Näherungsweise Integration

Approximative Integration wird verwendet, wenn der exakte Wert eines bestimmten Integrals nicht berechnet werden kann.

Dies tritt typischerweise in zwei Hauptfällen auf: Wenn die Antiderivative der Funktion unbekannt ist oder in geschlossener Form nicht existiert, und wenn die Funktion aus empirischen Daten besteht, wie etwa einer Menge diskreter Punkte aus einem Experiment, anstatt einer stetigen Formel.

In solchen Situationen werden bestimmte Integrale mittels Riemannscher Summen geschätzt, die das Intervall in n gleich große Teilintervalle der Breite Δx teilen.

Für jedes Teilintervall wird ein Rechteck konstruiert, dessen Höhe durch den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt innerhalb dieses Intervalls bestimmt wird.

In der linken Endpunkt-Approximation L_n wird die Höhe jedes Rechtecks durch den Wert der Funktion am linken Ende bestimmt.

Wenn die Funktion steigt, unterschätzt diese Methode die Fläche; Wenn die Funktion abnimmt, überschätzt sie.

Die Näherung an den rechten Endpunkt R_n verwendet das rechte Ende jedes Teilintervalls. Diese Methode überschätzt die Fläche, wenn die Funktion wächst, und umgekehrt.

Diese Methoden verwenden grundlegende Geometrie – also das Hinzufügen von Rechteckflächen –, um Integrale komplexer oder unbekannter Funktionen abzuschätzen.