wird durch die radiale, polare und azimutale skalare Komponenten definiert. Die radiale Komponente, die von null bis unendlich reicht, gibt den Abstand des Vektors von seinem Ursprung an. Der polare Winkel reicht von null bis π und misst den Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem Vektor. Der azimutale Winkel, der von null bis 2π reicht, misst den Winkel zwischen der x-Achse und der orthogonalen Projektion des Vektors auf die xy-Ebene. Eine Fläche mit konstantem Radius zeichnet eine Kugel in einem dreidimensionalen sphärischen Koordinatensystem aus. Andererseits bildet eine Fläche mit konstantem polaren Winkel einen Halbkegel und eine Fläche mit konstantem azimutalen Winkel eine Halbebene.

Transformationsgleichungen werden verwendet, um einen Vektor in sphärischen Koordinaten in kartesische Koordinaten und zylindrische Koordinaten umzurechnen.