1.12
Wszystkie wielkości fizyczne mogą być wyrażone za pomocą wielkości bazowych lub wielkości pochodnych, a każda wielkość jest reprezentowana przez symbol, który określa jej wymiary.
Na przykład prędkość samochodu jest definiowana jako odległość podzielona przez czas. Termin odległość odpowiada długości wielkości, oznaczonej przez L i czasu przez T.
W związku z tym możemy zapisać wymiar prędkości wielkości, jako L podzielony przez T lub LT do potęgi minus jeden.
Aby równanie było poprawne wymiarowo, powinno spełniać dwie zasady. Po pierwsze, wyrażenia po obu stronach równości w równaniu muszą mieć te same wymiary.
Po drugie, standardowe funkcje matematyczne w równaniach muszą być bezwymiarowe
Na przykład wiemy, że wymiar objętości to L sześcienny. Rozważmy teraz walec o promieniu r i wysokości h.
Wiemy, że objętość cylindra wynosi π r kwadrat h. Termin π jest stałą i jest to wielkość bezwymiarowa. Wyraz r odpowiada długości objętości i możemy zapisać jej wymiar jako L do kwadratu, a termin h odpowiada również długości ilości, co daje wymiar objętości cylindra jako L sześcienny. W związku z tym równanie jest poprawne wymiarowo.
Dopóki znamy wymiary poszczególnych wielkości fizycznych, które pojawiają się w równaniu, możemy sprawdzić, czy równanie jest wymiarowo spójne.
Innym zastosowaniem analizy wymiarowej jest zapamiętanie równania. Załóżmy na przykład, że nie pamiętasz, czy prędkość równa się czasowi podzielonemu przez odległość, czy odległości podzielonej przez czas.
Wymiary czasu, odległości i prędkości to T, L i LT do potęgi minus jeden odpowiednio. Redukując oba równania do ich podstawowych jednostek po każdej stronie równania, otrzymujemy prędkość równą odległości podzielonej przez czas.
Pojęcie wymiaru jest ważne, ponieważ każde równanie matematyczne łączące wielkości fizyczne musi być spójne wymiarowo, co oznacza, że równania matematyczne muszą spełniać następujące dwie zasady. Pierwsza zasada jest taka, że w równaniu wyrażenia po obu stronach znaku równości muszą mieć te same wymiary. Jest to dość intuicyjne, ponieważ możemy dodawać i odejmować tylko ilości tego samego typu (wymiaru). Druga zasada stanowi, że w równaniu argumenty dowolnej standardowej funkcji matematycznej, takiej jak funkcje trygonometryczne, logarytmy lub funkcje wykładnicze, muszą być bezwymiarowe.
Jeśli którakolwiek z tych dwóch zasad zostanie naruszona, równanie będzie wymiarowo niespójne, a zatem nie może odzwierciedlać prawidłowego stwierdzenia żadnego prawa fizycznego. Analiza wymiarowa może sprawdzić błędy lub literówki w algebrze, pomóc zapamiętać różne prawa fizyki, a nawet zasugerować formę, jaką mogą przyjąć nowe prawa fizyki.
Wyjaśnijmy wpływ operacji rachunku różniczkowego na wymiary. Pochodną funkcji jest nachylenie prostej stycznej do jej wykresu, a nachylenia to stosunki. Zatem dla wielkości fizycznych, powiedzmy v i t, wymiar pochodnej v względem t jest stosunkiem wymiaru v do wymiaru t.&160; Podobnie, ponieważ całki są po prostu sumami iloczynów, wymiar całki v względem t jest po prostu wymiarem v pomnożonym przez wymiar t.
Ten tekst jest adaptacją Openstax, University Physics, tom 1, sekcja 1.4: Analiza wymiarowa.
Wszystkie wielkości fizyczne mogą być wyrażone za pomocą wielkości bazowych lub wielkości pochodnych, a każda wielkość jest reprezentowana przez symbol, który określa jej wymiary.
Na przykład prędkość samochodu jest definiowana jako odległość podzielona przez czas. Termin odległość odpowiada długości wielkości, oznaczonej przez L i czasu przez T.
W związku z tym możemy zapisać wymiar prędkości wielkości, jako L podzielony przez T lub LT do potęgi minus jeden.
Aby równanie było poprawne wymiarowo, powinno spełniać dwie zasady. Po pierwsze, wyrażenia po obu stronach równości w równaniu muszą mieć te same wymiary.
Po drugie, standardowe funkcje matematyczne w równaniach muszą być bezwymiarowe
Na przykład wiemy, że wymiar objętości to L sześcienny. Rozważmy teraz walec o promieniu r i wysokości h.
Wiemy, że objętość cylindra wynosi π r kwadrat h. Termin π jest stałą i jest to wielkość bezwymiarowa. Wyraz r odpowiada długości objętości i możemy zapisać jej wymiar jako L do kwadratu, a termin h odpowiada również długości ilości, co daje wymiar objętości cylindra jako L sześcienny. W związku z tym równanie jest poprawne wymiarowo.
Dopóki znamy wymiary poszczególnych wielkości fizycznych, które pojawiają się w równaniu, możemy sprawdzić, czy równanie jest wymiarowo spójne.
Innym zastosowaniem analizy wymiarowej jest zapamiętanie równania. Załóżmy na przykład, że nie pamiętasz, czy prędkość równa się czasowi podzielonemu przez odległość, czy odległości podzielonej przez czas.
Wymiary czasu, odległości i prędkości to T, L i LT do potęgi minus jeden odpowiednio. Redukując oba równania do ich podstawowych jednostek po każdej stronie równania, otrzymujemy prędkość równą odległości podzielonej przez czas.
From Chapter 1:
Now Playing
Jednostki, wymiary i miary
19.8K Views
Jednostki, wymiary i miary
40.7K Views
Jednostki, wymiary i miary
20.1K Views
Jednostki, wymiary i miary
7.6K Views
Jednostki, wymiary i miary
33.0K Views
Jednostki, wymiary i miary
6.9K Views
Jednostki, wymiary i miary
21.3K Views
Jednostki, wymiary i miary
27.3K Views
Jednostki, wymiary i miary
12.9K Views
Jednostki, wymiary i miary
11.6K Views
Jednostki, wymiary i miary
36.8K Views
Jednostki, wymiary i miary
18.3K Views
Jednostki, wymiary i miary
7.2K Views
Jednostki, wymiary i miary
7.2K Views