Knicken von Stahlstützen

Das Knickphänomen ist von entscheidender Bedeutung für die Konstruktion von Strukturen, die unerwarteten Lasten standhalten und auch unter alltäglichen Lasten zu vernünftigen Kosten eine hervorragende Leistung bieten.

Aufgrund der Festigkeit des Materials ist das Skelett einer Stahlkonstruktion im Vergleich zu Ziegel oder Stahlbeton sehr schlank. Die Vorfertigung von Stahlbauteilen erhöht die Baugeschwindigkeit vor Ort und macht Stahlkonstruktionen wirtschaftlicher als andere Baustoffe.

Unter Belastung werden die Bauteile Zug- oder Druckkräften ausgesetzt. Unter Zug wird das Verhalten von Stahl in erster Linie durch die Festigkeit des Materials bestimmt. Unter Druck wird Stahl beult. Dieses Phänomen tritt bei jeder schlanken Struktur auf, unabhängig vom Material.

Das Knicken besteht aus einer plötzlichen seitlichen Auslenkung der Stütze. Ein geringer Anstieg der aufgebrachten Last kann zu einem plötzlichen und katastrophalen Einsturz der Struktur führen. Der Einsturz der Quebec River Bridge aufgrund des Knickens der unteren Seilteile des Bauwerks ist ein Beispiel für ein solches katastrophales Versagen. In diesem Video wird der Knickfehlermodus erläutert und gezeigt, wie die Knickkapazität von schlanken Stützen bestimmt werden kann.

Eine Säule unter axialer Druckbelastung knickt ein oder bewegt sich plötzlich seitwärts und verliert die Tragfähigkeit. Euler, ein Schweizer Mathematiker, war der erste, der die Lösung für die Knicklast lieferte, indem er argumentierte, dass eine perfekt gerade Säule ein Gleichgewicht in zwei Konfigurationen sein könnte: einer unverformten und einer verformten.

Euler postulierte, dass im Gleichgewicht in einer leicht verformten Konfiguration die inneren Momente M durch die äußeren Momente ausgeglichen werden, die durch die bei einer Exzentrizität y wirkende Last P gegeben sind. Die zweite Ableitung der Querverschiebung y ist die Krümmung des Stabes. Diese Größe ist proportional zum Innenwiderstand oder zum inneren Moment geteilt durch die Biegesteifigkeit.

In dieser Gleichung ist E der Elastizitätsmodul und I das Trägheitsmoment, eine geometrische Eigenschaft des Schnitts. Indem wir die erste Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir die Differentialgleichung des Knickens, wobei k eine Substitutionsvariable ist.

Nehmen wir an, dass die Verformung der Spalte durch die folgende Funktion gegeben ist. Wir gehen auch davon aus, dass die Säule gesteckte Enden hat, die sich nicht seitlich zueinander verschieben. Dann ist die Randbedingung bei Z gleich Null und Z gleich L durch die Querverschiebung y gleich Null gegeben. Folglich ist kL gleich N pi. Hier ist N eine ganze Zahl, und sein niedrigster Wert ist einer, der die elastische Knicklast P kritisch ist. Bei einer Stütze mit gelenkigen Enden ist P kritisch durch die Euler-Knicklast gegeben.

Die kritische Last ist die Mindestlast, die dazu führen kann, dass sich die Säule verbiegt. Beachten Sie, dass diese Gleichung keine Terme enthält, die sich auf die Festigkeit des Materials beziehen, sondern nur auf seine Steifigkeit und Abmessungen. Um den Wert der kritischen Last für eine Säule zu erhöhen, können wir das Trägheitsmoment maximieren.

Betrachten wir einen W-förmigen Abschnitt. Sein Trägheitsmoment in Bezug auf den Schwerpunkt des Schnitts ergibt sich aus der Summe des Trägheitsmoments für jedes Rechteck. Für jedes Rechteck besteht das Gesamtmoment aus zwei Komponenten. Das Trägheitsmoment des einzelnen Rechtecks plus seiner Fläche multipliziert mit seinem Abstand zum Schwerpunkt des gesamten Schnitts. Infolgedessen kann der Wert von I erheblich gesteigert werden, indem der größte Teil des Materials so weit wie möglich vom Schwerpunkt entfernt platziert wird.

Das Verhältnis zwischen dem Trägheitsmoment I und der Fläche A wird durch den Gyrationsradius r definiert. Die Knickkapazität wird manchmal als kritische Spannung, Fcr, ausgedrückt, indem die kritische Last durch die Fläche dividiert wird. Beachten Sie, dass die Ableitung der Knickkapazität mit der Euler-Theorie einige Einschränkungen mit sich bringt, da wir Folgendes annehmen: rein elastisches Verhalten, auf den Schwerpunkt der Säule ausgeübte Last, die Stütze ist anfangs vollkommen gerade, eine durchgelenkte Form, die eine exakte Lösung ergibt, idealisierte Randbedingungen, das Fehlen von Eigenspannungen.

Diese Einschränkungen werden im Allgemeinen als Unvollkommenheiten behandelt, und ihre Größenordnungen sind der Schlüssel zur festgelegten Konstruktionstoleranz. Die Einschränkungen im Zusammenhang mit den Randbedingungen können behandelt werden, indem in den Ausdruck der Euler-Knickkapazität ein effektiver Längenfaktor k eingeführt wird. Der Nenner wird als Schlankheit der Säule bezeichnet. Ein niedriger Wert dieses Faktors, z. B. weniger als 20, ist gleichbedeutend mit einer gedrungenen Säule. Während ein großer Wert, z. B. höher als 100, gleichbedeutend mit einer schlanken Säule ist, die sehr anfällig für Knicke ist.

Lassen Sie uns nun die kritische Spannung als Funktion des effektiven Schlankheits-Lambdas darstellen. Die kritische Spannung wird durch die Streckgrenze des Materials begrenzt. Das bedeutet, dass es für jede gegebene Stahlfestigkeit einen Wert der Schlankheit gibt, unterhalb dessen kein Knicken auftritt. Die Euler-Formulierung gibt an, dass bei Erreichen des kritischen Wertes der Axiallast plötzlich ein Knicken auftritt. Aufgrund von strukturellen Unvollkommenheiten gibt es jedoch einen Übergang zwischen der elastischen Knickspannung und der Quetschlast. Infolgedessen kommt es im realen Leben zu einem fließenden Übergang zwischen der elastischen Knickkurve und den Grenzzuständen der Streckgrenze.

Nachdem Sie nun die Euler-Knicktheorie verstanden haben, verwenden wir dies, um die Knickkapazität von schlanken Metallstützen zu analysieren.

Lassen Sie einen Satz Prüfmuster aus einem Zoll x einem Viertel Zoll Aluminiumstab herstellen, der auf Längen von acht Zoll bis 72 Zoll zugeschnitten ist. Bearbeiten Sie beide Enden jeder Probe mit einem Radius von 1/8 Zoll. Messen Sie die Abmessungen, Länge, Breite und Dicke jeder Probe auf 0,02 Zoll genau.

Stellen Sie eine Prüfvorrichtung für die Proben aus zwei kleinen Stahlblöcken her, die etwa zwei Zoll an einer Seite stehen. Bearbeiten Sie eine sehr glatte, einen halben Zoll große kreisförmige Rille entlang einer Seite, um sie mit den Proben zu verbinden. An den der Nut gegenüberliegenden Seiten sollte ein Einsatz zur Befestigung an der Universalprüfmaschine vorgesehen sein. Bevor Sie mit dem Testen beginnen, machen Sie sich mit der Maschine und allen Sicherheitsverfahren vertraut. Legen Sie die Stahlblöcke mit einer Probe in die Prüfmaschine ein und stellen Sie sicher, dass alles sorgfältig ausgerichtet ist, um Exzentrizitäten zu vermeiden.

Stellen Sie die Maschine in der Prüfsoftware auf Durchbiegungsregelung ein und lassen Sie sowohl die Last als auch die axialen Verformungen erfassen. Programmieren Sie die Maschine so, dass sie langsam auf eine Verformung von bis zu 0,2 Zoll aufträgt und dann mit dem Test beginnt. Dieser Grenzwert kann je nach Probenlänge variiert werden, aber der Test sollte gestoppt werden, wenn sich die Last stabilisiert hat oder bevor sie um mehr als 20 % von der maximalen Kapazität abfällt.

Wenn die Prüfung abgeschlossen ist, ist die für dieses Probe erreichte maximale Belastung aufzuzeichnen. Setzen Sie dann die Maschine zurück und wiederholen Sie den Prüfvorgang für die verbleibenden Proben. Nachdem alle Proben getestet wurden, können Sie sich die Ergebnisse ansehen.

Berechnen Sie zuerst den Schlankheitsparameter Lambda und dann unter Verwendung der Euler-Formel die Knickspannung für jede Probe. Als nächstes berechnen Sie anhand der Materialfestigkeit die charakteristische Schlankheit, unterhalb derer kein Knicken auftritt.

Plotten Sie das Verhältnis zwischen der Knickspannung und der Materialfestigkeit in Abhängigkeit vom Schlankheitsverhältnis auf. Im selben Diagramm ist für alle Proben auch die gemessene Knicklast normiert mit der Materialfestigkeit darzustellen. Vergleichen Sie nun die gemessenen Werte mit den berechneten Werten.

Die experimentellen Ergebnisse zeigen zwei unterschiedliche Regionen. Wenn die Spalten relativ lang sind, folgen die Daten der Euler-Knickkurve. Wenn die Säulen kürzer werden, nähert sich die kritische Last der Festigkeit des Materials. An diesem Punkt verschiebt sich das Verhalten von einem rein elastischen zu einem teilweise unelastischen, das sich asymptotisch der Quetschlast der Spalte annähert.

Die Bedeutung des Knickens ist in der Bauindustrie allgemein anerkannt, wo die Bemessung von Stahlkonstruktionen auf einem guten Verständnis der Knickprobleme beruht.

Wirtschaftlichkeit und Konstruktion erfordern eine Minimierung des Materialvolumens bei gleichzeitiger Vermeidung von Knickinstabilitäten. Im Brückenbau wird dies durch die weit verbreitete Verwendung von W-förmigen Stäben und durch das Hinzufügen von Steifen in den Brückenplattenträgern erreicht, um die Knicklängen in den Platten zu reduzieren.

Ein strukturelles System wird als unvollkommenheitsempfindlich bezeichnet, wenn seine Tragfähigkeit wesentlich geringer ist als die des perfekten Systems. Während Säulen unempfindlich gegen Unvollkommenheiten sind, sind Kugeln und Zylinder empfindlich gegenüber Unvollkommenheiten, so dass bei der Konstruktion von Schalen große Sorgfalt geboten ist; Zum Beispiel Kuppeln, Kühltürme und Lagertanks und andere derartige Strukturen, um die richtige Geometrie zu erhalten.

Sie haben gerade die Einführung von JoVE in das Knicken von Stahlstützen gesehen. Sie sollten nun verstehen, wie Sie die Eulersche Knicktheorie anwenden, um die Knickkapazität von schlanken Metallbauteilen zu bestimmen.

Danke fürs Zuschauen!