Unbestimmte Integrale

Der Wasserzufluss in einen Wassertank ist nicht konstant, sondern nimmt im Laufe der Zeit zu. Anfangs liefert die Pumpe Wasser mit einer Förderrate von 5 L/min. Aufgrund steigenden Drucks im System oder von Systemanpassungen erhöht sich die Zuflussrate jedoch mit jeder weiteren Minute um 2 L/min. Dieses Szenario lässt sich mathematisch durch eine lineare Funktion beschreiben:

\begin{equation}f(t) = 2t + 5\end{equation}

Um das dem Tank insgesamt zugeführte Wasservolumen über die Zeit zu bestimmen, muss die Zuflussfunktion integriert werden. Das Gesamtvolumen V(t) ergibt sich aus folgendem Integral:

\begin{equation}V(t) = \int (2t + 5) \, dt\end{equation}

Bei Anwendung der Potenzregel zur Auswertung des Integrals treten sowohl quadratische als auch lineare Terme auf, die die Änderung der Zuflussrate widerspiegeln:

\begin{equation}V(t) = t^2 + 5t + C\end{equation}

Der Term t^2 entsteht aufgrund der steigenden Zuflussrate und zeigt, dass die Wasserakkumulation über die Zeit einem quadratischen Verlauf folgt. Der Term 5t beschreibt die von Anfang an bestehende konstante Zuflusskomponente. Die Konstante C berücksichtigt das anfängliche Wasservolumen im Tank vor Beginn des Zuflusses. Da die Integration das Gesamtvolumen durch Summierung der momentanen Änderungsraten bestimmt, liefert diese Gleichung eine vollständige Funktionsbeschreibung der Gesamtwassermenge im Tank zu jedem beliebigen Zeitpunkt.