$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Die Linearisierung ist eine mathematische Methode, mit der komplexe, nicht lineare Funktionen in der Umgebung eines gewählten Referenzpunktes durch einfachere lineare Modelle angenähert werden. Die Methode beruht auf der Idee, dass, auch wenn die exakte Auswertung der Funktion schwierig ist, ihr Verhalten in der Nähe eines bestimmten Eingabewertes häufig gut durch die Tangentengerade an diesem Punkt angenähert werden kann. Dieser Ansatz ist besonders nützlich bei kleinen Abweichungen von einem bekannten Ausgangswert.
Betrachtet wird die Quadratwurzelfunktion, deren Wert bei einem Eingabewert von vier exakt bekannt ist. Dieser Wert dient als praktischer Referenzpunkt, da sowohl der Funktionswert als auch die Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt leicht bestimmbar sind. Die Auswertung der Funktion bei einem nahegelegenen Eingabewert, beispielsweise 4,1, ist jedoch ohne Rechenwerkzeuge nicht trivial. Die Linearisierung löst dieses Problem, indem sie die ursprüngliche Funktion durch ihre Tangentengerade in der Nähe des Referenzpunktes ersetzt.
Die Approximation durch die Tangentengerade wird aus drei Komponenten gebildet: dem Funktionswert am Referenzeingabewert, der Ableitung der Funktion an diesem Wert und der kleinen Änderung der Eingabevariable gegenüber dem Referenzpunkt. Zusammen bilden diese Elemente die Linearisierungsformel:
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
welche eine Schätzung des Funktionswertes in der Nähe des Referenzwertes liefert. Durch Einsetzen des nahegelegenen Eingabewertes in diese Formel wird ein Näherungswert erhalten, ohne die ursprüngliche nicht lineare Funktion direkt auszuwerten.
Im Beispiel der Quadratwurzel werden zunächst der Funktionswert und die Ableitung am Referenzwert berechnet, anschließend wird die Differenz zwischen dem neuen Eingabewert und dem Referenzwert bestimmt. Die Kombination dieser Größen ergibt einen Schätzwert, der sehr nahe an der tatsächlichen Quadratwurzel von 4,1 liegt. Die geringe Abweichung zeigt sowohl die Leistungsfähigkeit als auch die Grenzen der Linearisierung. Dieses Beispiel verdeutlicht, dass die Linearisierung genaue und effiziente Näherungen liefert, solange der Eingabewert nahe bei dem gewählten Referenzpunkt liegt.
