Komplexe Zahlen

Einige Gleichungen haben keine wirkliche Lösung, weil sie die Quadratwurzeln negativer Zahlen beinhalten.

Um dies zu adressieren, werden komplexe Zahlen eingeführt, die die Quadratwurzel von −1 als imaginäre Einheit i definieren.

Dies kann auf der komplexen Ebene visualisiert werden, wo die realen und imaginären Teile senkrechte Achsen bilden, wobei jede komplexe Zahl als Punkt platziert wird.

Bei der Addition komplexer Zahlen werden ihre reellen und imaginären Teile getrennt addiert.

Die Multiplikation komplexer Zahlen folgt der distributiven Eigenschaft. Da i²= −1 ist, wird jedes Vorkommen von i² bei der Vereinfachung durch −1 ersetzt.

Beim Dividieren komplexer Zahlen werden sowohl der Zähler als auch der Nenner mit dem Konjugat des Nenners multipliziert, das den gleichen Realteil und den entgegengesetzten Imaginärteil hat, um den Imaginärteil zu eliminieren.

So wie jede positive reelle Zahl zwei Quadratwurzeln hat, hat auch jede negative reelle Zahl zwei komplexe Quadratwurzeln, die komplexe Konjugate sind.

Komplexe Zahlen werden in der Magnetresonanztomographie verwendet, wo der Scanner komplexe Signaldaten sammelt, die als k-Raum bezeichnet werden. Diese Daten werden mit Hilfe von inversen Fourier-Transformationen in räumliche Bilder umgewandelt.