8.3: Распределение студентов

Популяционное стандартное отклонение редко известно во многих повседневных статистических примерах. При больших размерах выборки легко оценить стандартное отклонение генеральной совокупности с помощью доверительного интервала, который дает результаты, достаточно близкие к исходному значению. Однако статистики сталкивались с проблемами, когда размер выборки был небольшим. Небольшой размер выборки вызывал неточности в доверительном интервале.

Распределение Стьюдента было разработано Уильямом С. Госетом (1876–1937) из пивоварни Guinness в Дублине, Ирландия, для оценки стандартного отклонения популяции при небольших размерах выборки. Название этого дистрибутива происходит от псевдонима «Студент», используемого Госсетом.

Распределение t Стьюдента используется всякий раз, когда s используется для оценки σ. Если из приблизительно нормально распределенного со средним значением μ и неизвестной популяции стандартного отклонения σ и t баллов выбрана простая случайная выборка размера n, то t-баллы следуют t-распределению Стьюдента с n – 1 степенями свободы. Показатель t интерпретируется аналогично показателю z. Он измеряет, насколько значение находится далеко от своего среднего μ. Для каждого размера выборки n существует разное распределение Стьюдента t.

Показатель t или статистика дается следующим образом:

Свойства распределения t по методу Стьюдента:

1. График распределения t Стьюдента аналогичен стандартной нормальной кривой.
2. Среднее значение для t-распределения Стьюдента равно нулю, а распределение симметрично относительно нуля.
3. Распределение Стьюдента t имеет большую вероятность в своих хвостах, чем стандартное нормальное распределение, потому что разброс t-распределения больше, чем разброс стандартной нормали. Таким образом, кривая распределения t Стьюдента толще в хвосте и короче в центре, чем график стандартного нормального распределения.
4. Точная форма распределения Стьюдента t зависит от степеней свободы. По мере увеличения степеней свободы график t распределения Стьюдента становится все более похожим на график стандартного нормального распределения.
5. Предполагается, что базовая популяция индивидуальных наблюдений нормально распределена с неизвестным средним μ популяции и неизвестным σ стандартного отклонения популяции.

Этот текст адаптирован из Раздел 8.2, Среднее значение одной популяции с использованием распределения t Стьюдента, Вводная статистика, Openstax,