Dynamique des structures

La dynamique structurelle, ou l’analyse du comportement de la structure lorsqu’elle est soumise à des forces dynamiques, est essentielle à la fois pour concevoir des bâtiments capables de résister aux charges sismiques et de fatigue, et pour assurer le confort des occupants dans les structures soumises au vent et à d’autres types de charges cycliques.

Afin d’élaborer des stratégies de conception résilientes pour les infrastructures de nos villes, nous devons comprendre à la fois les entrées, par exemple, les mouvements du sol pendant l’activité sismique, et les sorties, ou la réponse structurelle des bâtiments. Cette question ne peut être abordée qu’à travers une approche analytique et expérimentale combinée.

Les essais sismiques en laboratoire sont effectués à l’aide de tables vibrantes, où des modèles réduits de structures complètes sont soumis à des mouvements d’entrée à l’aide d’une base actionnée électriquement ou hydrauliquement. Cette méthode représente une technique de test plus fidèle, car la structure n’est pas retenue artificiellement et l’entrée est un véritable mouvement du sol.

Cette vidéo illustrera les principes de l’analyse dynamique en utilisant une table vibrante et des structures de modèle pour étudier les caractéristiques de comportement dynamique de différents modèles structurels.

Les charges habituelles de poids propre agissant sur une structure sont quasi statiques car elles changent très lentement ou pas du tout avec le temps. En revanche, les charges produites par les ouragans et les explosions, par exemple, sont de nature extrêmement dynamique.

Lors d’un tremblement de terre, le sol se déplace avec une certaine accélération tandis que la structure a tendance à rester immobile. En conséquence, les charges dynamiques agissant sur une structure sont inertielles et dépendent de la masse, de la rigidité et de l’amortissement de la structure. Pour résoudre ce problème de manière analytique, nous utilisons des lois de physique de base et des modèles simplifiés des structures réelles.

Par exemple, un pont et un cadre avec une poutre rigide peuvent être simplifiés en un système à un seul degré de liberté, composé d’un porte-à-faux élastique de longueur L et de masse m, de rigidité k et d’amortissement c. Alternativement, un autre système modèle peut être représenté par une masse attachée à un ressort de constante élastique k, ainsi qu’un pot de tableau de bord avec un coefficient d’amortissement c. Ces composants peuvent être combinés en parallèle et en série pour modéliser différentes configurations structurelles.

Pour notre système de modèle de masse et de ressort, si le sol est en mouvement, la force externe agissant sur ce système est proportionnelle à l’accélération du sol. Les autres forces du système sont la force élastique dans le ressort, proportionnelle au déplacement, ainsi que la force de réaction dans le pot du tableau de bord, proportionnelle à la vitesse.

En utilisant la deuxième loi de Newton, nous pouvons écrire l’équation de l’équilibre horizontal des forces pour ce système. En l’absence de forces externes, et en supposant que les effets d’amortissement soient négligeables, cette équation simplifiée a la solution suivante :

Ici, wn est la fréquence propre non amortie du système, et u0 est le déplacement initial. Si nous ajoutons l’effet de l’amortissement, la solution de l’équation du mouvement est la suivante. Ici, la fréquence propre amortie du système est exprimée à l’aide de la fréquence propre et du coefficient d’amortissement.

L’amortissement efficace des oscillations libres du système se traduit par une diminution de l’amplitude des vibrations à chaque cycle. En considérant les déplacements en deux cycles successifs, nous pouvons utiliser le delta de décrémentation logarithmique pour calculer la constante d’amortissement zêta.

Si le mouvement du sol est considéré comme une fonction sinusoïdale, la solution de l’équation du mouvement est donnée par la fonction suivante. Ici, phi est le décalage de phase et R est le facteur de réponse d’amplification.

Calculons ce rapport facteur/fréquence pour différentes valeurs du coefficient d’amortissement zêta. Pour les faibles valeurs d’amortissement, lorsque la fréquence de la fonction de forçage s’approche de la fréquence propre du système, la réponse du système devient instable, un phénomène communément appelé résonance.

Maintenant que vous comprenez les concepts théoriques concernant le comportement d’un système élastique linéaire aux charges dynamiques, étudions ces concepts à l’aide d’une table de secousses.

Tout d’abord, construisez plusieurs structures en utilisant des poutres en aluminium T6011 très minces, solides, rectangulaires, de 1/32 de pouce de largeur et de différentes longueurs. Pour construire le premier modèle, insérez un seul porte-à-faux d’une longueur de seize pouces dans un bloc de bois très rigide. Placez une masse de 0,25 lb sur la pointe du porte-à-faux.

De même, construisez trois autres structures modèles en attachant trois porte-à-faux de 24, 32 et 36 pouces de longueur au même bloc de bois rigide. Fixez une masse de 0,25 lb à l’extrémité de chaque porte-à-faux. À l’aide de fines plaques d’acier et de diaphragmes de sol en acrylique rigide instrumentés avec des accéléromètres, préparez deux autres échantillons simulant des structures à cadre simples avec des colonnes flexibles et des sols rigides.

Pour ces démonstrations, une table vibrante de table à commande électrique avec un seul degré de liberté sera utilisée. Un ordinateur contrôle numériquement le déplacement de la table et génère des ondes sinusoïdales périodiques ou des accélérations aléatoires. La fonction de forçage d’entrée peut être vérifiée en la comparant à la sortie d’un accéléromètre fixé à la table.

Tout d’abord, montez soigneusement les quatre structures en porte-à-faux sur la table vibrante à l’aide de boulons fixés à la base du modèle. Allumez ensuite la table vibrante et, à l’aide du logiciel, augmentez lentement la fréquence, jusqu’à ce que la réponse maximale de la structure soit obtenue. Enregistrez dans un carnet la valeur de cette fréquence. Continuez à augmenter la fréquence jusqu’à ce que les déplacements de tous les porte-à-faux diminuent considérablement.

Maintenant, montez la structure du modèle à un étage sur la table vibrante et répétez la procédure. Balayez lentement les fréquences jusqu’à ce que la résonance soit atteinte. Ensuite, réinitialisez le logiciel pour exécuter un historique de temps d’accélération du sol typique afin d’afficher les mouvements aléatoires qui se produisent lors d’un tremblement de terre. Remplacez le modèle à un étage sur la table vibrante par la structure à deux étages et répétez la procédure. Notez que deux fréquences propres se produisent dans ce cas. Enregistrez dans un carnet les valeurs de ces fréquences.

Effectuons maintenant l’analyse des données et discutons de nos résultats.

Tout d’abord, déterminez la fréquence à laquelle le déplacement maximal s’est produit pour chaque modèle. Dans le cas d’une poutre en porte-à-faux, la masse équivalente est donnée par la masse en haut et la masse distribuée de la poutre. La rigidité k est l’inverse de la déformation delta, provoquée au sommet du porte-à-faux par une force unitaire, où L est la longueur de la poutre et E est le module d’élasticité.

Ici, I est le moment d’inertie qui peut être facilement calculé si la largeur b et l’épaisseur h du faisceau sont connues. Placez les données dans un tableau, puis calculez les fréquences circulaires naturelles. À l’aide de ces valeurs, calculez les périodes de mouvement prévues pour les poutres en porte-à-faux testées.

Ensuite, regardez la réponse en fonction du déplacement en fonction du temps enregistrée dans cette expérience, et déterminez à partir de ces graphiques les périodes de mouvement correspondantes de la poutre en porte-à-faux. Ajoutez ces périodes mesurées au tableau et comparez-les avec les valeurs théoriques.

Les différences entre la théorie et l’expérience sont dues à plusieurs sources d’erreurs. Tout d’abord, les poutres ne sont pas fixées de manière rigide à la base en bois, et la flexibilité supplémentaire à la base augmente la durée de la structure. Deuxièmement, l’amortissement n’a pas été pris en compte dans les calculs, car il est très difficile à mesurer et dépend de l’amplitude.

Dans cette expérience, nous avons enregistré l’historique du déplacement en fonction du temps du faisceau lorsque la table de secousse a été soumise à une déformation sinusoïdale variable avec une amplitude initiale d’un pouce. À partir de ces graphiques, extrayez la valeur maximale de chaque fréquence et tracez l’amplitude du déplacement en fonction de la fréquence normalisée.

Jetez maintenant un coup d’œil à votre parcelle. Au départ, il n’y a pas eu beaucoup de réponse, car l’apport d’énergie du mouvement de la table n’excite pas le modèle. Lorsque la fréquence normalisée se rapproche de un, il y a une augmentation très significative de la réponse, les déformations devenant assez importantes. Le nombre maximum de réponses a atteint un niveau très proche de un. Lorsque la fréquence normalisée augmente au-delà de un, la réponse dynamique commence à s’estomper. Une grande valeur de la fréquence normalisée correspond à la situation où la charge est appliquée très lentement par rapport à la fréquence propre du porte-à-faux et où la déformation doit devenir égale à celle d’une charge appliquée statiquement.

La dynamique structurelle est largement utilisée dans la conception et l’analyse de bâtiments, de produits et d’équipements dans de nombreux secteurs.

La conception de structures résistantes aux dommages causés par les tremblements de terre a considérablement progressé au cours des 50 dernières années. De nos jours, les résultats des travaux expérimentaux, ainsi que des études analytiques, sont corroborés dans des dispositions de code de conception qui améliorent la capacité des structures à résister à des charges inattendues lors d’un événement sismique.

Une réponse dynamique facilement observable d’une structure aux charges de vent est celle des feux de signalisation en porte-à-faux. Lorsque le vent circule sur la structure, le régime des vents est perturbé et des tourbillons sont générés par un phénomène connu sous le nom de délestage de vortex. Ces tourbillons induisent des forces perpendiculaires à la direction du vent, ce qui entraîne un déplacement vertical cyclique du bras en porte-à-faux et, par conséquent, des dommages potentiels par fatigue de la structure.

Vous venez de regarder l’introduction de JoVE à la dynamique des structures. Vous devez maintenant comprendre les principes théoriques régissant le comportement d’une structure soumise à des charges dynamiques. Vous devez également savoir comment utiliser une table de secousses pour effectuer une analyse dynamique de la structure d’un modèle.

Merci d’avoir regardé !