Trennbare Differentialgleichungen

Eine separable Gleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung, die in zwei unabhängige Teile aufgeteilt werden kann – einer enthält nur x und der andere nur y.

Die y-Terme werden auf einer Seite und die x-Terme auf der anderen platziert, was eine separate Integration ermöglicht.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine heiße Tasse Tee vor, die in einem Raum abkühlt.

Die Geschwindigkeit, mit der der Tee abkühlt, ist proportional zur Differenz zwischen seiner Temperatur und der Raumtemperatur. Ein negatives Vorzeichen wird zur Proportionalitätskonstante k hinzugefügt, um anzuzeigen, dass die Temperatur mit der Zeit abnimmt.

Die Gleichung ist separabel, weil sie mit Temperaturtermen auf der einen Seite und Zeit auf der anderen Seite umgeschrieben werden kann. Die Integration beider Seiten ergibt eine logarithmische Gleichung mit einer Integrationskonstante.

Wenn beide Seiten exponentiiert sind, ergibt sich die allgemeine Lösung mit einer Konstanten, die positiv, negativ oder null sein kann. Die Konstante wird ermittelt, indem t gleich null und die Anfangstemperatur eingefügt wird.

Der Temperaturunterschied nimmt exponentiell ab, wodurch der Tee zunächst schnell abkühlt und dann mit der Zeit noch langsamer.