Wegproblem

Ändert sich die Geschwindigkeit eines Objekts über die Zeit, lässt sich die insgesamt zurückgelegte Strecke durch Summierung kleiner Wegintervalle über kurze Zeitabschnitte bestimmen. Dieser Ansatz ermöglicht eine Annäherung an die tatsächliche Strecke mittels numerischer Summation und unter Anwendung der Integralrechnung. Eine Schätzung der Gesamtstrecke kann durch regelmäßige Geschwindigkeitsmessungen und Multiplikation jedes Wertes mit dem entsprechenden Zeitschritt gewonnen werden.

Beschleunigt ein Läufer in den ersten drei Sekunden eines Rennens, zeigen Geschwindigkeitsmessungen in halben Sekundenintervallen einen Anstieg von 0 auf 6,2 m/s. Eine Möglichkeit der Schätzung verwendet die Geschwindigkeiten am linken Endpunkt, wobei jeder Wert mit dem Zeitschritt von einer halben Sekunde multipliziert wird, was eine ungefähre Strecke von 10,55 m ergibt.

Eine andere Methode nutzt die Geschwindigkeiten am rechten Endpunkt und liefert eine leicht höhere Schätzung von 13,65 m. Die tatsächlich zurückgelegte Strecke liegt somit zwischen diesen beiden Werten, wobei häufigere Geschwindigkeitsmessungen die Genauigkeit verbessern.

Eine genauere Bestimmung der Strecke stützt sich auf das Konzept des Grenzwerts. Die exakte Strecke lässt sich durch den Grenzwert der Summe der Geschwindigkeitswerte, multipliziert mit kleinen Zeitintervallen, bei zunehmender Anzahl an Messungen bestimmen. Mathematisch ausgedrückt:

\begin{equation*}d = \lim_{n \to \infty} \sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_{i-1})\,\Delta t = \lim_{n \to \infty}\sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_i)\,\Delta t\end{equation*}

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Dieser Grenzwert entspricht der Definition des Integrals als Riemannsche Summe und zeigt, dass die insgesamt zurückgelegte Strecke dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit entspricht. Bei infinitesimal kleinen Zeitintervallen konvergiert die Summe exakt zum Integral, wodurch der Näherungsfehler numerischer Summationsverfahren vollständig entfällt.