Baudynamik

Die Strukturdynamik oder die Analyse des Verhaltens von Bauwerken bei Einwirkung dynamischer Kräfte ist sowohl für die Planung von Gebäuden, die Erdbeben- und Ermüdungsbelastungen standhalten, als auch für die Bereitstellung von Komfort für die Bewohner von Bauwerken, die Wind und anderen Arten von zyklischen Lasten ausgesetzt sind, von entscheidender Bedeutung.

Um resiliente Entwurfsstrategien für die Infrastrukturen unserer Städte zu entwickeln, müssen wir sowohl den Input, zum Beispiel die Bodenbewegung während seismischer Aktivität, als auch den Output oder die strukturelle Reaktion der Gebäude verstehen. Dieses Problem kann nur durch einen kombinierten analytischen und experimentellen Ansatz angegangen werden.

Seismische Tests in Laborumgebungen werden mit Rütteltischen durchgeführt, bei denen maßstabsgetreue Modelle kompletter Strukturen mit Hilfe einer elektrisch oder hydraulisch betätigten Basis Eingangsbewegungen ausgesetzt werden. Diese Methode stellt eine zuverlässigere Prüftechnik dar, da die Struktur nicht künstlich zurückgehalten wird und die Eingabe eine echte Bodenbewegung ist.

In diesem Video werden die Prinzipien der dynamischen Analyse anhand eines Rütteltisches und von Modellstrukturen veranschaulicht, um die dynamischen Verhaltenseigenschaften verschiedener Strukturmodelle zu untersuchen.

Die üblichen Eigengewichtslasten, die auf eine Struktur wirken, sind quasi statisch, weil sie sich mit der Zeit sehr langsam oder gar nicht ändern. Im Gegensatz dazu sind Lasten, die zum Beispiel durch Hurrikane und Explosionen entstehen, extrem dynamisch.

Während eines Erdbebens bewegt sich der Boden mit einer bestimmten Beschleunigung, während die Struktur dazu neigt, still zu stehen. Folglich sind die dynamischen Lasten, die auf eine Struktur wirken, inertial und hängen von der Masse, Steifigkeit und Dämpfung der Struktur ab. Um dieses Problem analytisch zu lösen, verwenden wir grundlegende physikalische Gesetze und vereinfachte Modelle der tatsächlichen Strukturen.

Zum Beispiel können sowohl eine Brücke als auch ein Rahmen mit starrem Träger zu einem System mit einem einzigen Freiheitsgrad vereinfacht werden, das aus einem elastischen Ausleger mit Länge L und Masse m, Steifigkeit k und Dämpfung c besteht. Alternativ kann ein anderes Modellsystem durch eine an einer Feder der elastischen Konstante k befestigte Masse sowie einen Strichtopf mit einem Dämpfungskoeffizienten c dargestellt werden. Diese Komponenten können parallel und in Reihe kombiniert werden, um unterschiedliche Strukturkonfigurationen zu modellieren.

Für unser Massen- und Federmodellsystem ist die äußere Kraft, die auf dieses System wirkt, proportional zur Bodenbeschleunigung, wenn sich der Boden bewegt. Die anderen Kräfte im System sind die elastische Kraft in der Feder, proportional zur Verschiebung, sowie die Reaktionskraft im Armaturenbretttopf, proportional zur Geschwindigkeit.

Mit dem Zweiten Gesetz von Newton können wir die Gleichung des horizontalen Gleichgewichts der Kräfte für dieses System schreiben. In Ermangelung äußerer Kräfte und unter der Annahme, dass die Dämpfungseffekte vernachlässigbar sind, hat diese vereinfachte Gleichung folgende Lösung:

Hier ist wn die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems und u0 die anfängliche Verschiebung. Wenn wir den Effekt der Dämpfung hinzufügen, lautet die Lösung der Bewegungsgleichung wie folgt. Dabei wird die gedämpfte Eigenfrequenz des Systems mit Hilfe der Eigenfrequenz und des Dämpfungskoeffizienten ausgedrückt.

Die effektive Dämpfung der freien Schwingungen des Systems führt dazu, dass die Amplitude der Schwingungen mit jedem Zyklus abnimmt. Unter Berücksichtigung der Verschiebungen in zwei aufeinanderfolgenden Zyklen können wir das logarithmische Dekrementdelta verwenden, um die Dämpfungskonstante zeta zu berechnen.

Nimmt man die Grundbewegung als sinusförmige Funktion, so ist die Lösung für die Bewegungsgleichung durch die folgende Funktion gegeben. Hier ist phi die Phasenverzögerung und R der Verstärkungsreaktionsfaktor.

Lassen Sie uns dieses Verhältnis von Faktor zu Frequenz für verschiedene Werte des Dämpfungskoeffizienten zeta darstellen. Bei niedrigen Dämpfungswerten wird die Reaktion des Systems instabil, wenn sich die Frequenz der Antriebsfunktion der Eigenfrequenz des Systems annähert, ein Phänomen, das allgemein als Resonanz bezeichnet wird.

Nachdem Sie nun die theoretischen Konzepte bezüglich des Verhaltens eines linearen elastischen Systems gegenüber dynamischen Lasten verstanden haben, untersuchen wir diese Konzepte anhand einer Rütteltabelle.

Konstruieren Sie zunächst mehrere Strukturen aus sehr dünnen, starken, rechteckigen T6011-Aluminiumträgern, 1/32 Zoll breit und mit unterschiedlichen Längen. Um das erste Modell zu bauen, setzen Sie einen einzelnen Ausleger mit einer Länge von sechzehn Zoll auf einen sehr steifen Holzblock ein. Legen Sie eine Masse von 0,25 lb auf die Spitze des Auslegers.

Bauen Sie auf ähnliche Weise drei weitere Modellstrukturen, indem Sie drei Ausleger mit Längen von 24, 32 und 36 Zoll an denselben starren Holzblock anbringen. Befestigen Sie eine Masse von 0,25 lb an der Spitze jedes Auslegers. Bereiten Sie mit dünnen Stahlplatten und starren Acryl-Bodenmembranen, die mit Beschleunigungsmessern instrumentiert sind, zwei weitere Proben vor, die einfache Rahmenkonstruktionen mit flexiblen Säulen und starren Böden simulieren.

Für diese Demonstrationen wird ein elektrisch betätigter Tisch-Rütteltisch mit einem einzigen Freiheitsgrad verwendet. Ein Computer steuert die Tischverschiebung digital und erzeugt periodische Sinuswellen oder zufällige Beschleunigungen. Die Eingabeerzwingungsfunktion kann überprüft werden, indem sie mit dem Ausgang eines Beschleunigungsmessers verglichen wird, der an die Tabelle angehängt ist.

Montieren Sie zunächst die vier freitragenden Strukturen vorsichtig mit Schrauben, die an der Basis des Modells befestigt sind, am Rütteltisch. Schalten Sie dann den Rütteltisch ein und erhöhen Sie mit der Software langsam die Frequenz, bis die maximale Reaktion der Struktur erreicht ist. Notieren Sie sich den Wert dieser Frequenz in einem Notizbuch. Erhöhen Sie die Frequenz so lange, bis sich die Verschiebungen aller Ausleger deutlich verringern.

Montieren Sie nun die einstöckige Modellstruktur auf den Rütteltisch, und wiederholen Sie den Vorgang. Streichen Sie langsam durch die Frequenzen, bis die Resonanz erreicht ist. Setzen Sie als Nächstes die Software so zurück, dass ein typischer Zeitverlauf für die Bodenbeschleunigung ausgeführt wird, um die zufälligen Bewegungen anzuzeigen, die während eines Erdbebens auftreten. Ersetzen Sie das einstöckige Modell auf dem Rütteltisch durch die zweistöckige Struktur, und wiederholen Sie den Vorgang. Beachten Sie, dass in diesem Fall zwei Eigenfrequenzen auftreten. Notieren Sie sich die Werte dieser Frequenzen in einem Notizbuch.

Lassen Sie uns nun die Datenanalyse durchführen und unsere Ergebnisse besprechen.

Bestimmen Sie zunächst die Häufigkeit, mit der die maximale Verschiebung für jedes Modell aufgetreten ist. Im Falle eines Auslegers ergibt sich die äquivalente Masse aus der Masse an der Spitze und der verteilten Masse des Trägers. Die Steifigkeit k ist der Kehrwert des Verformungsdeltas, das am oberen Rand des Auslegers durch eine Einheitskraft verursacht wird, wobei L die Länge des Trägers und E der Elastizitätsmodul ist.

Hier ist i das Trägheitsmoment, das leicht berechnet werden kann, wenn die Breite b und die Dicke h des Balkens bekannt sind. Platzieren Sie die Daten in einer Tabelle, und berechnen Sie dann die natürlichen Kreisfrequenzen. Berechnen Sie mit diesen Werten die prognostizierten Bewegungsperioden für die geprüften Ausleger.

Schauen Sie sich als Nächstes die in diesem Experiment aufgezeichnete Verschiebungs-Zeit-Reaktion an und bestimmen Sie aus diesen Diagrammen die entsprechenden Bewegungsperioden des Cantilever-Strahls. Fügen Sie diese gemessenen Zeiträume in die Tabelle ein und vergleichen Sie sie mit den theoretischen Werten.

Die Unterschiede zwischen Theorie und Experiment sind auf mehrere Fehlerquellen zurückzuführen. Erstens sind die Balken nicht starr mit dem Holzsockel verbunden, und die zusätzliche Flexibilität an der Basis verlängert die Lebensdauer der Struktur. Zweitens wurde die Dämpfung in den Berechnungen nicht berücksichtigt, da die Dämpfung sehr schwer zu messen und amplitudenabhängig ist.

In diesem Experiment haben wir die Verschiebung über den Zeitverlauf des Strahls aufgezeichnet, wenn der Rütteltisch einer variierenden sinusförmigen Verformung mit einer anfänglichen Amplitude von einem Zoll ausgesetzt wurde. Extrahieren Sie aus diesen Diagrammen den Maximalwert für jede Frequenz, und stellen Sie die Größe der Verschiebung im Vergleich zur normalisierten Frequenz dar.

Werfen Sie nun einen Blick auf Ihr Grundstück. Anfangs gab es nicht viel Reaktion, da der Energieeintrag aus der Tischbewegung das Modell nicht anregt. Wenn sich die normierte Frequenz eins nähert, gibt es eine sehr signifikante Zunahme des Frequenzgangs, wobei die Verformungen ziemlich groß werden. Die maximale Reaktion liegt sehr nahe bei eins. Wenn die normierte Frequenz über eins hinaus ansteigt, beginnt die dynamische Reaktion abzuklingen. Ein großer Wert der normierten Frequenz entspricht der Situation, in der die Last in Bezug auf die Eigenfrequenz des Auslegers sehr langsam aufgebracht wird und die Verformung der einer statisch aufgebrachten Last entsprechen sollte.

Die Strukturdynamik wird bei der Planung und Analyse von Gebäuden, Produkten und Ausrüstungen in vielen Branchen häufig eingesetzt.

Die Konstruktion von Bauwerken, die gegen Erdbebenschäden resistent sind, hat in den letzten 50 Jahren große Fortschritte gemacht. Heutzutage werden die Ergebnisse der experimentellen Arbeit sowie der analytischen Studien in den Bemessungsvorschriften bestätigt, die die Fähigkeit der Bauwerke verbessern, unerwarteten Belastungen während eines seismischen Ereignisses standzuhalten.

Eine leicht beobachtbare dynamische Reaktion eines Bauwerks auf Windlasten ist die von freitragenden Ampeln. Wenn der Wind über die Struktur strömt, wird das Windregime gestört und es entstehen Wirbel durch ein Phänomen, das als Wirbelablösung bekannt ist. Diese Wirbel induzieren Kräfte senkrecht zur Windrichtung, was zu einer zyklischen vertikalen Verschiebung des auskragenden Arms und in der Folge zu einer möglichen Ermüdungsschädigung der Struktur führt.

Sie haben gerade JoVEs Einführung in die Dynamik von Strukturen gesehen. Sie sollten nun die theoretischen Grundlagen verstehen, die das Verhalten einer dynamisch belasteten Struktur regeln. Sie sollten auch wissen, wie Sie eine Rütteltabelle verwenden, um eine dynamische Analyse einer Modellstruktur durchzuführen.

Danke fürs Zuschauen!