Exponentielle und logarithmische Gleichungen: Problemlösung

In einer waldreichen Region mit einem weiten Lebensraum für Biber verfolgt ein Forscher genau, wie die Biberpopulation im Laufe der Zeit wächst.

Ziel ist es, die Anzahl der Jahre zu bestimmen, die die Population benötigt, um eine bestimmte Größe zu erreichen.

Die Grundgesamtheit folgt einem exponentiellen Modell, das auf wiederholtem Wachstum im Laufe der Zeit basiert. Es entspricht der anfänglichen Population multipliziert mit 10, die zur Wachstumsrate multipliziert mit der Anzahl der Jahre angehoben wurde. Die Wachstumsrate zeigt, wie schnell die Bevölkerung jedes Jahr wächst.

Um die Berechnung zu starten, setzt der Forscher den Wert der Zielpopulation in die Gleichung ein.

Dividiert man beide Seiten durch die Anfangsbevölkerung, erhält man den Faktor, um den die Bevölkerung gewachsen ist. Die Gleichung wird dann so umgestellt, dass zehn auf einen Exponenten erhöht diesem Faktor entspricht.

Da Logarithmen und Exponenten inverse Operationen sind, wird die Variable durch die Berücksichtigung des Logarithmus beider Seiten isoliert. Wenn Sie dann das Potenzgesetz anwenden, wird der Exponent nach unten gebracht, wodurch die Gleichung in eine lösbare lineare Form umgewandelt wird.

Der Exponent erscheint nun eindeutig als Produkt aus der Konstante und der Anzahl der Jahre.

Wenn man den logarithmischen Wert durch die Konstante dividiert, erhält man die geschätzte Anzahl von Jahren, die es wahrscheinlich dauern wird, bis die Grundgesamtheit die erwartete endgültige Bevölkerungsgröße erreicht.