6.9: Равномерное распределение

Равномерное распределение — это непрерывное распределение вероятностей событий с равной вероятностью наступления. Это распределение имеет прямоугольную форму.

Двумя основными свойствами этого распределения являются

1. Площадь под прямоугольной формой равна 1.
2. Существует соответствие между вероятностью события и площадью под кривой.

Кроме того, среднее значение и стандартное отклонение равномерного распределения могут быть рассчитаны при заданных нижних и верхних пороговых значениях, обозначенных как a и b, соответственно. Для случайной величины x, в равномерном распределении, при заданных a и b, функция плотности вероятности f(x) вычисляется как

Рассмотрим данные о 55 улыбках восьминедельного младенца (за считанные секунды):

10.4, 19.6, 18.8, 13.9, 17.8, 16.8, 21.6, 17.9, 12.5, 11.1, 4.9, 12.8, 14.8, 22.8, 20.0, 15.9, 16.3, 13.4, 17.1, 14.5, 19.0, 22.8, 1.3, 0.7, 8.9, 11.9, 10.9, 7.3, 5.9, 3.7, 17.9, 19.2, 9.8, 5.8, 6.9, 2.6, 5.8, 21.7, 11.8, 3.4, 2.1, 4.5, 6.3, 10.7, 8.9, 9.4, 9.4, 7.6, 10.0, 3.3, 6.7, 7.8, 11.6, 13.8 и, 18.6. Предположим, что время улыбки следует равномерному распределению между нулем и 23 секундами включительно. Обратите внимание, что ноль и 23 — это нижняя и верхняя отсечки для равномерного распределения времен улыбки.

Поскольку время улыбки распределяется равномерно, можно сказать, что любое время улыбки от нуля до 23 секунд включительно имеет одинаковую вероятность возникновения. Гистограмма, которая может быть построена на основе выборки, представляет собой эмпирическое распределение, которое близко соответствует теоретическому равномерному распределению.

В данном примере случайная величина x = длина улыбки восьминедельного ребенка в секундах. Обозначение для равномерного распределения имеет вид x ~ U(a, b), где a = наименьшее значение (нижний предел) x и b = наибольшее значение (верхний предел) x. В этом примере a = 0 и b = 23.

Среднее значение, μ, вычисляется с помощью следующего уравнения:

Среднее значение для этого распределения составляет 11,50 секунды. Улыбка восьминедельного ребенка длится в среднем 11,50 секунды.

Стандартное отклонение, σ, рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение для этого примера составляет 6,64 секунды.

Этот текст адаптирован из Openstax, Вводная статистика, раздел 5.2 Единое распределение