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Legge di gravitazione universale di Newton

Newton’s Law of Universal Gravitation

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Physics I

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Newton’s Law of Universal Gravitation

1.2: Force and Acceleration

1.13: Energy and Work

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07:32 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

La leggenda narra che Isaac Newton vide una mela cadere da un albero. Notò l’accelerazione della mela e dedusse che doveva esserci stata una forza che agiva sulla mela. Ha poi ipotizzato che se la gravità può agire in cima all’albero, può anche agire a distanze ancora maggiori. Osservò il moto della luna e le orbite dei pianeti e alla fine formulò la legge universale di gravitazione. La legge afferma che ogni particella nell’universo attrae ogni altra particella con una forza proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro. Questa forza agisce lungo la linea che unisce le due particelle.

L’accelerazione gravitazionale g, che è l’accelerazione che un oggetto sulla superficie della Terra sperimenta a causa della forza gravitazionale della Terra, sarà misurata in questo laboratorio. Conoscere con precisione questo valore è estremamente importante, in quanto descrive l’entità della forza gravitazionale su un oggetto sulla superficie della Terra.

Principles

La forza gravitazionale F tra due masse m₁e m₂, con i loro centri di massa separati da una distanza r, può essere scritta come:

F = Gm₁m₂_{/ r}²r^{^}, (Equazione 1)

dove sono^{^} denota che la direzione della forza è puntata radialmente verso l’interno. La seguente descrizione indagherà la forza gravitazionale tra la Terra e un oggetto di massa m sulla sua superficie. Usando la seconda legge di Newton, F = m a, la forza sulla massa m dovuta alla gravità terrestre può essere scritta come:

ma = Gm m_E/ r² r^{^}, (Equazione 2)

dove G è una costante universale di proporzionalità che è stata misurata sperimentalmente e m_E è la massa della Terra. In questo contesto, il vettore di accelerazione è tipicamente indicato come uno scalare g, con una direzione implicita che punta radialmente verso l’interno, verso il centro della Terra. Per le persone in piedi a terra, questa direzione è semplicemente indicata come “giù”. Annullamento della massa m su entrambi i lati dell’equazione; sostituendo g con a; e notando che la distanza tra i centri di massa degli oggetti è solo il raggio della Terra, r_E, la grandezza della forza verso il basso può essere riscritta come:

g = G m_E / r²_E. (Equazione 3)

Nel famoso esempio della mela che cade da un albero, la Terra sta esercitando una forza sulla mela per farla cadere, e la mela sta esercitando una forza uguale e opposta sulla terra, data dall’equazione 1. La ragione per cui la Terra non è essenzialmente influenzata dalla forza della mela sulla Terra è che la massa della Terra è molto più grande di quella della mela. Per gli oggetti più grandi, è necessaria una forza maggiore per farli accelerare. Così, la mela cade verso la Terra, non la Terra verso la mela. Allo stesso modo, per le persone in piedi a terra, la Terra sta esercitando una forza ancora più grande su di loro che sulla mela. Il popolo esercita una forza uguale e opposta sulla Terra. Ancora una volta, poiché la Terra è molto più massiccia di una persona, la forza gravitazionale che una persona, o anche molte persone, esercitano sulla Terra passa essenzialmente inosservata.

Questo laboratorio dimostrerà come misurare l’accelerazione g, data nell’equazione 3. Poiché tutte le quantità sul lato destro di questa equazione sono note, il valore misurato di g può essere confrontato con il loro prodotto. I valori per g e G sono noti dagli esperimenti per essere 9,8 m/s² e 6,67 x 10^-11 Nm²/kg².

Per questo laboratorio, verrà lasciata cadere una palla e verrà misurato il tempo necessario alla palla per percorrere una distanza nota. Dalla cinematica, la distanza y può essere scritta come:

y = y₀ + v₀t + 1/2 a t². (Equazione 4)

Se la palla viene lasciata cadere dal riposo e l’accelerazione a è solo l’accelerazione gravitazionale, questa diventa:

y-y₀ = 1/2 g t². (Equazione 5)

Equivalentemente:

g = 2d / t², (Equazione 6)

dove d = y – y₀ è la distanza totale percorsa. G sarà ora determinato sperimentalmente.

Procedure

1. Misurare l’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre.

Ottieni una palla, un bastone da metro, due cancelli di cronometraggio e tre morsetti.
Utilizzare un morsetto per fissare il bastone del misuratore a un tavolo o un’altra superficie robusta leggermente da terra.
Utilizzare gli altri due morsetti per collegare i cancelli di distribuzione alla parte superiore e inferiore del bastone del misuratore. Assicurarsi che ogni sensore sia allineato con l’estremità della levetta del misuratore. In questo modo, d è noto per essere 1 m nell’equazione 6.
Una volta verificato che i cancelli di cronometraggio funzionano correttamente, lascia cadere la palla attraverso i due cancelli di cronometraggio e registra l’ora. Assicurati che la palla sia caduta dal riposo; in caso contrario, l’equazione 6 non è più valida.
Ripetere il passaggio 1.4 cinque volte e prendere il tempo medio.
Utilizzare il valore medio di t per calcolare g. Confronta questo con il valore ottenuto quando usi la massa e il raggio della Terra nell’equazione 3.

La Legge di Gravitazione Universale fu il culmine di anni di sforzi da parte di Isaac Newton per comprendere la forza di attrazione tra le masse.

Secondo la leggenda, quando Newton vide una mela cadere da un albero dedusse che una forza doveva attirare la mela sulla Terra. Se questa forza potesse agire in cima a un albero, potrebbe agire a distanze ancora maggiori. A quel tempo, stava studiando le orbite della luna e dei pianeti e alla fine formulò la legge di gravitazione universale per spiegare il loro moto.

La legge di gravitazione universale di Newton afferma che ogni particella nell’universo attrae ogni altra particella con una forza proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro.

Questo video mostrerà come misurare sperimentalmente l’accelerazione dovuta alla gravità e confrontarla con il valore teorico dell’equazione che definisce la forza gravitazionale.

Prima di approfondire l’esperimento, esaminiamo i principi alla base della Legge di Gravitazione Universale. La forza gravitazionale della Terra sulla luna è uguale in magnitudine e opposta in direzione alla forza della luna sulla Terra. Questa forza FG agisce lungo la linea unendo i loro centri di massa.

Secondo la legge di gravità, FG è uguale a G – la costante gravitazionale universale, volte il prodotto delle due masse, diviso per il quadrato di r, che è la distanza tra i loro centri di massa.

Con questa espressione, è possibile calcolare la forza gravitazionale che la Terra esercita su un oggetto a qualsiasi distanza, anche vicino o sulla sua superficie. Nel caso della mela che cade da un albero, diciamo che la massa della mela è m, la massa della Terra è mE e il raggio è rE.

La seconda legge del moto di Newton afferma che la forza è uguale alla massa e all’accelerazione. Se combiniamo questa equazione, applicata alla mela, con la legge di gravità, possiamo annullare la massa della mela m da entrambi i lati. In questo contesto, l’accelerazione è tipicamente indicata dalla lettera g

Ora, la forza gravitazionale sulla mela è data dalla Legge di Gravitazione Universale, ma dalla seconda legge del moto, questa forza può anche essere espressa come mg. Come abbiamo visto in precedenza con l’esempio della Terra e della Luna, la forza della Terra sulla mela è la stessa della forza della mela sulla Terra. Ma perché vediamo solo la mela cadere verso la Terra? Perché non vediamo la Terra muoversi verso la mela?

Se guardiamo indietro alla seconda legge del moto di Newton, possiamo riorganizzarla per mostrare che l’accelerazione è uguale alla forza divisa per la massa. Cioè, per una data forza l’accelerazione è inversamente proporzionale alla massa. Poiché la Terra è molto più massiccia della mela, l’accelerazione della Terra verso la mela è insignificante ed essenzialmente non rilevabile. Ed è per questo che la mela cade dall’albero.

Tornando all’equazione di gravitazione per g, poiché tutti i valori sul lato destro – la costante gravitazionale universale, la massa della terra e il raggio della terra – sono noti per un oggetto vicino alla superficie terrestre, la magnitudine di g è anche il valore standard, che è di 9,8 metri al secondo al quadrato.

Tuttavia, questo valore può essere calcolato sperimentalmente semplicemente facendo cadere una palla da un’altezza nota e applicando le equazioni cinematiche. E dimostreremo come farlo nelle sezioni seguenti.

Questo esperimento utilizza una sfera di metallo, un bastone del metro, un sensore da cui la palla sarà sospesa, un altro sensore su cui atterrerà la palla, un timer collegato a entrambi i sensori, un morsetto e un supporto per aste. Innanzitutto, utilizzare il morsetto per fissare il sensore a sfera all’asta, almeno 0,5 metri sopra la superficie del tavolo. Quindi, posizionare il secondo sensore direttamente sotto il primo sensore.

Quindi, misurare la distanza tra i sensori superiore e inferiore. La distanza deve essere misurata rispetto al fondo della palla.

Ora, rilascia la palla dal sensore in modo che cada sul sensore inferiore e registra l’ora.

Ripetere questa procedura cinque volte e quindi calcolare il tempo medio di caduta

Dal video cinematico di questa raccolta, sappiamo che questa formula descrive la posizione nel movimento unidimensionale di un oggetto con accelerazione costante.

Poiché abbiamo a che fare con la gravitazione terrestre, l’accelerazione in questo caso è l’accelerazione dovuta alla gravità, o g. E la velocità iniziale è zero, poiché la palla era a riposo prima del drop. Quindi, se spostiamo la posizione iniziale su un altro lato dell’equazione, il lato sinistro diventa y meno y0, che non è altro che d – la distanza tra il punto di misura iniziale e finale. Ora possiamo riorganizzare l’equazione per g.

Per questo esperimento, d era di 0,72 metri e il tempo medio di caduta libera era di 0,382 secondi. L’accelerazione gravitazionale sperimentale risultante è di 9,9 metri al secondo al quadrato. Esperimento e teoria differiscono solo di circa l’1%, il che indica che la legge di gravitazione universale di Newton è un’ottima descrizione dell’attrazione gravitazionale.

La Legge Universale di Gravitazione è coinvolta in calcoli eseguiti da diversi rami dell’ingegneria.

Il ramo dell’ingegneria meccanica chiamato statica si occupa delle forze su oggetti stazionari, come i ponti. Gli ingegneri che progettano ponti usano la statica, e in particolare l’equazione F = mg, durante il loro lavoro per analizzare i carichi strutturali.

Una missione di mappatura gravitazionale della NASA utilizza due satelliti identici: uno in testa, un altro in orbita attorno alla Terra insieme. Quando il satellite principale passa sopra una calotta glaciale o un’altra concentrazione di massa, accelera a causa di una forza di attrazione relativamente più grande. Il satellite finale sperimenta un’accelerazione simile quando passa sopra la stessa area.

Un sistema di gamma misura come e dove la distanza cambia tra di loro, fornendo informazioni sulla distribuzione delle concentrazioni di massa intorno alla Terra.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE alla legge di gravitazione universale di Newton. Ora dovresti sapere come determinare la forza gravitazionale tra due masse e capire come calcolare l’accelerazione dovuta alla forza di gravità sulla superficie terrestre. Grazie per l’attenzione!

Results

Il valore di g misurato dalla procedura sperimentale è mostrato nella Tabella 1. Il tempo di caduta libera dal passo 1.4 è registrato nella prima colonna della Tabella 1. Il valore misurato di g viene quindi calcolato utilizzando l’equazione 6. L’accuratezza di questo valore può essere verificata confrontandolo con il valore di g calcolato dall’equazione 3 utilizzando i seguenti valori: G = 6,67 x^{10 -11} m³kg^-1s^-2, m_E= 5,98 x 10²⁴ kg e r_E = 6,38 x 10³ km. Questo confronto è mostrato anche nella Tabella 1 con una differenza percentuale. La differenza percentuale è calcolata come:

| valore misurato – valore atteso | / valore atteso. (Equazione 7)

Una bassa differenza percentuale indica che la legge di gravitazione universale di Newton è un’ottima descrizione della gravità.

Tabella 1. Risultati.

Tempo di caduta libera (s)	Misurato g	Calcolato g	Differenza %
0.45	9.88	9.79	0.9

Applications and Summary

Il ramo della meccanica che si occupa dell’analisi delle forze su oggetti che non si muovono è chiamato statica. Gli ingegneri che costruiscono edifici e ponti utilizzano la statica per analizzare i carichi sulle strutture. L’equazione F = mg viene utilizzata in questo campo, quindi una misurazione accurata di g è estremamente importante in questo caso. La legge di gravitazione universale di Newton è usata dalla NASA per esplorare il sistema solare. Quando inviano sonde su Marte e oltre, usano la legge universale di gravitazione per calcolare le traiettorie dei veicoli spaziali con un livello di precisione molto elevato. Alcuni scienziati sono interessati a fare esperimenti in ambienti a gravità zero. Per raggiungere questo obiettivo, gli astronauti sulla Stazione Spaziale Internazionale eseguono esperimenti per loro. La stazione spaziale si trova in un’orbita stabile attorno alla Terra a causa della nostra comprensione della legge universale di gravitazione.

In questo esperimento, è stata misurata l’accelerazione gravitazionale di un oggetto sulla superficie della Terra. Usando una palla con due cancelli di cronometraggio attaccati a un bastone del metro, è stato misurato il tempo necessario alla palla per viaggiare a 1 m dal riposo. Usando equazioni cinematiche, l’accelerazione g è stata calcolata e si è trovata molto vicina al valore accettato di 9,8 m/s².

Transcript

The Law of Universal Gravitation was the culmination of years of effort by Isaac Newton to understand the force of attraction between masses.

According to legend, when Newton saw an apple dropping from a tree he deduced that a force must draw the apple to the Earth. If this force could act at the top of a tree, it could act at even greater distances. At the time, he was studying the orbits of the moon and planets and eventually formulated the law of universal gravitation to explain their motion.

Newton’s law of universal gravitation states that every particle in the universe attracts every other particle with a force proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them.

This video will show how to experimentally measure the acceleration due to gravity and compare it to the theoretical value from the equation defining gravitational force.

Before delving into the experiment, let’s examine the principles behind the Law of Universal Gravitation. The gravitational force of the Earth on the moon is equal in magnitude and opposite in direction to the force of the moon on the Earth. This force FG acts along the line joining their centers of mass.

According to the law of gravity, FG equals G – the universal gravitational constant, times the product of the two masses, divided by the square of r, which is the distance between their centers of mass.

With this expression, it is possible to calculate the gravitational force Earth exerts on an object at any distance, including near or at its surface. In the case of the apple falling from a tree, let’s say that the apple’s mass is m, the Earth’s mass is mE and the radius is rE.

Newton’s second law of motion states that force equals mass times acceleration. If we combine this equation, applied to the apple, with the law of gravity, we can cancel the apple’s mass m from both sides. In this context, acceleration is typically denoted by the letter g

Now, the gravitational force on the apple is given by the Law of Universal Gravitation, but from the second law of motion, this force may also be expressed as mg. As we saw earlier with the Earth and moon example, the force of the Earth on the apple is the same as the force of the apple on the Earth. But why do we only see the apple fall toward the Earth? Why do we not see the Earth move toward the apple?

If we look back at Newton’s second law of motion, we can rearrange it to show that acceleration is equal to force divided by mass. That is, for a given force acceleration is inversely proportional to mass. Because the Earth is so much more massive than the apple, the acceleration of the Earth toward the apple is insignificant and essentially undetectable. And that’s why the apple falls from the tree.

Going back to the gravitation equation for g, since all the values on the right hand side – the universal gravitational constant, the mass of the earth and the radius of the earth — are known for an object close to earth’s surface, the magnitude of g is also standard value, which is 9.8 meters per second squared.

However, this value can be calculated experimentally simply by dropping a ball from a known height and applying the kinematical equations. And we will demonstrate how to do that in the following sections.

This experiment uses a metal ball, a meter stick, one sensor from which the ball will be suspended, another sensor on which the ball will land, one timer connected to both sensors, one clamp, and one rod-stand. First, use the clamp to attach the ball sensor to the rod, at least 0.5 meters above the surface of the table. Then, place the second sensor directly below the first sensor.

Next, measure the distance between the top and bottom sensors. The distance should be measured with respect to the bottom of the ball.

Now, release the ball from the sensor so it falls onto the lower sensor and record the time.

Repeat this procedure five times and then calculate the average fall time

From the kinematics video in this collection, we know that this formula describes position in one-dimensional motion of an object with constant acceleration.

Since we are dealing with Earth’s gravitation, the acceleration in this case is the acceleration due to gravity, or g. And the initial velocity is zero, since the ball was at rest before the drop. So if we move the initial position to other side of the equation, the left side becomes y minus y0, which is nothing but d – the distance between the initial and final measure point. Now we can rearrange the equation for g.

For this experiment, d was 0.72 meters and the average free fall time was 0.382 seconds. The resulting experimental gravitational acceleration is 9.9 meters per second squared. Experiment and theory differ only by about 1%, which indicates that Newton’s Law of Universal Gravitation is a very good description of gravitational attraction.

The Universal Law of Gravitation is involved in calculations performed by different branches of engineering.

The branch of mechanical engineering called statics is concerned with the forces on stationary objects, like bridges. Engineers designing bridges use statics, and especially the equation F = mg, throughout their work to analyze structural loads.

A NASA gravity-mapping mission uses two identical satellites-one leading, another trailing-orbiting Earth together. When the leading satellite passes over an ice cap or other mass concentration, it accelerates due to relatively larger force of attraction. The trailing satellite experiences similar acceleration when it passes over the same area.

A ranging system measures how and where the distance changes between them, providing information about the distribution of mass concentrations around the Earth.

You’ve just watched JoVE’s introduction to Newton’s law of universal gravitation. You should now know how to determine the gravitational force between two masses, and understand how to calculate the acceleration due to the force of gravity at the Earth’s surface. Thanks for watching!