Pomiary naukowe i umiejętności laboratoryjne

Wykresy dwuwymiarowe

Niektóre eksperymenty chemiczne przyjmują formę bezpośredniej zmiany jednej właściwości badanego układu, zwanej inaczej zmienną niezależną, taką jak temperatura, i mierzenia wpływu na inną właściwość, znaną również jako zmienna zależna, taka jak objętość. Po zebraniu danych interakcja między tymi dwoma parametrami musi zostać określona ilościowo — lub przekształcona w postać, którą można ocenić — i porównana z innymi relacjami.

Wykresy dwuwymiarowe mogą być używane do wyprowadzania pewnych typów zależności matematycznych między dwiema właściwościami lub do ustalenia, że taka zależność nie istnieje między nimi. Analiza ostatecznie określi, jak zmienia się zmienna zależna w odpowiedzi na zmienną niezależną. W przykładzie regulacji temperatury cieczy lub gazu i monitorowania zmian jego objętości temperatura jest zmienną niezależną, a objętość jest zmienną zależną.

Aby utworzyć wykres dwuwymiarowy, każdy punkt danych musi mieć wartość znaną jako współrzędna zarówno dla zmiennych zależnych, jak i niezależnych. Zmienna niezależna jest wykreślana na osi x, a zmienna zależna jest wykreślana na osi y. Wykresy te można łatwo wykonać w oprogramowaniu do arkuszy kalkulacyjnych, które można również wykorzystać do analizy wykreślonych danych.

Dopasowanie krzywej

Po wykreśleniu zestawu danych na wykresie dwuwymiarowym, dopasowanie krzywej może być użyte do wygenerowania równania lub funkcji dla zmiennej zależnej pod względem zmiennej niezależnej. Funkcje reprezentują model matematyczny, który najlepiej modeluje dane, z których pochodzi. Dopasowywanie krzywej to technika znajdowania funkcji, która tworzy linię, która jest dobrze dopasowana do wzorca punktów danych. Oprogramowanie do arkuszy kalkulacyjnych zawiera różne narzędzia do dopasowywania krzywych, które są określane jako "najlepsze dopasowanie". Jest to zwykle liniowa analiza regresji metodą najmniejszych kwadratów, chociaż większość programów oferuje również nieliniową regresję metodą najmniejszych kwadratów.

Precyzję najlepiej dopasowanego równania liniowego można sprawdzić, wstawiając wartości x dla punktów danych i porównując "teoretyczne" wyniki równania z rzeczywistymi wartościami y punktów danych. Oprogramowanie do obsługi arkuszy kalkulacyjnych zazwyczaj oblicza wartość współczynnika determinacji (R²) dla funkcji, co pokazuje, jak dobrze funkcja pasuje do punktów danych. Im wartość R² jest bliższa 1, tym lepsze dopasowanie do regresji liniowej. Inne funkcje mają bardziej wyspecjalizowane metody określania, jak dobrze funkcja jest dopasowana do danych.

Wyznaczenie niepewności wartości zależnych obliczonych na podstawie funkcji najlepszego dopasowania wymagałoby skomplikowanych technik "propagacji błędów". Możliwe jest jednak obliczenie niepewności w równaniu w postaci odchylenia standardowego zarówno dla nachylenia, jak i punktu przecięcia z osią y funkcji najlepszego dopasowania. Zwykle odbywa się to za pomocą innego narzędzia niż to, które służy do generowania wykresu dwuwymiarowego.

odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe opisuje stopień zmienności występującej w zestawie wartości. Odchylenie standardowe populacji (σ) jest używane, gdy istnieją dane od każdego członka skończonej populacji, takie jak masa każdej kulki w worku kulek. Przykładowe odchylenie standardowe (s) jest używane we wszystkich innych przypadkach i jest domyślnym obliczeniem odchylenia standardowego w oprogramowaniu do obsługi arkuszy kalkulacyjnych. ¹ Można założyć, że "odchylenie standardowe" odnosi się do odchylenia standardowego próbki.

Zakłada się, że błąd pomiaru losowy jest zgodny z mniej więcej "normalnym" rozkładem, gdzie około 68% zbioru wartości mieści się w zakresie jednego odchylenia standardowego po każdej stronie średniej, 95% wartości mieści się w zakresie dwóch odchyleń standardowych po każdej stronie średniej, a 99,7% wartości mieści się w zakresie trzech odchyleń standardowych po każdej stronie średniej. W związku z tym odchylenie standardowe jest użytecznym sposobem opisania błędu i niepewności.

Równanie odchylenia standardowego próbki jest następujące:

W tym równaniu N jest liczbą wartości; jest średnią (lub średnią) wartości, a x_i reprezentuje każdą pojedynczą wartość. Tak więc, aby ręcznie obliczyć odchylenie standardowe, oblicz średnią zbioru wartości, odejmij średnią od każdej wartości, podnieś każdą różnicę do kwadratu, dodaj różnice do kwadratu, podziel całkowitą sumę przez jeden mniej niż liczba wartości i weź pierwiastek kwadratowy z ilorazu. Im s jest bliższe zeru, tym mniejsza jest różnica między wartościami. Jeśli wartości są wprowadzane do arkusza kalkulacyjnego, odchylenie standardowe można obliczyć z poziomu oprogramowania.

Liczba cyfr znaczących w odchyleniu standardowym zależy od tego, dla jakich wartości jest ono przeznaczone. Podając odchylenie standardowe dla grupy punktów danych pobranych w tych samych warunkach, należy najpierw określić odpowiednią liczbę cyfr znaczących w wartości średniej. Odchylenie standardowe jest następnie zaokrąglane do tej samej liczby miejsc po przecinku co średnia. Dla zestawu objętości z czterema cyframi znaczącymi, średnią 15,361 ml i odchyleniem standardowym 0,2313, średnia i odchylenie standardowe zostaną podane jako 15,36 ml ± 0,23 ml.

W przypadku podawania odchylenia standardowego średniej i punktu przecięcia z osią y dla funkcji najlepszego dopasowania wyznaczonej za pomocą analizy metodą najmniejszych kwadratów, która jest zwykle stosowaną metodą w arkuszach kalkulacyjnych, pierwszym miejscem po przecinku z osią y jest ostatnia cyfra znacząca średniej lub punktu przecięcia z osią y. W związku z tym odchylenie standardowe należy zaokrąglić do jednego znaczącego miejsca po przecinku, a nachylenie lub punkt przecięcia z osią y należy zaokrąglić do odpowiedniego miejsca po przecinku. Na przykład, jeśli nachylenie wynosi 0,1691 L·^K-1 i ma odchylenie standardowe 0,00512, nachylenie powinno być zgłaszane jako 0,169 L·^K-1 ± 0,005 L·^K-1.

Jeśli odchylenie standardowe nachylenia lub punktu przecięcia z osią y jest o tyle mniejsze niż odpowiadająca mu wartość, że zastosowanie tej reguły dałoby nachyleniu lub punkt przecięcia z osią y więcej wartości znaczących, niż pozwalałyby na to pierwotne dane pomiarowe, należy wyznaczyć wartości znaczące nachylenia lub punktu przecięcia z osią y na podstawie wartości x i y i zaokrąglić odchylenie standardowe do jednej liczby znaczącej. Zatem dla nachylenia 0,1691 L·^K-1, odchylenia standardowego 0,0000512 oraz wartości x i y z czterema cyframi znaczącymi, nachylenie należy podać jako 0,1691 L·^K-1 ± 0,00005 L·^K-1. W takim przypadku nie ma nic złego w tym, że obliczona wartość i jej odchylenie standardowe mają różną liczbę miejsc po przecinku. Należy pamiętać, że metoda najmniejszych kwadratów używa zarówno wartości x, jak i y do obliczenia nachylenia i punktu przecięcia z osią y.

Podając odchylenie standardowe jako zakres niepewności, należy zwrócić szczególną uwagę na to, że niepewność odpowiada jednemu odchyleniu standardowemu. To mówi czytelnikowi, że istnieje około 68% szansy, że rzeczywista wartość pomiaru mieści się w tym zakresie średniej, przy założeniu rozkładu normalnego. Często bardziej odpowiednie może być podanie niepewności jako dwóch odchyleń standardowych od średniej, ponieważ zwiększa to prawdopodobieństwo do około 95%. Aby to zrobić, po prostu pomnóż odchylenie standardowe przez dwa, a następnie zaokrąglij je do odpowiedniej liczby cyfr znaczących.

Odwołania

1. Harris, D.C. (2015). Ilościowa analiza chemiczna. Nowy Jork, NY: W.H. Freeman and Company.

Przekształcanie wyników eksperymentów z punktów danych na reprezentacje wizualne, takie jak wykresy, jest niezbędne do określenia relacji między dwiema lub więcej właściwościami. Te właściwości są nazywane zmiennymi. Gdy istnieją dwie zmienne, wykres utworzony na podstawie danych nazywa się dwuwymiarowym. Wykres ma dwie osie. Zmienna niezależna jest wykreślana na osi x, a zmienna zależna jest wykreślana na osi y.

Weźmy na przykład te przykładowe dane dotyczące temperatury i objętości gazu. Objętość gazu zależy od temperatury. W ten sposób wykreślilibyśmy zmierzoną temperaturę na osi x i objętość na osi y.

Gdy istnieje kilka punktów danych o tej samej wartości x, na przykład gdybyśmy zmierzyli objętość kilka razy w jednej temperaturze, obliczamy również odchylenie standardowe tych pomiarów. Odchylenie standardowe jest wartością statystyczną, która wskazuje stopień zmienności występującej w zestawie wartości.

Odchylenie standardowe oblicza się przy użyciu tego wzoru, gdzie n to liczba punktów danych, x bar to średnia wartość punktów danych, a x_i reprezentuje każdy pojedynczy punkt danych. Odchylenie standardowe można obliczyć ręcznie lub arkusz kalkulacyjny może obliczyć je automatycznie. Im odchylenie standardowe jest bliższe 0, tym bliżej wartości średniej znajdują się punkty danych. Jeśli odchylenie standardowe jest równe 0, wszystkie wprowadzone punkty danych mają tę samą wartość.

Przyjrzyjmy się średnim wartościom i odchyleniom standardowym pomiarów objętości dla każdej temperatury w naszym zbiorze danych. Każdy zestaw punktów danych możemy podsumować jako średnią plus lub minus odchylenie standardowe. Wyznaczamy liczby znaczące dla każdej średniej na podstawie odpowiednich pomiarów i odpowiednio zaokrąglamy wartości średnie.

Odchylenie standardowe każdej grupy musi mieć taką samą liczbę miejsc dziesiętnych jak średnia, więc każde odchylenie standardowe zaokrąglamy do setnych miejsc. Aby graficznie określić relację między dwiema zmiennymi, możemy dopasować dane do funkcji najlepszego dopasowania.

Funkcja jest generowana automatycznie przez oprogramowanie arkusza kalkulacyjnego i może mieć postać liniowej linii trendu, funkcji wielomianowej lub funkcji wykładniczej lub logarytmicznej. W przypadku naszych danych dotyczących temperatury i objętości zależność jest liniowa. Tak więc punkty danych są dopasowywane za pomocą liniowej regresji metodą najmniejszych kwadratów. Twój arkusz kalkulacyjny zwróci równanie dla linii najlepszego dopasowania i wartości r-kwadrat. Im wartość r-kwadrat jest bliższa 1, tym lepsze dopasowanie danych.

Następnie możesz użyć arkusza kalkulacyjnego, aby znaleźć odchylenia standardowe nachylenia, punkt przecięcia z osią y i obliczoną wartość y. Aby określić liczby znaczące dla wartości w równaniu, postępujemy zgodnie z prostą zasadą. Ostatnia znacząca cyfra każdej wartości odpowiada pierwszemu znaczącemu miejscu po przecinku jej odchylenia standardowego.

W ten sposób zaokrąglamy nachylenie do tysięcznych miejsc i punkt przecięcia z osią y do dziesiętnego miejsca, a następnie zaokrąglamy odchylenia standardowe, aby pasowały. Nasze nachylenie wynosi 0,167 +/- 0,003 litra na kelwin, a nasze przecięcie z osią y wynosi -40,6 +/- 1,2 litra. Każda obliczona wartość y zostanie zaokrąglona do dziesiętnego miejsca i wyniesie +/- 0,8 litra. Równanie to opisuje zależność między temperaturą a objętością gazu.

W tym module stworzysz zestaw danych zmiennych zależnych i niezależnych, mierząc średnicę i obwód zlewek o różnych rozmiarach. Następnie użyjesz tych danych do utworzenia wykresu punktowego i przeprowadzenia regresji liniowej, pamiętając o znaczeniu znaczących liczb. Będziesz także ćwiczyć umiejętności laboratoryjne, takie jak filtrowanie i mierzenie objętości za pomocą pipet, zwracając uwagę na niepewność pomiarów i analizy.