4.2
Das Entfernungsproblem bestimmt, wie weit ein Objekt sich zurückgelegt hat, anhand der an verschiedenen Zeitpunkten gemessenen Geschwindigkeit.
Wenn die Geschwindigkeit variiert, kann die Gesamtdistanz durch das Addieren kleiner Verschiebungsintervalle berechnet werden, die jeweils die Bewegung über einen kurzen Zeitschritt zeigen.
Zum Beispiel belägt ein Läufer in einem Rennen während der ersten drei Sekunden stetig. Alle halbe Sekunden durchgeführte Geschwindigkeitsmessungen zeigen, dass die Geschwindigkeit von 0 auf 6,2 Meter pro Sekunde steigt.
Diese Messungen werden verwendet, um die Gesamtdistanz zu schätzen, indem das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm in halbe Sekunden-Rechtecke für die untere Summe und die obere Summe geteilt wird.
Die untere Schätzung verwendet Geschwindigkeiten an den linken Endpunkten jedes Zeitintervalls. Multipliziert man jede dieser Geschwindigkeiten mit dem halben Sekundenzeit-Schritt und summiert man die einzelnen Ergebnisse, erhält man 10,55 Meter.
Andererseits verwendet die obere Schätzung die Geschwindigkeiten des rechten Endpunkts. Multipliziert man jede dieser Punkte mit dem Zeitschritt und addiert sie, erhält man 13,65 Meter. Der tatsächliche Abstand liegt zwischen diesen beiden Schätzungen. Eine Erhöhung der Anzahl der Messungen führt zu einem genaueren Ergebnis.
Bei unendlichen Messungen entspricht die Entfernung der Fläche unter der Kurve, dargestellt durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.
Ändert sich die Geschwindigkeit eines Objekts über die Zeit, lässt sich die insgesamt zurückgelegte Strecke durch Summierung kleiner Wegintervalle über kurze Zeitabschnitte bestimmen. Dieser Ansatz ermöglicht eine Annäherung an die tatsächliche Strecke mittels numerischer Summation und unter Anwendung der Integralrechnung. Eine Schätzung der Gesamtstrecke kann durch regelmäßige Geschwindigkeitsmessungen und Multiplikation jedes Wertes mit dem entsprechenden Zeitschritt gewonnen werden.
Beschleunigt ein Läufer in den ersten drei Sekunden eines Rennens, zeigen Geschwindigkeitsmessungen in halben Sekundenintervallen einen Anstieg von 0 auf 6,2 m/s. Eine Möglichkeit der Schätzung verwendet die Geschwindigkeiten am linken Endpunkt, wobei jeder Wert mit dem Zeitschritt von einer halben Sekunde multipliziert wird, was eine ungefähre Strecke von 10,55 m ergibt.
Eine andere Methode nutzt die Geschwindigkeiten am rechten Endpunkt und liefert eine leicht höhere Schätzung von 13,65 m. Die tatsächlich zurückgelegte Strecke liegt somit zwischen diesen beiden Werten, wobei häufigere Geschwindigkeitsmessungen die Genauigkeit verbessern.
Eine genauere Bestimmung der Strecke stützt sich auf das Konzept des Grenzwerts. Die exakte Strecke lässt sich durch den Grenzwert der Summe der Geschwindigkeitswerte, multipliziert mit kleinen Zeitintervallen, bei zunehmender Anzahl an Messungen bestimmen. Mathematisch ausgedrückt:
\begin{equation*}d = \lim_{n \to \infty} \sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_{i-1})\,\Delta t = \lim_{n \to \infty}\sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_i)\,\Delta t\end{equation*}
\end{document}
Dieser Grenzwert entspricht der Definition des Integrals als Riemannsche Summe und zeigt, dass die insgesamt zurückgelegte Strecke dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit entspricht. Bei infinitesimal kleinen Zeitintervallen konvergiert die Summe exakt zum Integral, wodurch der Näherungsfehler numerischer Summationsverfahren vollständig entfällt.
Das Entfernungsproblem bestimmt, wie weit ein Objekt sich zurückgelegt hat, anhand der an verschiedenen Zeitpunkten gemessenen Geschwindigkeit.
Wenn die Geschwindigkeit variiert, kann die Gesamtdistanz durch das Addieren kleiner Verschiebungsintervalle berechnet werden, die jeweils die Bewegung über einen kurzen Zeitschritt zeigen.
Zum Beispiel belägt ein Läufer in einem Rennen während der ersten drei Sekunden stetig. Alle halbe Sekunden durchgeführte Geschwindigkeitsmessungen zeigen, dass die Geschwindigkeit von 0 auf 6,2 Meter pro Sekunde steigt.
Diese Messungen werden verwendet, um die Gesamtdistanz zu schätzen, indem das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm in halbe Sekunden-Rechtecke für die untere Summe und die obere Summe geteilt wird.
Die untere Schätzung verwendet Geschwindigkeiten an den linken Endpunkten jedes Zeitintervalls. Multipliziert man jede dieser Geschwindigkeiten mit dem halben Sekundenzeit-Schritt und summiert man die einzelnen Ergebnisse, erhält man 10,55 Meter.
Andererseits verwendet die obere Schätzung die Geschwindigkeiten des rechten Endpunkts. Multipliziert man jede dieser Punkte mit dem Zeitschritt und addiert sie, erhält man 13,65 Meter. Der tatsächliche Abstand liegt zwischen diesen beiden Schätzungen. Eine Erhöhung der Anzahl der Messungen führt zu einem genaueren Ergebnis.
Bei unendlichen Messungen entspricht die Entfernung der Fläche unter der Kurve, dargestellt durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.
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