Näherungsweise Integration

In vielen praktischen und theoretischen Kontexten ist der exakte Wert eines bestimmten Integrals nicht zugänglich. Diese Einschränkung tritt typischerweise auf, wenn die Stammfunktion einer Funktion entweder unbekannt ist oder sich nicht in geschlossener Form ausdrücken lässt. Alternativ kann sie auftreten, wenn eine Funktion nicht durch eine Formel, sondern durch eine endliche Menge empirischer Datenpunkte definiert ist, wie sie etwa in Experimenten erhoben wurden. In solchen Fällen bieten Verfahren der numerischen Integration eine wertvolle Lösung.

Eines der am weitesten verbreiteten Verfahren ist die Verwendung von Riemann-Summen. Dabei wird die Fläche unter einer Kurve angenähert, indem das Integrationsintervall in mehrere gleich große Teilintervalle unterteilt wird. Jedem Teilintervall wird ein Rechteck zugeordnet, dessen Höhe durch den Funktionswert an einem gewählten Punkt innerhalb des Teilintervalls bestimmt wird. Diese anschauliche geometrische Interpretation ermöglicht numerische Näherungen, wenn analytische Methoden nicht praktikabel sind.

Die Wahl des Punktes innerhalb jedes Teilintervalls führt zu unterschiedlichen Verfahren. Bei der Linksrandmethode wird die Höhe jedes Rechtecks anhand des Funktionswertes am linken Ende des Teilintervalls bestimmt. Bei steigenden Funktionen neigt diese Methode dazu, die Gesamtfläche zu unterschätzen; bei fallenden Funktionen führt sie typischerweise zu einer Überschätzung. Umgekehrt verwendet die Rechtsrandmethode den Funktionswert am rechten Ende jedes Teilintervalls, was bei steigenden Funktionen zu einer Überschätzung und bei fallenden Funktionen zu einer Unterschätzung führt.

Obwohl diese Techniken in ihrer Formulierung elementar sind, bilden sie grundlegende Werkzeuge der numerischen Analysis. Sie sind insbesondere in wissenschaftlichen und ingenieurtechnischen Anwendungen von Bedeutung, in denen Integrale aus diskreten Messwerten berechnet werden müssen oder die Funktionen zu komplex für eine symbolische Integration sind.