1.12
Анализ размерностей
Концепция размерности важна, поскольку каждое математическое уравнение, связывающее физические величины, должно быть размерно согласованным, что означ…
Все физические величины могут быть выражены с помощью как основанных, так и производных величин, и каждая величина представлена символом, который определяет ее размерность.
Например, скорость автомобиля определяется как расстояние, деленное на время. Термин «расстояние» соответствует длине величины, обозначаемой буквой L, а времени — буквой T.
Следовательно, мы можем записать размерность количественной скорости как L, деленную на T или LT в степени минус единицы.
Чтобы уравнение было размерно корректным, оно должно подчиняться двум правилам. Во-первых, выражения по обе стороны от равенства в уравнении должны иметь одинаковые размерности.
Во-вторых, стандартные математические функции в уравнениях должны быть безразмерными
Например, мы знаем, что размерность объема равна L в кубе. Теперь рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.
Мы знаем, что объем цилиндра равен π r в квадрате h. Термин π является константой, и это безразмерная величина. Член r соответствует длине величины, и мы можем записать ее размерность как L в квадрате, а член h также соответствует длине величины, которая дает размерность объема цилиндра в виде L в кубе. Следовательно, уравнение является размерно корректным.
До тех пор, пока мы знаем размерности отдельных физических величин, которые появляются в уравнении, мы можем проверить, является ли уравнение размерно непротиворечивым.
Еще одно применение размерного анализа — запоминание уравнения. Например, предположим, что вы не помните, равна ли скорость времени, делённому на расстояние, или расстоянию, делённому на время.
Размерности времени, расстояния и скорости равны T, L и LT в степени минус единицы соответственно. Сведя оба уравнения к их фундаментальным единицам измерения с каждой стороны уравнения, мы получим скорость, равную расстоянию, деленному на время.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: What are dimensions in physics and how do they relate to physical quantities?
Dimensions represent the fundamental nature of physical quantities using symbols like L for length and T for time. All physical quantities, whether base quantities and derived quantities, are expressed through these dimensional symbols. For example, speed has dimensions of LT⁻¹ because it equals distance divided by time. Understanding dimensions allows you to verify equations and check calculations systematically.
Q2: What are the two rules for dimensional consistency in equations?
First, expressions on each side of an equality must have identical dimensions. Second, arguments of standard mathematical functions like trigonometric or logarithmic functions must be dimensionless. For instance, in the cylinder volume equation πr²h, the constant π is dimensionless while r² and h contribute length dimensions, yielding L³ total. Violating either rule means the equation cannot represent a correct physical law.
Q3: How can dimensional analysis help you remember physics equations?
Dimensional analysis lets you verify which form of an equation is correct by checking dimensions. If you forget whether speed equals time divided by distance or distance divided by time, you can test both using dimensions. Since speed has dimensions LT⁻¹, only distance divided by time (L/T) produces the correct dimensions, confirming the right equation form.
Q4: What happens to dimensions when you take the derivative of a physical quantity?
The derivative of a function represents a slope, which is a ratio. For physical quantities, the dimension of a derivative equals the dimension of the numerator divided by the dimension of the denominator. For example, the derivative of velocity with respect to time has dimensions of velocity divided by time, or LT⁻¹ divided by T, yielding LT⁻² for acceleration.
Q5: How do dimensions change when you integrate a physical quantity?
Since integrals represent sums of products, the dimension of an integral equals the dimension of the quantity being integrated multiplied by the dimension of the variable of integration. For instance, integrating velocity with respect to time yields dimensions of LT⁻¹ times T, which equals L, representing displacement. This dimensional relationship helps verify integral expressions in physics.
Q6: Why is dimensional consistency important for checking physics equations?
Dimensional consistency ensures equations represent valid physical laws. By reducing both sides of an equation to their fundamental dimensions, you can catch algebraic errors or typos before calculations. If dimensions don't match on both sides, the equation is incorrect. This method provides a quick, systematic way to validate formulas without performing full numerical computations.
Q7: Can dimensionless constants appear in dimensionally correct equations?
Yes, dimensionless constants like π can appear in equations without affecting dimensional consistency. In the cylinder volume formula πr²h, π is dimensionless and doesn't change the overall dimensions. The radius squared contributes L², height contributes L, and their product yields L³ for volume. Dimensionless numbers multiply quantities without altering their dimensional properties.