משפט הדגימה

בעיבוד אותות, ניתוח של אותות רציפים בזמן, המסומנים כ-(x(t, כרוך לעיתים קרובות בטכניקות דגימה על מנת להמיר את האותות הללו לאותות בדידים בזמן. תהליך זה חיוני לייצוג דיגיטלי ולעיבוד של האותות. מרכיב מרכזי בדגימה הוא רכבת ההלמים, המאופיינת באמצעות מרווחי הדגימה ותדר הדגימה. הקשר בין פרמטרים אלו לבין תכונות האות המקורי קובע את הצלחת תהליך הדגימה.

כפל של האות הרציף ברכבת ההלמים יוצר סדרת פולסים בדידים. פעולה זו יוצרת אות דגום, שניתן לנתח במישור התדר באמצעות התמרת פורייה. התמרת פורייה מגלה שהספקטרום של האות הדגום מורכב ממספר עותקים מוזזים של ספקטרום האות המקורי. העותקים הספקטרליים הללו ממוקמים במרווחים השווים לתדר הדגימה.

עקרון בסיסי בתורת הדגימה הוא שכדי למנוע חפיפה בין העותקים המוזזים הללו, על תדר הדגימה להיות גבוה מספיק. בפרט, תדר הדגימה fsf_sfs​ חייב להיות גדול לפחות פי שניים מהתדר הגבוה ביותר באות המקורי, תנאי הידוע כקצב נייקוויסט. כאשר fsf_sfs​ עומד בתנאי זה או עולה עליו, העותקים הספקטרליים אינם חופפים, מה שמבטיח שניתן לשחזר את האות המקורי באופן מדויק מהדגימות שלו. דרישה זו טבועה במשפט הדגימה, הקובע שבשביל אות חסום פס, תדר הדגימה חייב להיות לפחות כפול מהתדר הגבוה ביותר באות.

כאשר אות נדגם בתדר גבוה יותר מקצב נייקוויסט, הוא נחשב כבעל דגימת יתר. דגימת יתר יכולה לספק יתרונות כמו הפחתת רעש ותכנון פשוט יותר של מסננים דיגיטליים. לעומת זאת, אם קצב הדגימה נמוך מקצב נייקוויסט, האות נחשב כמדולל , מה שמוביל לתופעה הידועה כקיפול תדרים (aliasing). קיפול תדרים גורם לרכיבי תדר שונים להפוך לבלתי ניתנים להבחנה זה מזה, מה שמעוות את האות המשוחזר.

ביישומים מעשיים, עמידה בקצב נייקוויסט היא תנאי חיוני לייצוג דיגיטלי מדויק ולשחזור של אותות אנלוגיים. עקרון זה עומד בבסיסן של טכנולוגיות רבות, כולל אודיו דיגיטלי, תקשורת, ודימות רפואי, ומבטיח שניתן לדגום, לעבד ולשחזר אותות מבלי לאבד מידע חיוני.