7.9: המודל הקוונטום-מכני של האטום

Shortly after de Broglie published his ideas that the electron in a hydrogen atom could be better thought of as being a circular standing wave instead of a particle moving in quantized circular orbits, Erwin Schrödinger extended de Broglie’s work by deriving what is now known as the Schrödinger equation. When Schrödinger applied his equation to hydrogen-like atoms, he was able to reproduce Bohr’s expression for the energy and, thus, the Rydberg formula governing hydrogen spectra. Schrödinger described electrons as three-dimensional stationary waves, or wavefunctions, represented by the Greek letter psi, ψ. 

A few years later, Max Born proposed an interpretation of the wavefunction ψ that is still accepted today: Electrons are still particles, and so the waves represented by ψ are not physical waves but, instead, are complex probability amplitudes. The square of the magnitude of a wavefunction ∣ψ∣² describes the probability of the quantum particle being present near a certain location in space. This means that wavefunctions can be used to determine the distribution of the electron’s density with respect to the nucleus in an atom. In the most general form, the Schrödinger equation can be written as:

where, Ĥ is the Hamiltonian operator, a set of mathematical operations representing the total energy (potential plus kinetic) of the quantum particle (such as an electron in an atom), ψ is the wavefunction of this particle that can be used to find the special distribution of the probability of finding the particle, and  E  is the actual value of the total energy of the particle.

Schrödinger’s work, as well as that of Heisenberg and many other scientists following in their footsteps, is generally referred to as quantum mechanics.

The quantum mechanical model describes an orbital as a three-dimensional space around the nucleus within an atom, where the probability of finding an electron is the highest. 

This text is adapted from Openstax, Chemistry 2e, Section 6.3: Development of Quantum Theory.

נזכיר כי טבע החלקיקים וטבע הגל של אלקטרון, ובהרחבה מיקומו ומהירותו, הם תכונות משלימות. כמו כן, מכיוון שאנרגיה קינטית היא פונקציה של מהירות, מיקום ואנרגיה גם הם תכונות משלימות. לכן, כשהאנרגיה של אלקטרון ידועה במידת ודאות גבוהה, מיקומו ידוע בפחות ודאות.

במקום זאת, מיקומו של האלקטרון מתואר על ידי צפיפות הסתברות של אלקטרונים, שממפה את הסתברות למצוא אלקטרון ברמת אנרגיה מסוימת. בייצוג זה, האלקטרון נוטה יותר להיות קרוב לאטום הגרעין מאשר הרחק ממנו. האנרגיות ופיזור ההסתברות של אלקטרון נובעות מתמטית מפיתרון של משוואת שרדינגר, משוואה המשלבת גם את טבע הגל וגם את הטבע החלקיקי של האלקטרון.

כאן, E היא האנרגיה בפועל של האלקטרון, H הוא אופרטור מתמטי ו-psi הוא פונקציית גל. פתרון משוואת שרדינגר מניב פונקציות גל אפשריות רבות. אך הריבוע של פונקציית הגל, psi_squared, הוא זה המייצג את ההסתברות של הצפיפות האלקטרונית.

צפיפות הנקודות היא ביחס ישר להסתברות ליחידת נפח של איתור האלקטרון במיקום מסוים. גרף של psi_squared ביחס ל-r המרחק מגרעין האטום מציגה היכן הכי סביר למצוא אלקטרון באטום. ככל שהערך של psi_squared גדול יותר, כך גדל הסיכוי למצוא את האלקטרון.

מפה מסוימת זו מייצגת את צפיפות ההסתברות של מימן, שיש לו אלקטרון אחד. האזור התלת ממדי, שבו יש את ההסתברות הגבוהה ביותר למציאת אלקטרון ברמת אנרגיה מסוימת נקרא אורביטל"לאורביטלים צורות שונות, החל מכדורית ועד לצורות מורכבות יותר, תלוי בערכים של המספרים הקוונטים שלהן. אורביטלים אלה אינם זהים לאורביטלים שתוארו תחילה על ידי בוהר במודל האטומי שלו.

במודל של בוהר, האורביטלים מייצגים רמות אנרגיה מוגדרות. לכן, המודל המכני הקוונטי של האטום, שמבוסס על הסתברויות, הוא הייצוג העכשווי ביותר של מבנה אטומי. הוא מספק ייצוג מדויק יותר של האטום על ידי תיאור ההסתברות של צפיפות האלקטרונים כ"ענן"של אלקטרונים המקיף את הגרעין.