Newton-Verfahren

Newtons Methode ist eine iterative Technik zur Bestimmung approximativer Nullstellen reellwerter, differenzierbarer Funktionen.

Sie hilft, nichtlineare Gleichungen zu lösen, die für Standardalgebraische Methoden zu komplex sind.

Zum Beispiel kann Newtons Methode den Zinssatz aus einer nichtlinearen Gleichung schätzen, die die Rückzahlung von Autokrediten modelliert. Diese Gleichungen werden als y gleich f von x geschrieben und oft grafisch dargestellt, um die Formel zu entwickeln.

Der Prozess beginnt mit einer anfänglichen Vermutung, basierend auf einer groben Schätzung der Wurzel.

Am erratenen Punkt wird eine Tangentiallinie mit der Steigung der Funktion gezeichnet. Der x-Intercept dieser Linie wird zu einer neuen Schätzung, die visuell näher an der tatsächlichen Wurzel liegt.

Diese neue Schätzung stammt aus linearer Näherung. Sie entspricht der Anfangsschätzung minus dem Wert der Funktion geteilt durch ihre Ableitung bei dieser Schätzung.

Der Prozess wird mit der neuen Schätzung wiederholt. Mit jeder Wiederholung bewegen sich die Werte oft näher an die eigentliche Wurzel.

Dies führt zur allgemeinen Formel: Die neue Schätzung entspricht der vorherigen Schätzung minus dem Funktionswert geteilt durch seine Ableitung.

Jeder Schritt verfeinert die Approximation, wodurch Newtons Methode ein effektives iteratives Werkzeug zur Lösung nichtlinearer Gleichungen wird.