Преобразование вектора во вращающейся системе координат

Рассмотрим вектор, вращающийся вокруг оси с угловой скоростью, так что его кончик описывает круговую траекторию.

За время Δt вектор перемещается на угол, равный произведению угловой скорости и времени. Таким образом, кончик вектора перемещается на величину ΔB.

Здесь α угол между вектором и вектором угловой скорости.

Скорость изменения вектора  равна векторному произведению угловой скорости и самого вектора.

Вышеприведённое соотношение справедливо для любого вектора, подвергающегося чистому вращению с постоянной угловой скоростью вокруг фиксированной оси вращения.

Теперь рассмотрим произвольный вектор в инерциальной системе отсчёта. Его производная по времени в этой системе может быть записана с учётом производной по времени его скалярных компонент вдоль трёх координатных осей.

При рассмотрении из вращающейся системы отсчёта меняются скалярные компоненты и единичные векторы. Величина и направление вектора остаются неизменными, независимо от выбранной системы координат для определения его компонент.

Производная вектора в вращающейся системе отсчёта даёт два слагаемых.

Первое слагаемое представляет собой производную вектора, замеренную в вращающейся системе отсчёта. Единичные векторы в вращающейся системе вращаются с постоянной угловой скоростью. Таким образом, производная единичных векторов вдоль трёх координатных осей равна векторному произведению угловой скорости и единичных векторов в вращающейся системе. Подставив выражение для скорости изменения единичных векторов, второе слагаемое можно записать как векторное произведение угловой скорости и вектора.

Таким образом, производная произвольного вектора в инерциальной системе равна его производной во вращающейся системе плюс векторному произведению угловой скорости и вектора.

Если вместо произвольного вектора подставить позиционный вектор, получим уравнение преобразования для вектора скорости. Вектор скорости в инерциальной системе равен вектору скорости во вращающейся системе плюс векторному произведению угловой скорости и позиционного вектора.

Аналогично, если вместо произвольного вектора подставить вектор скорости, получим уравнение преобразования для вектора ускорения.