8.1: Распределения для оценки параметра популяции

Точные значения параметров генеральной совокупности, таких как доля населения, среднее значение населения и стандартное отклонение (или дисперсия) населения, обычно неизвестны. Это фиксированные значения, которые можно оценить только на основе данных, собранных из образцов. Оценками каждого из этих параметров являются выборочная пропорция, выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение (или дисперсия). Для получения значений этой выборочной статистики требуются данные, которые имеют определенное распределение и центральную тенденцию. Эти выборочные распределения имеют важное значение и должны быть преобразованы в некоторые конкретные распределения вероятностей, необходимые для оценки параметров генеральной совокупности.

При выполнении таких условий, как большой размер выборки (обычно более 30 человек), случайная и несмещенная выборка, а также нормальное распределение генеральной совокупности и нормальное распределение выборок, оценка параметров генеральной совокупности становится простой. Однако такие условия не могут быть ни предположены для данных образцов, ни достигаться каждый раз и в каждом исследовании. В таких случаях для оценки требуются другие распределения.

Для оценки доли населения на основе доли выборки используется z-распределение и z-таблица. В этом случае выборки не обязательно должны следовать стандартному нормальному распределению, но они должны быть распределены симметрично и нормально, по крайней мере, приблизительно. Затем z-оценки, рассчитанные на основе выборочных данных, могут быть использованы для оценки точки доли генеральной совокупности, а также могут быть построены доверительные интервалы.

Распределение z также может быть использовано для оценки среднего значения генеральной совокупности, но требует предварительного знания стандартного отклонения (или дисперсии) генеральной совокупности. Затем z-распределение может быть использовано для получения точечной оценки среднего генеральной совокупности, а доверительные интервалы на желаемом доверительном уровне могут быть построены для надежных оценок среднего генеральной совокупности.

В наиболее реалистичных ситуациях популяционное стандартное отклонение (для оценки популяционного среднего) может быть неизвестно априори для данного исследования. В таких случаях оценка такого параметра генеральной совокупности, как среднее значение генеральной совокупности, основана на t-распределении Стьюдента. Распределение t является симметричным распределением, например, нормальным распределением, но оно является приближением стандартного нормального распределения. Его форма (мелкость или крутизна) изменяется в зависимости от степени свободы (или от размера образца). Распределение t по Стьюденту может быть выгодным, когда размер выборки меньше 30.

Для оценки стандартного отклонения генеральной совокупности (или дисперсии) требуется распределение хи-квадрат, которое не является симметричным. Наклон в распределении хи-квадрат изменяется в соответствии со степенями свободы (или размером выборки). Оно приближается к нормальному распределению при размере выборки выше 90. Распределение хи-квадрат помогает оценить стандартное отклонение генеральной совокупности (или дисперсию) даже при меньших размерах выборки.