Stehende Wellen

Stehende Wellen oder stationäre Wellen sind Wellen, die sich scheinbar nicht ausbreiten, und sie sind am deutlichsten in einer Schwingung. Wenn zum Beispiel eine gespannte Saite gezupft wird, scheinen die resultierenden Wellen auf und ab zu vibrieren, ohne dass es zu einer linearen Bewegung kommt. Diese werden tatsächlich durch die Interferenz zweier Wellen erzeugt, die sich in entgegengesetzte Richtungen mit der gleichen Frequenz und Amplitude bewegen.

Diese oszillierende Bewegung mit periodischer Frequenz ist ein Beispiel für eine einfache harmonische Bewegung. Die Bewegung erfolgt, weil die Sehne eine Rückstellkraft hat, die proportional zur anfänglichen Verschiebung ist. Diese Beziehung zwischen Wiederherstellungskraft und Verschiebung wird durch das Hookesche Gesetz gegeben, das in einem anderen JoVE Science Education Video ausführlich erklärt wird. Das bedeutet im Wesentlichen, dass je stärker etwas gezogen wird, wie diese Schleuder, desto stärker drückt es zurück.

In diesem Video werden wir stehende Wellen mit einem Slinky erzeugen und die Physik hinter einfacher harmonischer Bewegung und ihre Anwendungen untersuchen.

Bevor wir mit der Demonstration im Labor beginnen, wollen wir ein wenig mehr über stehende Wellen und einfache harmonische Bewegung lernen. Eine Welle wird definiert durch ihre Wellenlänge, lambda -- den Abstand zwischen zwei Kämmen, und ihre Frequenz, f -- die Anzahl der Vorkommen von Scheitelpunkten in Zeiteinheit. Die Amplitude ist der Abstand vom Scheitelpunkt zum Tal. Wenn zwei Wellen zur gleichen Zeit am gleichen Punkt eines Weges ankommen, interferieren sie sich. Die Amplitude der resultierenden Welle ist die Summe der Amplituden der beiden Wellen.

Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Amplituden der Wellen in Phase sind und addieren. Destruktive Interferenz tritt auf, wenn die Wellen phasenverschoben sind und die Amplituden subtrahiert werden.

Nehmen wir zum Beispiel einen Impuls auf einer endlichen Schnur. Im Idealfall wird der Wanderimpuls reflektiert, wenn er auf eine Grenze trifft. Schicken wir nun eine Welle die Schnur hinunter und lassen sie über einen längeren Zeitraum hin und her reflektieren. Diese Aktion erzeugt ein stationäres Muster oder eine stehende Welle.

Die Punkte mit minimaler Amplitude, die als Knoten bezeichnet werden, sind die Punkte, an denen die Wellen entgegengesetzte Phasen haben und sich gegenseitig aufheben. Die Punkte der maximalen Amplitude oder Antiknoten sind Punkte, an denen die Wellen die gleiche Phase haben und ihre Amplituden kombiniert werden. Die einfachste stehende Welle tritt auf, wenn die Wellenlänge doppelt so lang ist wie die Saite.

Die nächste mögliche stehende Welle hat einen Knoten in der Mitte, und die Wellenlänge entspricht der Länge der Saite. Wenn wir weiterhin Knoten hinzufügen, erzeugen wir Wellen mit immer kürzeren Wellenlängen. Diese Muster werden als Harmonische bezeichnet, wobei die Anzahl der Antinodes, die mit dem Buchstaben n bezeichnet wird, die Welle der n-ten Harmonischen ergibt. Wenn die Welle also vier Antiknoten hat, ist die Welle die vierte Harmonische.

Basierend auf der Beziehung zwischen der Wellenlänge und der Länge der Saite jeder Harmonischen können wir eine Formel ableiten, die diese drei Terme in Beziehung setzt, und sagen, dass das Lambda einer n-ten harmonischen stehenden Welle gleich der doppelten Länge der Saite geteilt durch n ist.

Da 2L die Wellenlänge der ersten Harmonischen ist, Die Wellenlänge jeder Harmonischen ist ?1 geteilt durch n. Nun, wir wissen, dass ? und f haben eine umgekehrte Beziehung. Daraus können wir ableiten, dass die Frequenz jeder Harmonischen das n-te Vielfache der ersten Harmonischen wäre, oder das Verhältnis der Frequenz zur Frequenz der ersten Harmonischen ergibt n. Beachten Sie, dass die erste Harmonische auch als Grundfrequenz dieser Saite bezeichnet wird.

Nachdem wir nun die Grundlagen einfacher Obertöne besprochen haben, werfen wir einen Blick darauf, wie man stehende Wellen mit einem Slinky erzeugt und wie man die Frequenz von stehenden Wellen misst.

Strecken Sie zuerst eine Slinky- oder Stahlfeder der Länge nach über den Boden, wobei jeweils eine Person das Ende hält. Markiere mit Klebeband auf jeder Seite zwei Längsbarrieren, die jeweils etwa einen Fuß von der Mitte des Slinkys entfernt sind.

Fügen Sie außerdem Längsbarrieren hinzu, die auf jeder Seite zwei Fuß von der Mitte des Slinkys entfernt sind.

Wechseln Sie sich beim Auslösen von Wellenimpulsen ab, indem Sie den Slinky ein kleines Stück horizontal ruckartig bewegen und ihn dann sofort wieder zum Ausgangspunkt zurückbringen. Stellen Sie sicher, dass die Amplituden innerhalb der markierten Barrieren bleiben.

Starten Sie als Nächstes gleichzeitig identische Impulse mit der gleichen Polarität und beobachten Sie, was passiert, wenn die Impulse aufeinandertreffen. Die Amplitude der überlagerten Welle sollte sich verdoppeln, die erste geklebte Barriere überqueren und auf die zweite geklebte Barriere treffen.

Starten Sie nun gleichzeitig identische Pulse mit entgegengesetzter Polarität. Die Impulse sollten sich gegenseitig aufheben, wenn sie sich überlagern und weiterwandern. Sie sollten niemals die Barrieren erreichen.

Fixieren Sie zum Schluss ein Ende, indem Sie es fest in Position halten. Senden Sie einen einzelnen Impuls nach unten in die feste Position und beobachten Sie die Amplitude der Wellen, während sie reflektiert wird. Es wird mit entgegengesetzter Polarität zurückreflektiert.

Schauen wir uns nun an, wie man die Frequenz von stehenden Wellen misst. Strecken Sie den Slinky wieder quer durch den Raum und messen Sie die gedehnte Länge.

Wenn ein Ende fixiert ist, beginnen Sie, das andere Ende vorsichtig horizontal zu schieben, bis Sie die erste Harmonische gefunden haben. Für diese Harmonische sollte es nur einen Wellenkamm mit einer Amplitude geben, die sich hin und her bewegt.

Verwenden Sie eine Stoppuhr, um die Zeit aufzuzeichnen, die für jeden Wellenzyklus benötigt wird. Ein vollständiger Zyklus beginnt, wenn sich auf der einen Seite ein Antiknoten bildet, durch die Mitte gleitet, um auf der anderen Seite einen Antiknoten zu bilden, und dann in die ursprüngliche Position zurückkehrt.

Erhöhen Sie nun die Geschwindigkeit des Gleitens, bis Sie die nächste Harmonische erreichen. Für die zweite Harmonische sollte es zwei Wellenberge auf gegenüberliegenden Seiten geben, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Messen Sie die Zeit für einen Wellenzyklus.

Wiederholen Sie diese Schritte für die dritte Harmonische.

Nachdem wir nun das Experiment besprochen haben, wollen wir lernen, wie wir die gesammelten Daten analysieren, um die Frequenzen verschiedener Harmonischer zu erhalten. Zur Erinnerung: Die Wellenlänge ist gleich der zweifachen Länge des Slinkys geteilt durch n. Für die zweite Harmonische ist die Wellenlänge also die Länge des Slinkys oder 8 m.

Die Frequenz ist definiert als die Anzahl der Zyklen pro Zeiteinheit. So kann die Frequenz für jede Harmonische berechnet werden, indem die Anzahl der Zyklen durch die Gesamtzeit dividiert wird. Es ist offensichtlich, dass mit zunehmendem n auch die Frequenz der Welle zunimmt.

Dies machte sich auch während des Experiments bemerkbar. Lassen Sie uns nun die Beziehung zwischen den Frequenzen und n überprüfen. Wenn wir die Frequenz jeder Harmonischen durch die Grundfrequenz dividieren, dann erhalten wir diese Werte. Diese Werte zeigen, dass die zweite Harmonische ungefähr die doppelte Frequenz der Grundfrequenz und die dritte Harmonische das Dreifache der Grundfrequenz hat. Zusammen validieren diese Ergebnisse die Oberschwingungsformeln.

Stehende Wellen finden sich in vielen Beispielen aus der Praxis in Wissenschaft und Natur.

Eine gezupfte Gitarrensaite ist ein einfaches Beispiel für eine stehende Welle. Eine gezupfte Saite gibt eine bestimmte Tonfrequenz ab, die von der Saitenlänge und der Straffheit oder Dichte der Saite abhängt.

Jede Saite macht nur bestimmte Töne, weil sich auf dieser Saite nur bestimmte stehende Wellen bilden können. Diese stehenden Wellen sind alle ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz des Strings. Der Musiker kann die Saitenlänge verkürzen und so einen neuen Satz von Obertönen erzeugen.

Die Akustophorese, was so viel bedeutet wie Migration mit Schall, ist eine Technik in der Biomedizintechnik, bei der stehende Wellen verwendet werden, um Partikel in einem mikroskaligen Kanal einer fließenden Flüssigkeit zu verdrängen. Dies wird typischerweise in einem mikrofluidischen Gerät durchgeführt, das über Flüssigkeitskanäle im Mikrometermaßstab verfügt.

Wenn innerhalb des Kanals eine stehende Welle mit einer bestimmten Frequenz gebildet wird, die die Teilchen in einen kontrollierten Strom fokussiert. Mit dieser Methode kann ein Forscher mikroskopische Einheiten schnell fokussieren oder trennen.

Sie haben gerade JoVEs Einführung in stehende Wellen und einfache harmonische Bewegung gesehen. Sie sollten nun die Eigenschaften von stehenden Wellen verstehen und wissen, wo sie in alltäglichen Anwendungen vorkommen. Danke fürs Zuschauen!