원형 관 내의 정상, 층류

하겐-푸아수이유 흐름은 일정한 반경 R을 가진 원통형 관을 통과하는 점성 유체의 정상적이고 압축 불가능한 흐름을 설명합니다. 이 흐름 프로파일은 모세관과 같은 좁은 채널에서 유체 이동을 이해하는 데 자주 적용됩니다. 이는 층류의 기초적인 예입니다. 이 모델에서 원통형 좌표(r,θ,z)는 관 내의 반경(r), 각도(θ), 축(z) 치수를 설명하는 데 사용됩니다. 하겐-푸아수이유 흐름의 경우 속도 프로파일은 순전히 축 방향입니다. 즉, 속도 벡터는 z축을 따라서만 가리키고 관 중심에서 반경 거리 r에 따라서만 변합니다.

유체 운동의 지배 방정식인 나비에-스토크스 방정식은 이러한 조건에서 단순화됩니다. 각속도 또는 반경속도 성분이 없으면 축속도 v_z(r)은 r만의 함수로 나타납니다. 축소된 나비에-스토크 방정식을 풀면 포물선 속도 프로파일이 생성됩니다.

이 프로파일은 점성 저항이 중앙에서 최대에서 관 벽에서 0으로 유체 속도를 감소시킨다는 것을 보여줍니다. 미끄러짐 없는 조건이라고 알려진 경계에서의 이 0 속도는 유체와 관 벽 사이의 마찰로 인해 발생합니다. 결과적으로 흐름은 층류이며 유체 입자는 측면 혼합 없이 평행한 층으로 이동합니다.

관의 단면적에 대한 속도 프로파일을 적분하면 푸아죄유 법칙이라고 알려진 체적 유량 Q가 생성됩니다.

여기서 ΔP는 관 길이 L에 걸친 압력 차이이고 μ는 유체의 동적 점도입니다. 이 관계는 Q가 관의 반경에 매우 민감하여 R의 4제곱에 따라 증가함을 보여줍니다. 따라서 반경이 약간만 증가하더라도 유량이 크게 증가하는데, 이는 유체 수송 응용 분야에서 중요한 원리입니다.

푸아죄유 법칙에 따르면 유체의 평균 속도 V는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이 평균 속도는 관 중앙의 최대 속도의 정확히 절반으로, 포물선 속도 분포를 확인하고 원통형 관에서 층류의 예측 가능한 계층적 특성을 보여줍니다.