Ellipsen

Eine Ellipse entsteht, wenn ein rechter kreisförmiger Kegel durch eine abgewinkelte Ebene geschnitten wird, die seine Basis nicht schneidet, wodurch eine geschlossene Kurve entsteht.

Geometrisch gesehen ist eine Ellipse die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei Fixpunkten – den sogenannten Brennpunkten – konstant ist.

Der längste Durchmesser ist die Hauptachse, der kürzeste die Nebenachse. Diese Achsen schneiden sich in der Mitte, und die Hauptachse endet an den Eckpunkten.

Die Standardform wird abgeleitet, indem der Ursprung zentriert und die Brennpunkte auf der x-Achse bei -c und +c platziert werden, wobei c der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Fokus ist.

Von einem beliebigen Punkt auf der Ellipse aus ist der Gesamtabstand zu beiden Brennpunkten die Länge der Hauptachse, ausgedrückt als Summe von zwei Quadratwurzeln. Durch das Neuanordnen und Quadratieren beider Seiten wird eine Quadratwurzel eliminiert. Beim erneuten Quadrieren werden alle Quadratwurzeln entfernt, wodurch eine Gleichung mit quadrierten Termen entsteht. Wenn man das Verhältnis zwischen den Achslängen und der Brennweite ersetzt und dann neu anordnet, erhält man die Standardform.

Der größere Nenner entspricht der Hauptachse, unabhängig vom Mittelpunkt der Ellipse.

Diese Gleichung beschreibt reale elliptische Bahnen wie Planetenbahnen und Satellitenbewegungen.