הקשר בין DFT להתמרת Z

התמרת פורייה בדידה (DFT) מנתחת את תכולת התדר של אותות זמן בדידים.

הוא ממפה את רצף תחום הזמן הבדיד שנדגם N לרצף תחום התדר הבדיד שלו, כאשר k מייצג את אינדקס התדרים מ-0 עד N פחות אחד.

עבור רצף זמן בדיד, התמרת z מוגדרת על ידי סיכום מונחי הרצף כפול חזקות של ההופכי של z.

שקול את התמרת z של רצף בדיד. עבור רצף סיבתי, התמרת z מפשטת לסיכום סופי.

על ידי דגימת התמרת z בנקודות במרווחים שווים על חוג היחידה, המיוצגות על ידי מעריכיים מרוכבים, ערכים אלה מוחלפים בהתמרת z.

הביטוי המתקבל תואם את ההגדרה של DFT, ומראה כי DFT של הרצף הוא גרסה מדוגמת של התמרת z שלו על מעגל היחידה.

DFT היא גרסה מדוגמת של התמרת z המוערכת בנקודות ספציפיות על מעגל היחידה במישור המרוכב, המקשרת רצפי תחום זמן לייצוגי תחום התדר שלהם.

זה מראה כי DFT הוא מקרה ספציפי של התמרת z המוערכת על מעגל היחידה.