Parsevals Theorem

Der Satz von Parsaval besagt, dass, wenn eine Funktion periodisch ist, die durchschnittliche Leistung des Signals über eine Periode gleich der Summe der quadrierten Größen aller komplexen Fourier-Koeffizienten ist.

Um den Satz von Parsaval zu validieren, nehmen wir an, dass die Funktion eine komplexe Fourier-Reihe einer Standardform hat. Wenn man dies einsetzt und weiter löst, erhält man den Beweis des Satzes.

Interessanterweise kann der Satz von Parsaval auch in Form der Fourier-Koeffizienten der trigonometrischen Fourier-Reihe ausgedrückt werden.

In der Audioverarbeitung wird der Satz von Parsaval verwendet, um die Energie einer ursprünglichen Schallwelle mit ihrer komprimierten Version zu vergleichen.

Die ingenieurwissenschaftliche Interpretation dieses Theorems bietet praktische Einblicke. Wenn die Funktion ein elektrisches Signal darstellt, z. B. Strom oder Spannung, dann stellt das Quadrat der Funktion die momentane Leistung in einem 1-Ohm-Widerstand dar.

Dieser Satz setzt auch die Energie, die während einer Periode im Widerstand abgegeben wird, in Beziehung zur Fourier-Reihe und liefert zwei verschiedene Ausdrücke - einen in Bezug auf die trigonometrische Fourier-Reihe und einen anderen in Bezug auf die Amplitudenphasen-Fourier-Reihe.