Анализ размерностей

Все физические величины могут быть выражены с помощью как основанных, так и производных величин, и каждая величина представлена символом, который определяет ее размерность.

Например, скорость автомобиля определяется как расстояние, деленное на время. Термин «расстояние» соответствует длине величины, обозначаемой буквой L, а времени — буквой T.

Следовательно, мы можем записать размерность количественной скорости как L, деленную на T или LT в степени минус единицы.

Чтобы уравнение было размерно корректным, оно должно подчиняться двум правилам. Во-первых, выражения по обе стороны от равенства в уравнении должны иметь одинаковые размерности.

Во-вторых, стандартные математические функции в уравнениях должны быть безразмерными

Например, мы знаем, что размерность объема равна L в кубе. Теперь рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.

Мы знаем, что объем цилиндра равен π r в квадрате h. Термин π является константой, и это безразмерная величина. Член r соответствует длине величины, и мы можем записать ее размерность как L в квадрате, а член h также соответствует длине величины, которая дает размерность объема цилиндра в виде L в кубе. Следовательно, уравнение является размерно корректным.

До тех пор, пока мы знаем размерности отдельных физических величин, которые появляются в уравнении, мы можем проверить, является ли уравнение размерно непротиворечивым.

Еще одно применение размерного анализа — запоминание уравнения. Например, предположим, что вы не помните, равна ли скорость времени, делённому на расстояние, или расстоянию, делённому на время.

Размерности времени, расстояния и скорости равны T, L и LT в степени минус единицы соответственно. Сведя оба уравнения к их фундаментальным единицам измерения с каждой стороны уравнения, мы получим скорость, равную расстоянию, деленному на время.